2021-2022学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）函数的定义域为　　

A． B．， C． D．，

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）已知角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

5．（5分）函数的零点所在的区间为　　

A． B． C． D．

6．（5分）扇子在我国渊远流长，折扇扇面呈半圆弧型上宽下窄向四处呈辐射状，北宋始在折扇上题诗作画，明清以来文化人都喜欢在扇上舞文弄墨，成为中国绘画中的一个专门艺术品种．假设一把扇子是从一个圆面中剪下的，扇面对应的弧长为，而剩余部分对应的弧长为，如果与的比值为0.618，则这把扇子较为美观，此时扇形的圆心角的大小最接近下列哪个值　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）已知函数，若对任意，总存在，，使得不等式都恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B．，， C． D．，，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列选项是成立的一个必要条件的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列关于函数性质说法正确的有　　

A．若定义在上的函数满足（2）（1），则函数是上的增函数 

B．若定义在上的函数是偶函数，则（1） 

C．若函数的定义域为，，．当，时，是减函数；当，时，是增函数，则的取小值为（c）             

D．对于任意的，，函数满足

11．（5分）将函数的图象向左平移个单位，再将图上的每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列结论正确的是　　

A．函数的最小值为 

B．函数的图象关于点对称 

C．函数在区间上单调递增 

D．若存在，使．则的最小值为

12．（5分）若，，且，下列结论正确的是　　

A．的最大值为 

B．的最小值为5 

C．的最小值为 

D．的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一、二题都没答对的有 　　人．

14．（5分）函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为 　　

15．（5分）若函数是上的奇函数，且周期为3，当时，，则　　．

16．（5分）设函数，则不等式的解集为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步剿。

17．（10分）已知全集为，集合，．

（1）若，求集合；

（2）请在①“”是“”的充分条件，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．

若______，求实数的取值范围．

18．（12分）（1）计算；

（2）已知，计算．

19．（12分）设为实数，已知函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性，并给出证明；

（3）解关于的不等式．

20．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．为降低疫情影响，我们一方面防止境外疫情输入、另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民丛带来的损失．某工厂生成某产品的年固定成本为200万元，每生产件再需投入成本为万元，当年产量小于60件时，（万元）；当年产量不小于60件时，（万元）．又已知每件产品的销售价为30万元．通过市场分析，工厂每年生产的该产品能全部销售完．记该工厂在这一产品的生产中所获年利润为万元．

（1）写出关于的函数关系式；

（2）求年利润的最大值及此时相应的年产量．

21．（12分）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且过点．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，，求的值；

（3）当时，关于的方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

22．（12分）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点“函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点．

（1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．

（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；

（3）若函数在，上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）函数的定义域为　　

A． B．， C． D．，

【解答】解：要使函数有意义，则，得，

即，即函数的定义域为，

故选：．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，．

故选：．

3．（5分）已知角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

．

故选：．

4．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

，

，

所以．

故选：．

5．（5分）函数的零点所在的区间为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于连续函数 满足，（1），

且函数在区间上单调递增，故函数的零点所在的区间为．

故选：．

6．（5分）扇子在我国渊远流长，折扇扇面呈半圆弧型上宽下窄向四处呈辐射状，北宋始在折扇上题诗作画，明清以来文化人都喜欢在扇上舞文弄墨，成为中国绘画中的一个专门艺术品种．假设一把扇子是从一个圆面中剪下的，扇面对应的弧长为，而剩余部分对应的弧长为，如果与的比值为0.618，则这把扇子较为美观，此时扇形的圆心角的大小最接近下列哪个值　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意设扇形对应的圆心角为，

可得，

解得．

故选：．

7．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数的定义域为，

，可得为偶函数，其图象关于轴对称，故排除、；

由于，，所以，故排除．

故选：．

8．（5分）已知函数，若对任意，总存在，，使得不等式都恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B．，， C． D．，，

【解答】解：（1）当时，函数为奇函数，故；

当时，（当且仅当，即时取等号），

即当时，，，同理可得当时，，，

所以当时，，，，；

若对任意，总存在，，使得不等式都恒成立，

即存在，，使得，

即存在，，使得，

令（a），则当时，有，解得；

当时，有（2），解得；

所以实数的取值范围为，，，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列选项是成立的一个必要条件的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，，不是必要条件；

