2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期末数学最后一卷

这是一份2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期末数学最后一卷，共26页。试卷主要包含了多选题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期末数学最后一卷
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）设是复数的共轭复数，若，则　　
A．2 B． C．2或 D．2或
2．（3分）从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是　　
A． B． C． D．
3．（3分）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
4．（3分）在三棱锥中，，，分别是边，，的中点，且，．若异于直线、所角，则线段等于　　
A． B． C．或 D．或2
5．（3分）在平行四边形中，点，分别满足，．若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
6．（3分）已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．（3分）一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是　　
A． B． C． D．
8．（3分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．（3分）以下对各事件发生的概率判断正确的是　　
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女的概率为
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
10．（3分）已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数，则的图象　　
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．在，单调递增 D．在单调递减
11．（3分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是　　

A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆锥的表面积最小
12．（3分）已知正方体的内切球的表面积为，是空间中任意一点，则下列命题正确的是　　
A．若点在线段上运动，则始终有
B．若是棱的中点，则直线与是相交直线
C．若点在在线段上运动，则三棱锥条件为定值
D．为的中点，则过点，且与平面平行的正方体的截面面积为
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（3分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则　　．
14．（3分）正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为 　　．
15．（3分）如图，在中，已知，，，当时，　　．

16．（3分）在中，已知，，分别是角，，的对边．若，，成等比数列，且，则的值为 　　．6666666666666666
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数同时满足下列两个条件：
①的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限．
②
（Ⅰ）求出复数；
（Ⅱ）求
18．在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）若面积为，求的值；
（2）若，求．
19．在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期（单位：天）
，
，
，
，
，
，
，
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
20．如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点．
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值．

21．已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由．

22．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．


2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期末数学最后一卷
参考答案与试题解析
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．（3分）设是复数的共轭复数，若，则　　
A．2 B． C．2或 D．2或
【分析】结合复数的四则运算及复数相等条件可求，代入所求式子进行化简可求．
【解答】解：设，，为实数），
因为，
所以，
即，
所以，
所以，或，
当，时，，
当，时，．
故选：．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数相等条件的应用，考查了数学运算的核心素养，属于基础题．
2．（3分）从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有15个，由此能求出抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率．
【解答】解：从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数，
抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有15个，分别为：
，，，，，，，，
，，，，，，，
抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是．
故选：．
【点评】本题概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（3分）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意利用两角和的正弦公式，求得，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得的值．
【解答】解：，，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
4．（3分）在三棱锥中，，，分别是边，，的中点，且，．若异于直线、所角，则线段等于　　
A． B． C．或 D．或2
【分析】由异面直线所成的角可得或，在中利用余弦定理求解．
【解答】解：、、分别是三棱锥棱、、的中点，
为的边的中位线，故且，
同理为的边的中位线，故且，
与所成角为，则或，
当时，；
当时，．
线段等于或．
故选：．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，涉及异面直线所成的角，属基础题．
5．（3分）在平行四边形中，点，分别满足，．若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【分析】向量可以用向量与向量表示出来，同理和向量用，向量表示，代换即可得到，，的值．
【解答】解：由题意可知，．，
，，
，
，
，又，
则，，
，
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
6．（3分）已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】由已知结合余弦定理及正弦定理进行化简可得，的关系，然后结合三角形内角和定理及锐角三角形可求的范围，再结合正弦定理及和差角公式对所求式子进行化简，结合正弦函数性质可求．
【解答】解：，
所以，
由正弦定理得，
因为锐角三角形中，，，
所以，
所以，即，，
所以，解得，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及正弦函数的性质，属于中档题．
7．（3分）一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是　　
A． B． C． D．
【分析】设内接圆柱的底面半径为，表示出圆柱的高，写出圆柱的侧面积，再求侧的最大值．
【解答】解：圆锥的底面半径为2，高为4，
内接圆柱的底面半径为时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为
因此，内接圆柱的高；
圆柱的侧面积为：

令，当时；
所以当时，．
即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为．
故选：．

【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式和旋转体的内接外切等知识点，考查了运算能力，是基础题．
8．（3分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【分析】由已知可得底面三角形为等腰直角三角形，求出棱锥的底面外接圆的半径，然后求解几何体的外接球的半径，即可求解外接球的表面积．
【解答】解：如图，
平面，、平面，
，，
，，，
又，，即，
取中点，则为的外心，设球的半径为，三角形的外接圆半径为，
则，，
球的表面积为．
故选：．

