2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中调研测试 数学 解析版

这是一份2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中调研测试 数学 解析版，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021～2022学年度第一学期期中调研测试高二数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用斜率的两点式求得，根据斜率与倾斜角的关系，即可求倾斜角的大小.【详解】由题设，，若的倾斜角为，则，又,∴.故选：B2. 双曲线的焦点坐标为（     ）A. ， B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出的值，即可得解.【详解】在双曲线中，，，则.因此，双曲线的焦点坐标为、.故选：D.3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，从而可求得实数的取值范围【详解】∵表示圆，则，∴，故选：B．4. 已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】把两个圆的方程相减，即可求出结果．【详解】把两圆与的方程相减，可得，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程.故选：D.5. 椭圆上点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是（    ）A. 8，2 B. 5，4 C. 5，1 D. 9，1【答案】D【解析】【分析】根据点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是，选出正确答案.【详解】依题意，所以到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是.故选：D【点睛】本小题主要考查根据椭圆方程求，考查椭圆的几何性质，属于基础题.6. 已知三角形三个顶点为、、，则边上的高所在直线的方程为（      ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，可求得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，因此，边上的高所在直线的方程为.故选：A.7. 已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（    ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】C【解析】【分析】连接，得到是三角形的中位线，故，再利用椭圆的定义求出，进而求出线段的长.【详解】如图，不妨设焦点F为左焦点，右焦点为，连接，因为N是的中点，是的中点，故是三角形的中位线，故，由得：，由椭圆的定义可知：，因为，所以，故故选：C8. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】建立坐标系，利用已知条件求出双曲线的实轴长，虚轴长，然后求出半焦距，从而可求出离心率【详解】解：以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，不妨设，则该双曲线过点，且，所以，解得，所以，得，所以双曲线的离心率为，故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（　　）A. x﹣y+1＝0 B. x+y＝3 C. 2x﹣y＝0 D. x+y+2＝0【答案】AC【解析】【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为；当直线不过坐标原点时，设直线，代入，所以，所以直线方程为，故选：AC10. 已知圆，直线．则下列结论正确的是（    ）A. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1B. 对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1）C. 若圆C与圆恰有三条公切线，则D. 若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，通过计算圆心到直线距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出的值，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为代入圆C方程中化简可得答案【详解】对于A，圆的圆心为，半径，当时，直线，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误，对于B，由，得，由于，所以，得，所以直线恒点，所以B正确，对于C，因为圆C与圆恰有三条公切线，所以两圆相外切，由，得，所以，解得，所以C正确，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为，因为动点D在圆C上，所以，化简得，所以线段中点M的轨迹方程为，所以D正确，故选：BCD11. 已知双曲线，双曲线与双曲线有相同渐近线，抛物线以双曲线的左焦点F为焦点 ，则下列判断正确的是（    ）A. 抛物线标准方程为B. 双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1C. 若双曲线焦点在轴，则双曲线的离心率为D. 若双曲线与抛物线交于A、B两点，则【答案】AB【解析】【分析】对于A，先求出双曲线的左焦点，进而求出抛物线标准方程，根据双曲线的焦点到渐进线的距离，可判断出B，根据双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得出中， 的关系，进而求出双曲线的离心率，将双曲线与抛物线的方程联立解出 进而可求得答案.【详解】因为双曲线，所以的左焦点F，将 由得，，所以，抛物线标准方程为，故A正确；对于B，双曲线的焦点到渐进线的距离，由题可知，所以双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1，故B正确；对于C，因为双曲线，所以其渐近线为，又因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在轴上，设，，则，所以，故C错误；对于D，联立 解得，所以，，所以D错误.故选：AB12. 已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（    ）A. 的最小值为2 B. 面积的最大值为C. 直线的斜率为 D. 为钝角【答案】BC【解析】【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值，A项错误； B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值； C项，由对称性，可设，则，，则可得直线的斜率与k的关系； D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，排除D项.