当时，成立，是必要条件；

当时，成立，是必要条件；

当时，不一定成立，如，，，不是必要条件．

故选：．

10．（5分）下列关于函数性质说法正确的有　　

A．若定义在上的函数满足（2）（1），则函数是上的增函数 

B．若定义在上的函数是偶函数，则（1） 

C．若函数的定义域为，，．当，时，是减函数；当，时，是增函数，则的取小值为（c）             

D．对于任意的，，函数满足

【解答】解：定义在上的函数满足（2）（1），但时函数是减函数，故错误；定义在上的函数是偶函数，有，则（1），故正确；

若函数的定义域为，，，当，时，是减函数，

当，时，是增函数，则的取小值为（c），故正确；

，故正确．

故选：．

11．（5分）将函数的图象向左平移个单位，再将图上的每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列结论正确的是　　

A．函数的最小值为 

B．函数的图象关于点对称 

C．函数在区间上单调递增 

D．若存在，使．则的最小值为

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；

再将图像上的每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

显然，函数的最小值为，故正确；

令，求得，可得函数的图象关于点对称，故正确；

在区间上，，，函数没有单调性，故错误；

若存在，使，则的最小值为，故正确，

故选：．

12．（5分）若，，且，下列结论正确的是　　

A．的最大值为 

B．的最小值为5 

C．的最小值为 

D．的最大值为

【解答】解：因为，，且，

选项，即，当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为，故正确，

选项，当且仅当，即时取等号，故正确，

选项：因为，所以，

所以，

当且仅当时取等号，故正确，

选项：因为，所以，

则，当且仅当时取等号，故错误，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（5分）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一、二题都没答对的有 　5　人．

【解答】解：某班有35人参加了“学党史知识竞赛”．

答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，

设两题都没有答对的有人，

则作出韦恩图，得：

由题意得，

解得．

一、二两题都没答对的有5人．

故答案为：5．

14．（5分）函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则的值为 　　

【解答】解：对于函数且，令，求得，，可得它的图象恒过定点，

若点也在函数的图象上，则，求得，

故答案为：．

15．（5分）若函数是上的奇函数，且周期为3，当时，，则　　．

【解答】解：根据题意，函数是上的奇函数，且周期为3，

则，

，

故；

故答案为：．

16．（5分）设函数，则不等式的解集为 　，　．

【解答】解：函数，

要使函数有意义，则，解得，

所以的定义域为，

当，时，，

因为在，上单调递减，函数在其定义域上单调递增，

所以函数在，上单调递减，

由，可得，

所以，所以，，，，

所以，即，

可得，所以，

即不等式的解集为，．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步剿。

17．（10分）已知全集为，集合，．

（1）若，求集合；

（2）请在①“”是“”的充分条件，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并完成问题解答．

若______，求实数的取值范围．

【解答】解：集合或，集合，

（1）若，，

或，

所以或．

（2）若选①“ “是“ “的充分条件，则，

即或，或，

或，

实数的取值范围是或．

若选②，或，或，

实数的取值范围是或．

若选③且，．

实数的取值范围是．

18．（12分）（1）计算；

（2）已知，计算．

【解答】解：（1）原式．

（2），，

，，，，

，，

．

19．（12分）设为实数，已知函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断在上的单调性，并给出证明；

（3）解关于的不等式．

【解答】解：（1）函数在上是奇函数，

，即，解得．经检验符合题意

（2）在上的单调递增．

证明如下：由（1）得，

在上任取，，令，

则，

，

，

在上的单调递增．

（3），

在上单调递增，

，

即．

，

不等式的解集为．

20．（12分）2020年初，新冠肺炎疫情对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．为降低疫情影响，我们一方面防止境外疫情输入、另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民丛带来的损失．某工厂生成某产品的年固定成本为200万元，每生产件再需投入成本为万元，当年产量小于60件时，（万元）；当年产量不小于60件时，（万元）．又已知每件产品的销售价为30万元．通过市场分析，工厂每年生产的该产品能全部销售完．记该工厂在这一产品的生产中所获年利润为万元．

（1）写出关于的函数关系式；

（2）求年利润的最大值及此时相应的年产量．

【解答】解：（1）当时．，

当时，，

故．

（2）当时，，

当时，，

当时，，

当且仅当，即时，等号成立，

综上所述，年利润的最大值是440万元，及此时相应的年产量80件．

21．（12分）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且过点．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，，求的值；

（3）当时，关于的方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）相邻两个交点之间的距离为，

，

，

，

，

，

，

，

．

（2），

，

，

，

，

．

（3）作出图象，可知，

22．（12分）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点“函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点．

（1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．

（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；

（3）若函数在，上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，解得或，

是“不动点”函数，不动点是2和，

（2）是“不动点”函数，

（a），，解得．

（3）由题意可知：

在，上，且，唯一，

①函数在，上仅有一个不动点时，，

，

令，在，上是单调增函数．

．

②函数在，上仅有一个次不动点时，，

在，上是单调增函数，

令，，（1），即，，

综上所述：，．

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