【点评】本题考查几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．（3分）以下对各事件发生的概率判断正确的是　　
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女的概率为
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
【分析】结合选项利用对立事件、列举法确定基本事件个数、及古典概型的概率计算公式，逐项判断即可求解．
【解答】解：甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲赢；甲输：二人平局的概率各为，
而甲不输包括了甲赢和二人平局，所以玩一局甲不输的概率为，故错误；
记1名男同学为，2名女生为、，则从这3人中任选2人的所有基本事件为，，，
共3个基本事件，其中选中一男一女同学的包含2个基本事件，所以选中一男一女的概率为，故正确；
将一个质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，共有种不同的基本事件，
其中点数之和为6的有，，，，共5个基本事件，
所以点数之和为6的概率是，选项正确．
从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率为，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查对立事件、列举法的运用及古典概型概率计算公式；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
10．（3分）已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位后得到的函数为偶函数，则的图象　　
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．在，单调递增 D．在单调递减
【分析】根据函数的周期求出，结合三角函数平移关系以及偶函数的性质求出，然后分别根据对称性，单调性进行判断即可．
【解答】解：的最小正周期为，
，得，
此时，
图象向右平移个单位后得到，
若函数为偶函数，则，，
得，
，当时，，
则，
则，故关于点不对称，故错误，
，故关于直线不对称，故错误，
当时，，，此时函数为增函数，故正确，
当时，，，此时函数不单调，故错误，
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的性质是解决本题的关键．难度不大．
11．（3分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是　　

A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆锥的表面积最小
【分析】分别求出圆柱、圆锥的侧面积和表面积，再求出球的表面积，由此能求出结果．
【解答】解：对于，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等，
圆柱的侧面积为，故错误；
对于，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，
圆锥的侧面积为，故错误；
对于，圆柱的侧面积为，球面面积为，
圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确；
对于，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，
球的表面积为，
圆锥的表面积最小，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积、球的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（3分）已知正方体的内切球的表面积为，是空间中任意一点，则下列命题正确的是　　
A．若点在线段上运动，则始终有
B．若是棱的中点，则直线与是相交直线
C．若点在在线段上运动，则三棱锥条件为定值
D．为的中点，则过点，且与平面平行的正方体的截面面积为
【分析】对于：根据线面垂直的性质定理判断是否正确；对于：由图可知直线与是异面直线，即可判断是否正确；对于：利用等体积转化法得到三棱锥体积等于三棱锥的体积，接着求点到平面的距离和底面积，从而证明三棱锥体积为定值，做出过点，且与平面平行的正方体的截面为面，最后求出面积即可．
【解答】解：对于：因为正方体内切球的表面积为，
设内切球的半径为，则，解得，
所以正方体的棱长为，

因为，，且，
所以平面，因为平面，
所以，故正确；
对于

由图可知，直线与是异面直线，故错误；
对于

由图可知：因为平面，三棱锥体积等于三棱锥的体积，
由可知，平面，
所以点到平面的距离为，
因为动点到直线的距离等于1，
所以的面积等于，
所以，
故棱锥的体积为定值，故正确；
对于

取中点为，中点为，连接，，，，
因为，，
所以平面平面，
所以过点，且与平面平行的正方体的截面为面，
由图可知面是菱形，其中对角线长为，，
所以，故正确．
所以真命题有3个，
故选：．
【点评】本题考查与球有关的组合体，解题关键是作出合适的截面图，属于中档题．
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（3分）已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则　7　．
【分析】求出这8个数的平均数为，方差为，由此能求出的值．
【解答】解：某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，
此时这8个数的平均数为，
方差为，则．
故答案为：7．
【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（3分）正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为 　　．
【分析】将正三棱台补全为三棱锥由正三棱台的体积转化求解即可．
【解答】解：如图，正三棱台，将其补全为三棱锥，为三棱锥的高，
则正三棱台的体积，
由题意可知，，
设，则，解得，
三棱锥的高为2，三棱锥的高为1，
．
故答案为：．

【点评】本题考查三棱台体积的求法，考查割补法在求几何体体积中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（3分）如图，在中，已知，，，当时，　11　．

