2020-2021学年江苏省镇江市扬中高级中学高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省镇江市扬中高级中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

1．（3分）若函数的图象上两相邻的对称轴之间的距离为，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（3分）复数（其中是虚数单位）在复平面内所对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（3分）在中，下列四个式子中不为常数的是　　

A． B． 

C． D．

4．（3分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：．即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是　　

A．周长为 B．三个内角满足 

C．外接圆的半径为 D．内切圆的半径为

5．（3分）已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则的终边一定经过　　

A． B． C． D．

6．（3分）函数的最小值是　　

A．1 B． C． D．

7．（3分）将函数的图象向右平移后关于点，对称，则　　

A． B．1 C． D．3

8．（3分）在中，角，均在边上，且为中线，为平分线，，若，则的面积等于　　

A． B． C． D．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．（3分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A．是实数 B．是纯虚数 C． D．

10．（3分）在中，，，若解此三角形仅有一解，则边长度的可能取值为　　

A． B． C． D．

11．（3分）设函数，则下列关于的叙述正确的是　　

A．是周期函数 

B．在区间上是增函数 

C．若，则 

D．函数在区间，上有3个零点

12．（3分）已知向量，是平面内的一组基向量，为内的定点，对于内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标．若点、的广义坐标分别为，，，关于下列命题正确的是　　

A．线段、的中点的广义坐标为 

B．、两点间的距离为 

C．向量平行于向量的充要条件是 

D．向量垂直于的充要条件是

三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（3分）已知，，，则向量，的夹角为　　．

14．（3分）已知如图，是由且个完全相同的正方形构成的平面几何图形，若，则　　．

15．（3分）请写出复数的一个平方根　　．

16．（3分）已知由，，推得三倍角余弦公式，已知，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式得　　，如图，已知五角形是由边长为2的正五边形和五个全等的等腰三角形组成的，则　　．

四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知向量，，，，，，．

（1）若，，三点共线，求实数的值；

（2）若四边形为矩形，求的值．

18．已知满足，且．

（1）求的值；

（2）求的面积．

19．已知向量，函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．

20．已知，满足，且．

（1）求的值；

（2）求的大小．

21．扬中三桥是扬中市区与金港大道快速通道的交通枢纽，毗邻姚桥高速公路入口和大港南站高铁站，也是镇江市区、新区等地联系的重要通道．为了解大桥跨度，小李、小丽、小张三位同学组建社会实践活动小组，通过测量得知：，相距3（百米），，，分别位于处的北偏西，，南偏西方向上，，分别位于处正西，西偏南方向上．根据下列提供的数据，在不使用计算器的基础上，选择合适解题方案，作答下列问题：，，，．