【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，则四边形为平行四边形，，，当且仅当时等号成立，A错误；对于B，由得，，的面积，当且仅当时等号成立，B正确；对于C，设，则，，故直线的斜率，C正确；对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，①，②，①②得，易知，则，得，，，D错误.故选：BC.【点睛】椭圆常用结论：已知椭圆，AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若都存在，则.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填14. 与直线的斜率相等，且过点的直线方程为_________【答案】【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故所求直线方程为，即.故答案为：.15. 椭圆的左、右焦点分别为，，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_______．【答案】【解析】【分析】先根据椭圆定义得到，再利用余弦定理，求出，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围.【详解】设，则，在中，由余弦定理得：，解得，因为，所以，即，且，所以，故椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法总结：考查了椭圆的应用，当点在短轴的端点时值最大.16. 已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为__________．【答案】##【解析】【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．【详解】令，，∴表示函数图象上的点到直线的距离，表示函数图象上的点到直线的距离，∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，∴最小值为 ．故答案为：.四、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答须写出说明、证明过程和演算步骤．17. 求符合下列条件直线的方程：（1）过点A（-3，-1），且倾斜角为．（2）过点P（3，4），且两点到这直线距离相等．【答案】（1）    （2）或【解析】分析】（1）根据倾斜角得出直线斜率，利用点斜式求解即可；（2）分所求直线与MN平行，过MN中点两种情况求解即可.【小问1详解】∵倾斜角为∴斜率为由点斜式直线方程可得即.【小问2详解】①与直线MN平行∴斜率由点斜式直线方程可得即 ②过MN中点可求MN中点是（3，2）又直线过P（3，4），则直线方程为x=3综上得直线方程为或18. 求符合下列条件圆的方程：（1）圆心为点，面积为.（2）与圆关于y轴对称．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，求得，结合圆的标准方程，即可求解.（2）把圆化为，求得圆心关于轴的对称点，即可求得对称圆的方程.【小问1详解】解：设所求圆的半径为，因为圆的面积为，即，解得，又由圆心为，所以所求圆的方程为.【小问2详解】解：由圆可化为，可得圆心坐标为，可圆心关于轴的对称点为，所以圆关于轴的对称圆的方程为.19. 已知椭圆与双曲线具有共同的焦点、，点在椭圆上，，____________①椭圆过点，②椭圆的短轴长为，③椭圆离心率为，（①②③中选择一个）（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积．【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为    （2）【解析】【分析】（1）由已知可得，选①：可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；选②：求出的值，可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；选③：根据离心率可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；（2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】解：设椭圆方程.因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则.选①：由已知可得，则，椭圆方程为；选②：由已知可得，则，椭圆方程为；选③得，则，椭圆方程为.【小问2详解】解：由椭圆定义知①，         又，②，由①可得，解得，因此，.20. 早在一千年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺寸，试分别求出桥拱所在的抛物线方程和溢流孔所在的抛物线方程，及溢流孔与桥拱交点的位置．【答案】答案见解析【解析】【分析】设桥拱、以及所在溢流孔的抛物线方程，将点的坐标代入这两个抛物线的方程，求出对应的参数，可求得这两个抛物线的方程，同理可得出其余三个溢水孔所在抛物线的方程，联立桥拱、以及所在溢流孔的抛物线方程，可求得点的坐标.【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，则，得，所以桥拱所在抛物线的方程①.设所在溢流孔的抛物线方程为，则，解得，所以所在溢流孔的抛物线方程为②.     由于个溢流孔的轮廓线相同，所以、所在溢流孔的抛物线方程为，同理得另两个溢流孔的抛物线方程为，，联立①②方程的点坐标为.21. 光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，（1）求圆C的方程（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）求出直线关于x轴的对称直线的方程，即反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切求得半径即可得出答案；（2）利用圆的弦长公式求得，再根据即可得解.【小问1详解】解：在直线中，令，则，由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，则反射光线所在直线的斜率为，且过点，所以直线关于x轴的对称直线为，点（2，8）到直线距离，圆方程为；【小问2详解】设圆心到直线的距离为d，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，即.22. 已知椭圆E的方程为，过点且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）点A是椭圆E与x轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆E于B、C两点，且直线，的斜率分别是，，若，①证明直线l过定点R；②求面积的最大值．【答案】（1）    （2）①证明见解析，②.【解析】【分析】（1）由已知可得，从而可求出，进而可得椭圆E的方程，（2）①设，直线，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，由可得，结合前面的式子可求得，从而可证得结论，②，再利用基本不等可求得答案【小问1详解】由题意，解得，得，所以曲线E的方程为．【小问2详解】①设，直线，联立方程组得，            由，解得，     由知，      且，代入化简得，解得，∴直线l过定点   ②由①知且，得，     （当且仅当时取等号）．综上，面积的最大值为