2022-2023学年福建省龙岩市高一上学期期末教学质量检查数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省龙岩市高一上学期期末教学质量检查数学试题

一、单选题

1．若函数的定义域为集合M，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解.

【详解】由已知得，

解得且，

即函数的定义域为集合.

故选：D.

2．命题p：“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，

命题p：“”的否定为“”.

故选：A

3．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式将大角变小角，然后根据特殊角的三角函数得答案..

【详解】.

故选：B.

4．已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来比较大小.

【详解】由在R上单调递减得，

又在上单调递减得，

，

故选：C.

5．对于等式，下列说法中正确的是（    ）

A．对，等式都成立 B．对，等式都不成立

C．当时，等式成立 D．，等式成立

【答案】D

【分析】利用特殊值判断即可.

【详解】因为，

当时，，显然不满足，故C错误，A错误；

当时，，，

此时满足，故D正确，B错误；

故选：D

6．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，

所以在上也是单调递增，且，，

所以当时，，当时，，

所以由，可得或

解得或，即，

故选：C.

7．在中，，若边上的高等于，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据条件作图，得到为等腰直角三角形且，进而可求得，再将展开计算可得答案.

【详解】如图过作交CB的延长线于点D，

则，，

则，即为等腰直角三角形，

，即，

设，，则，，

，

.

故选：A.

8．函数在区间上的所有零点之和为（    ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算.

【详解】由题意可得：，

令，且，可得，

∵与均关于点对称，

由图可设与的交点横坐标依次为，

根据对称性可得，

故函数在上所有零点之和为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法

（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数；

（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；

（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

二、多选题

9．若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】AB

【分析】根据单调性得二次函数的对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可.

【详解】二次函数对称轴为，

因为二次函数在区间上是增函数，

所以，解得.

故选：AB.

10．下列说法正确的是（    ）

A．不等式的解集是

B．若正实数x，y满足，则的最大值为2

C．若，则

D．不等式对恒成立

【答案】AD

【分析】对A：解一元二次不等式即可判断；对B、C：利用基本不等式分析判断；对D：整理可得，结合正弦函数的有界性分析判断.

【详解】对A：，解得，

故不等式的解集是，A正确；

对B：∵，则，当且仅当时等号成立，B错误；

对C：∵，令，则，可得，

当时，则，当且仅当，即时等号成立；

当时，则，当且仅当，即时等号成立

故；

综上所述：，C错误；

对D：，

∵，

∴不等式对恒成立，D正确.

故选：AD.

11．设，共中a，b是正实数．若对一切恒成立，则（    ）

A． B．的单调递增区间是

C． D．不存在正实数a，b，使得

【答案】ACD

【分析】根据题意结合辅助角公式分析运算可得，进而可得，结合正弦函数性质逐项分析判断.

【详解】由辅助角公式可得：，

由题意可得：为函数的最大值，则，

整理得，即，

∴，

对A：，A正确；

对B：∵，令，解得，

故的单调递增区间是，B错误；

对C：，

故，C正确；

对D：对，则恒成立，

故不存在正实数a，b，使得，D正确.

故选：ACD.

12．已知函数的图象过点和点，且图象无限接近直线，则（    ）

A． B．函数的递增区间为和

C．函数是偶函数 D．方程有个解

【答案】ACD

【分析】首先判断函数的对称性即可的，再根据函数过点的坐标，得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，从而作出函数图象，结合图象一一分析即可.

【详解】解：因为，

所以，，即，

所以函数的图象关于直线对称，又已知其图象无限接近直线，

 ，

，由已知得，

， ，

的图象如图所示：

所以，故A选项正确.

由图可知的单调递增区间为，所以B错误.

又为偶函数，所以C正确

由即，

记

注意到最大值，，且g(x)开口向下，

所以与有个交点，即方程有个解，所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．______．

【答案】2

【分析】通过同底对数的运算法则，求得结果.

【详解】

本题正确结果：

【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.

14．设，若对任意实数x都有成立，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】将问题转化为，然后利用换元法将转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.

【详解】若对任意实数x都有成立，则，

又，

令，

，，

其对称轴为，

故函数在上单调递增，

，

.