（1）计算，两地之间的距离；

（2）大桥为保证行驶安全，限制最高时速不超过80公里，若一辆汽车需要过桥，它通过，之间的桥面刚好用时50秒，判断该车是否超速．

22．在三角形中，角，，所对应的边分别为，，，若且，，均为整数．

（1）求的值；

（2）求证：．

2020-2021学年江苏省镇江市扬中高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

1．【分析】由题意利用余弦函数的周期性，求得的值．

【解答】解：函数的图象上两相邻的对称轴之间的距离为，

，

故选：．

2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．

【解答】解：，

复数在复平面内所对应的点的坐标为，在第一象限．

故选：．

3．【分析】由已知结合三角形内角和及诱导公式分别进行化简即可判断．

【解答】解：，不符合题意；

，不为常数，符合题意；

，为常数，不符合题意；

，为常数，不符合题意．

故选：．

4．【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；

对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列；

对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径；根据可求得，由可得的值；

对于选项，设内切圆的半径，由题意利用三角形的面积公式可得，即可计算得解．

【解答】解：，

设，，；，

面积为，

，解得，

，，，

所以，故正确；

对于，因为，可得，所以，故，所以三个内角，，成等差数列，故错误；

对于，由正弦定理知，外接圆直径；

由，得；；故选项错误；

对于，在中，设内切圆的半径，由题意可得，

即，解得，故错误．

故选：．

5．【分析】由题意求得的值，判断，，求得，从而得出结论．

【解答】解：角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，

故，，，，

故，，，故，

故选：．

6．【分析】直接利用换元法和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：函数，

设，

所以，

故，

当时，．

故选：．

7．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换，函数的性质的应用求出的值．

【解答】解：函数的图象向右平移后，

得到，

由于函数的图象关于对称，

故，

所以，

解得．

故选：．

8．【分析】由已知结合向量线性表示及向量数量积性质，然后结合角平分线性质可求，然后结合三角形面积公式可求．

【解答】解：由题意得，，

所以，

即，

因为，，

，

由角平分线性质得，，

整理得，，

所以，

因为，

所以，

两边平方得，

因为，令，

所以，

解得，即，

故的面积．

故选：．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的模直接求解．

【解答】解：对于，设，则是实数，故正确；

对于，设，则，当时是实数，故错误；

对于，设，则，，故正确；

对于，设，则，，故错误．

故选：．

10．【分析】由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可直接求解．

【解答】解：中，，，

由正弦定理得，即，

所以，

当，即时，，此时三角形唯一，

当，即时，需满足时三角形唯一，

从而有，

所以，

综上，或．

故选：．

11．【分析】直接利用函数的关系式的讨论整理出函数的解析式，进一步画出函数的图象，再利用函数的图象判断、、、的结论．

【解答】解：函数，

画出函数的图象，

如图所示：

故：

对于：函数为周期函数，故正确；

对于：函数在区间上是增函数，在上为减函数，故错误；

对于：若，则，故正确；

对于：函数在区间，上有3个零点，在上有2个零点，故错误．

故选：．

12．【分析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．

【解答】解：根据题意得，由中点坐标公式知正确；

只有平面直角坐标系中两点间的距离公式才正确，

当向量与的夹角不是时，

，

只有当向量与的夹角是时，、两点间的距离才为，因此错误；

由向量平行的充要条件得正确；

当向量，是相互垂直的单位向量时，与垂直的充要条件为，因此不正确；

故选：．

三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．【分析】根据题意，设向量，的夹角为，由数量积的计算公式可得，变形可得的值，结合的范围分析可得答案．

【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为，

若，，，则，

解可得，

又由，则，

故答案为：．

14．【分析】根据题意，设正方形的边长为1，用表示、，利用正切的和角公式可得关于的方程，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，设正方形的边长为1，

，，

若，则，

解可得或0（舍，

故答案为：3．

15．【分析】设，，，则，，由此能求出结果．

【解答】解：设，，，

则，，

解得，，或，，

复数的平方根为：．

故答案为：．

16．【分析】由三倍角余弦公式以及二倍角正弦公式可得，由同角三角函数的基本关系即可求解，利用三角形全等，可得，，过点作于点，可求得，利用向量的数量积运算即可求得的值．

【解答】解：因为，所以，即，

所以，

所以，

即，解得，

在五角形中，，，，

所以，所以，，

过点作于点，则，于是，从而，

在中，，于是，

从而．

故答案为：；．

四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值．

（2）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值，再求和．

【解答】解：（1）向量，，，

所以，，

由，，三点共线知，，

即，解得；

（2）由，，

，

，

若四边形为矩形，则，

即，解得；

由，得，

解得，，

所以．

18．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形内角和及两角和的正弦公式可求；

（2）由已知结合三角形面积公式即可直接求解．

【解答】解；（1）由正弦定理得，

因为，且，

所以，

所以，

因为，

所以，

，

（2）．

19．【分析】（1）根据平面向量的数量积运算、三角恒等变换公式，可将函数化简为，然后结合正弦函数的单调性即可得解．

（2）由，，得，，再结合正弦函数的图象与性质即可得解．

【解答】解：（1）

，

令，，

，

的单调递增区间为，，．

（2），，，，

，，即，，

关于的方程在，上有解，

，．

20．【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果；

（2）利用和角公式的应用求出结果．

【解答】解：（1）已知，满足，且．

所以，，

所以．

（2）由于，

，

由于，

所以，

故．

21．【分析】用正余弦定理分别解、、可解决此题．

【解答】解：根据题意可画出如下图所示：

（1）在中：由正弦定理得：，即，解得：（米．

故，两地之间的距离为1000米；

（2）在中：由正弦定理得：，即，解得：（公里）．

在中：公里，由余弦定理得：（公里）．

1公里秒公里小时公里小时，

故该车不超速．

22．【分析】（1）由，得，可得，若，利用正切函数的性质可得，可得，都大于，与矛盾，从而可得，得解．

（2）由，利用两角和的正切公式可得，由，均为整数，且，可得，，即可得解．

【解答】解：（1），，

不能是钝角，，

若，，且在，内单调递增，

，

又，

，都大于，与矛盾，

．

（2）证明：，即，

，，

又，

即，由，均为整数，且，

可得，，

故．得证．

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日期：2022/3/11 19:10:03；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367