【分析】先根据求出；再借助于向量的三角形法则即可求解．
【解答】解：，
；
，，
；
；
故答案为：11．
【点评】本题考查向量的数量积以及三角形法则，是对基础知识的考查．
16．（3分）在中，已知，，分别是角，，的对边．若，，成等比数列，且，则的值为 　　．6666666666666666
【分析】运用等比数列的中项性质和正弦定理、余弦定理，结合同角的商数关系、平方关系，两角和的正弦公式，化简可得所求值．
【解答】解：，，成等比数列，可得，由正弦定理可得，
，即为，
可得，故为锐角，，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的中项性质，三角形的正弦定理、余弦定理的运用，三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于基础题．
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数同时满足下列两个条件：
①的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限．
②
（Ⅰ）求出复数；
（Ⅱ）求
【分析】（Ⅰ）利用已知条件，设出复数，通过求出即可复数；
（Ⅱ）化简为的形式，然后利用复数的模求解即可．
【解答】解：由题意设复数，，，，．
（Ⅰ），可得：，
可得，
可得，解得
，，，，．
可得，，
．
（Ⅱ）．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算魔法师的模的求法，考查计算能力．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）若面积为，求的值；
（2）若，求．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式得，由余弦定理可求的值，结合范围，可求的值，进而根据三角形的面积公式可求的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据两角和的余弦函数公式可求的值．
【解答】解：（1）因为，
在中，由正弦定理，
得，化简得，
在中，由余弦定理得，，
因为，
所以，
又面积为，可得，
所以．
（2）因为，
在中，由正弦定理，
所以，
因为，
所以，
由（1）得，
所以，
化简得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间．某地区一研究团队从该地区500名病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如表格：
潜伏期（单位：天）
，
，
，
，
，
，
，
人
数
60岁及以上
2
5
8
7
5
2
1
60岁以下
0
2
2
4
9
2
1
（1）估计该地区500名患者中60岁以下的人数；
（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到；
（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【分析】（1）调查的50名病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，由此能求出该地区病毒患者中，60岁以下的人数．
（2）利用频数分布表能求出50名患者的平均潜伏期．
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人，利用列举法能求出这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【解答】解：（1）调查的50名病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，
因此该地区病毒患者中，60岁以下的人数估计有人；
（2）50名患者的平均潜伏期为：
（天；
（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，
其中潜伏期在天的四人编号为：1，2，3，4，
潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，
从六人中抽取两人包括15个基本事件，分别为：
1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6．
记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件，则事件包括8个，
所以这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率．
【点评】本题考查频数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．
20．如图，在中，，，，是的中点，点满足，与交于点．
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值．

【分析】建立平面直角坐标系，求出各点坐标；
（1）分别求出两个向量的坐标，代入即可；
（2）根据等式求出的坐标，进而求得结论
【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则，，．
（1）由，得，所以．
由是的中点，得，所以．
设，则，．
因为、、三点共线，所以，即，①
因为、、三点共线，所以，即，②
联立①②得解得
故点的坐标为，所以．
所以，
所以实数的值为．
（2）设，
则，，．
因为，所以，
解得，所以的坐标为，所以．
又，
所以．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力
21．已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由．

【分析】（1）由线面垂直的性质证明线线垂直，再由面面垂直的推论证明线面垂直；（2）线线平行证明线面平行．
【解答】（1）证明：平面，平面，
，
四棱锥的底面为平行四边形，
，
，
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
（2）解：存在，为上靠近的三等分点，
取上靠近的三等分点为，取上靠近的三等分点为，连接、、；
、分别为、上的三等分点，
且，
，且四棱锥的底面为平行四边形，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
【点评】本题重在对线面平行、线面垂直的性质证明及推论应用的考查，属于中档题．
22．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求与平面所成的角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．

【分析】（1）推导出，，，从而平面，由此能证明平面平面．
（2）斜线在平面内的射影为，是与平面所成角的平面角，推导出，，由此能求出与平面所成角的正切值．
（3）过点作，垂足为，连结，推导出，平面，，是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：四边形为菱形，，
，为等边三角形，，
在中，是中点，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）解：平面，斜线在平面内的射影为，
即是与平面所成角的平面角，
平面，平面，，
在中，，
在中，，
平面，平面，，
在中，，
与平面所成角的正切值为．
（3）解：在平面中，过点作，垂足为，连结，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
是二面角的平面角，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，
由余弦定理得，
二面角的正弦值为．


【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/23 17:49:07；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394