故答案为：.

15．如图，已知是半径为的圆的直径，点，在圆上运动且，则当梯形的周长最大时，梯形的面积为__________．

【答案】

【分析】连接，设，过点作交于点，过点作交于点，即可表示出，，，再根据平面几何的性质得到，从而表示出，结合二次函数的性质求出的最大值及此时的值，再根据梯形面积公式计算可得.

【详解】连接，设，，过点作交于点，过点作交于点，

设圆的半径为，则，

则，，

因为，所以，则，即梯形为等腰梯形，

所以，

所以

，

所以当，即时，，

所以，，，所以，，

所以.

故答案为：.

16．已知函数，若在定义域内存在实数x，使得，则称函数为定义域上的局部奇函数．若函数是上的局部奇函数，则实数m的取值范围是__________．

【答案】

【分析】有函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解.

【详解】由是上的局部奇函数，所以在上恒成立，所以，即，

由局部奇函数的定义，存在，使得，

即存在，使得，

所以存在，使得，即，

又因为，所以，所以，即，

综上.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题注意隐含条件，是上的局部奇函数，必须在上有意义恒成立.

四、解答题

17．已知集合．

(1)若，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入，求出集合A，B，然后求并集即可.

（2）解含参的二次不等式得集合B，再根据列不等式求解即可.

【详解】（1），

当时，，

；

（2），

又由（1），

，

或，

实数a的取值范围是.

18．已知．

(1)求；

(2)若是第三象限角，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先化简，然后代入计算即可；

（2）先根据条件求出和，再利用两角和的余弦公式计算即可.

【详解】（1）由已知得，

；

（2）由（1）得，即，

又，得，

是第三象限角，

，

．

19．已知幂函数为偶函数，．

(1)若，求；

(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出；

（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围

【详解】（1）对于幂函数，得，

解得或，

又当时，不为偶函数，

，

，

，

，

解得；

（2）关于x的不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

即，

先证明在上单调递增：

任取，

则，

，

，，又，

，

，即，

故在上单调递增，

，

，又，

解得.

20．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)将函数的图象向右平移，得到函数的图象．求函数在区间的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用三角恒等变形的公式将函数变形为的形式，进而可得最小正周期；

（2）先通过平移求出函数的解析式，再利用余弦函数的图像和性质可求得值域.

【详解】（1）

，

的最小正周期

（2）函数的图象向右平移得，

，，

当，即时，，

当，即时，，

故函数在区间的值域为.

21．我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对关好生活的向往”．大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式．如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线，当时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为，且过点；赛道的后一部分为曲线，当时，该曲线为函数（，且）图象的一部分，其中点．

(1)求函数关系式；

(2)已知点，函数，设点Q是曲线上的任意一点，求线段长度的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，设，带入求出，

    当时，把点，分别带入，求出；

（2）根据（1）求出，根据两点之间距离公式和二次函数性质求出线段长度的最小值．

【详解】（1）由题意得，当时，设，

因为曲线过点，所以，则，

所以，

当时，把点，分别带入，

即，解得，

所以.

（2）由条件得，

设，又因为点，

则，

设，则，

函数在上单调递增，所以，

，

当，即时，.

22．已知函数，其中，且．

(1)当时，判断函数零点的个数；

(2)设函数的定义域为D，若均为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围．

【答案】(1)个

(2)

【分析】（1）首先求出的解析式，再判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；

（2）首先求出的解析式，依题意只需即可，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的值域，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.

【详解】（1）解：当时，因为

=，

，

，

，

又因为，及在定义域上均单调递增，

所以在上单调递增，

故函数在上有且只有一个零点.

（2）解：由于函数是“可构造三角形函数”，

其定义域为，

因为且，要使得是可构造三角形函数，

只需即可，

当时，在上单调递减且，在上单调递增，

所以是上的减函数，

则的值域为，由得恒成立，

所以；

当时，，符合题意；      

当时，在上单调递减且，在上单调递减，

所以是上的增函数，

则的值域为，由，

解得，又，故；

当时，在上单调递增且，在上单调递减，

所以是上的减函数，

则的值域为，由得，又，所以，

综上，实数的取值范围为.