2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

1．已知复数满足，则它的虚部为　　

A． B． C． D．

2．的值等于　　

A．0 B． C． D．

3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则　　

A． B． C． D．

4．设，则　　

A． B． C． D．

5．轮船和轮船在中午12时，同时离开海港，两船航行方向的夹角为，两船的航行速度分别为，，则14时两船之间的距离是　　

A． B． C． D．

6．定义运算、若，，，则等于　　

A． B． C． D．

7．在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则，满足的关系为　　

A． B． C． D．

8．圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为，，表影长之差为，那么表高为　　

A． B． 

C． D．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．已知向量，，记向量，的夹角为，则　　

A．时，为锐角 B．时，为钝角 

C．时，为直角 D．时，为平角

10．在中，下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，则 

C．若，则为钝角三角形 

D．若，则

11．设是所在平面内的一点，，则　　

A． B． C． D．

12．在中，角，，所对的边分别为，，，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的可能取值为　　

A．1 B． C．2 D．3

三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．设向量，，若，则　　．

14．若，则　　．

15．已知是方程的一个根，则　　．

16．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则面积的最大值为　　．

四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．

（1）求复数；

（2）若为纯虚数，求实数的值．

18．已知，且．求：

（1）的值；

（2）的值．

19．如图，在四边形中，，且．

（1）求的值；

（2）点在线段上，且，求的余弦值．

20．在①；②；③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且面积为，且，，______？

21．已知，，设．

（1）当时，求的值域；

（2）若锐角满足（C），且不等式恒成立，求的取值范围．

22．如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，，市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中，都在边上，不与，重合，在，之间），且．

（1）若在距离点处，求和的长度；

（2）为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．

2020-2021学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

1．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：复数满足，

则它的虚部为．

故选：．

2．【分析】利用诱导公式得出，，然后利用两角和与差的余弦函数公式得出结果．

【解答】解：

故选：．

3．【分析】直接利用向量共线基本定理求得结果．

【解答】解：设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，

则：利用向量共线基本定理：，

故选：．

4．【分析】由，然后结合已知角的范围进行化简即可．

【解答】解：，

则，

．

故选：．

5．【分析】根据题意可画出，其中，，，然后根据余弦定理即可求出的长，从而得出正确的选项．

【解答】解：根据题意，轮船行驶的距离为，轮船行驶的距离为，用图形表示如下：

在中，，，，

根据余弦定理得，，

．

故选：．

6．【分析】根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到的值，根据，利用同角三角函数间的基本关系求出，再根据求出，利用两边取正切即可得到的值，根据特殊角的三角函数值即可求出．

【解答】解：依题设得：

．

，．

又，．

，

．

故选：．

7．【分析】由已知可得，再由，，三点共线即可求解．

【解答】解：由可得：，

所以，

因为，，三点共线，所以，

故选：．

8．【分析】由题意画出图形，找出线面角，设，然后求解三角形得答案．

【解答】解：如图，设表高

在中，，则，

，

在直角三角形中，，

即

．

故选：．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．【分析】根据题意，有，据此结合数量积的性质分析选项，即可得答案．

【解答】解：根据题意，向量，，则，

依次分析选项：

对于，当且、不共线时，为锐角，则有，解可得，正确；

对于，当且、不共线时，为钝角，则有，解可得且，错误；

对于，当时，，即为直角，正确；

对于，当时，向量，，，有，，正确；

故选：．

10．【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可检验，，然后结合三角函数关系分别检验，，即可判断．

【解答】解：由，正确；

由，正确；

由题意得一定为锐角，显然不为直角，

当为锐角时，则为钝角三角形，

当为钝角时，为钝角三角形，正确；

或或，错误．

故选：．

11．【分析】用向量做基底表示所有向量，然后进行运算．

【解答】解：显然成立，对，

，

，

，

，

，对，

，错，

，错，

故选：．

12．【分析】直接利用余弦定理和一元二次不等式的解法的应用求出结果．

【解答】解：在中，角，，所对的边分别为，，，，，

所以，

整理得：，

故△，解得（舍负），

或，解得．

故的取值为，．

故选：．

三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．【分析】根据向量垂直的条件可得关于的方程，解之可得结果．

【解答】解：向量，，若，

则，

则，

故答案为：5．

14．【分析】根据二倍角的正切函数公式求出，然后利用两角和与差公式以及特殊角的三角函数值求出结果即可．

【解答】解：

故答案为：

15．【分析】利用实系数方程的根，结合复数相等的充要条件，列出方程求解即可．

【解答】解：将代入方程，有，

即，即，

由复数相等的充要条件，得，解得，，

故．

故答案为：．

16．【分析】由正弦定理以及两角和差的正切公式以及三角形的面积公式进行转化求解即可．

【解答】解：由，

则，

即，

由正弦定理得，

，

，

即

，

，

即，即，

，

由余弦定理得：

，

即，

即，当且仅当时取等号，

则的面积，

即三角形面积的最大值为．

故答案为：．

四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【分析】（1）设，且，由条件可得①，②．由①②联立的方程组得、的值，即可得到的值．

（2）根据若为纯虚数，可得，由此求得的值．

【解答】解：（1）设，且，由得：①．

又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，

则，即②．

由①②联立的方程组得，；或，．

，，，则．

（2） 为纯虚数，，

解得．

18．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得、，再利用两角和差的三角公式，求得的值．

（2）先求得的值，结合 0，，可得的值．

【解答】解：（1）已知，且， 为锐角，

，，

．

（2）由于，

结合 0，，可得．

19．【分析】（1）根据题意，建立坐标系，求出、、的坐标，即可得、的坐标，由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案；

（2）根据题意，求出的坐标，进而由数量积的计算公式计算可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，如图建立坐标系，，，，

则，，，

则；

（2）点在线段上，且，则的坐标为，，

则，，

则，，，

．

20．【分析】由，结合三角形面积公式及余弦定理进行化简可求，由，结合余弦定理进行化简可求，

选①；结合三角形内角和及正弦定理可求，，即可求解；

选②；结合正弦定理可求，即可判断；

选③，结合三角形面积公式及余弦定理可求，，即可求解．

【解答】解：因为，

所以，即，

所以，

由为三角形内角，得，

因为，

由余弦定理，得，

化简，得，

选①；

，

由正弦定理，得，

所以，，此时三角形的周长为；

②；

由正弦定理，得，

所以，不存在，此时三角形不存在；

③，

则，

所以，

由余弦定理，得，

所以，此时三角形的周长为．

21．【分析】（1）利用向量的数量积，结合二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过的范围，求解函数的值域即可．

（2）求出的大小，通过两角和与差的三角函数以及不等式恒成立，设，推出，然后求解即可．

【解答】解：（1），，．

所以，

当时，，，

．

（2）由（C）可得，

，

，

注意到，

，

设，

不等式

，

，

恒成立，

注意到，

当时，，

．

22．【分析】（1）利用题中的条件，在中解出角的大小，进而在三角形中计算出的长度；

（2）分别在中和中，表示出，的长度，进而表示出三角形的面积，确定最小值．

【解答】解：（1）在中，其中，，，

，，

在中，，

，

在中，，

在中，，；

（2）设，，

在中，，，

在中，，，

，

，时，的面积最小，最小值为．

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日期：2022/3/11 19:12:51；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367