2020-2021学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知为虚数单位，复数的虚部为　　

A．0 B． C． D．

2．（5分）如图，已知等腰三角形△，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是　　

A． B．1 C． D．

3．（5分）已知中，，，，那么角等于　　

A． B． C． D．

4．（5分）轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的底面积是侧面积的　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于　　

A． B． C． D．

6．（5分）在中，若，，，则此三角形　　

A．无解 B．有两解 

C．有一解 D．解的个数不确定

7．（5分）欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献．著名的欧拉公式：，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．结合欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．（5分）半径为2的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）下列命题中正确的有　　

A．空间内三点确定一个平面 

B．棱柱的侧面一定是平行四边形 

C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 

D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若复数，满足，则 

C．若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等 

D．“”是“复数是虚数”的必要不充分条件

11．（5分）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是　　

A．为单位向量 B．为单位向量 C． D．

12．（5分）在中，，，分别是角，，的对边，为钝角，且，则下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）复数满足，则的共轭复数　　．

14．（5分）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 　　．

15．（5分）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为20的球面上，其上、下底面半径分别为8和10，则该圆台的体积为　　．

16．（5分）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，，且，则角　　；若角的平分线为，则线段的长为　　．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知，其中是虚数单位，为实数．

（1）当为纯虚数时，求的值；

（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围．

18．（12分）已知的角、、所对的边分别是、、．设向量，，．

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积．

19．（12分）如图，在平行四边形中，，，，为的中点，为线段上靠近点的四等分点，记，．

（1）用，表示，；

（2）求线段的长．

20．（12分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

在中，内角，，的对边分别为，，．已知______．

（1）求角；

（2）若，求周长的最大值．

21．（12分）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）若，求与夹角的大小；

（2）试确定点的位置，使取得最小值，并求此最小值．

22．（12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设．

（1）当时，求的值，并求此时防护网的总长度；

（2）若，问此时人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的多少倍？

（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

2020-2021学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【分析】按照多项式的乘法展开，然后复数化简为的形式，确定虚部即可．

【解答】解：复数

它的虚部为：

故选：．

2．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．

【解答】解：△是一平面图形的直观图，斜边，

直角三角形的直角边长是，

直角三角形的面积是，

原平面图形的面积是，

故选：．

3．【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出的值，进而求出，再由确定、的关系，进而可得答案．

【解答】解析：由正弦定理得：，

或

故选：．

4．【分析】根据等边三角形性质得出圆锥的母线与底面半径的关系，代入底面积和侧面积公式得出结论．

【解答】解：设等边圆锥的底面半径为，则圆锥的母线为，

，

故选：．

5．【分析】根据条件即可得出，然后根据，，三点共线即可得出，从而可得出的值．

【解答】解：为的中点，且，

，且，，三点共线，

，

．

故选：．

6．【分析】由，，的值，利用正弦定理求出的值，利用三角形边角关系及正弦函数的性质判断即可得到结果．

【解答】解：在中，，，，

由正弦定理，

得：，

，，

的度数有两解，

则此三角形有两解．

故选：．

7．【分析】利用复数的运算法则、欧拉公式化简可得，再利用几何意义即可得出．

【解答】解：．

．

．

复数在复平面内对应的点，位于第四象限．

故选：．

8．【分析】设与交于点，由题意可得四边形是菱形，利用菱形的性质以及数量积运算可得，由，即可求得的取值范围．

【解答】解：如图，设与交于点，由，得四边形是菱形，且，

则，，

由图知，，而，

所以，

同理，，而，

所以，

所以，

因为点是圆内一点，则，

所以．

即的取值范围为，．

故选：．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．【分析】利用公理及推论，棱柱的定义等逐一判断即可．

【解答】解：对于选项，要强调该三点不在同一直线上，故错误；

对于选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故正确；

对于选项，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；

对于选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故错误．

故选：．

10．【分析】由求得判断；设出，，证明在满足时，不一定有判断；举例说明错误；由充分必要条件的判定说明正确．

【解答】解：．若，则，故正确；

．设，，，．

由，得，

则，而不一定等于0，故错误；

．，为纯虚数，其实部与虚部不等，故错误；

．复数是虚数则，即，

故“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故正确．

故选：．

11．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．

【解答】解：是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，

则，又，，即为单位向量，故正确；

，

，，故错误；

向量，的夹角即为与的夹角，也就是的补角，其大小为，故错误；

，故正确．

故选：．

12．【分析】选项，利用余弦定理将已知等式中的角化边，再化简整理，即可得解；

选项，利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理与正弦的两角和公式可推出，进而得解；

由，，且，，可求出角和的范围，从而判断选项和．

【解答】解：由余弦定理知，，

，，

化简得，即选项正确；

由正弦定理知，，

，，

又，

，

为钝角，，即，故选项正确；

，，且，，

，，

，，即选项错误，选项正确．

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【分析】先求出复数，进而求得其共轭复数．

【解答】解：，

．

故答案为：．

14．【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解．

【解答】解：．

故答案为：．

15．【分析】依题意，圆台的下底面在外接球的大圆上，作出图形，求得圆台的高，进而求得圆台的体积．

【解答】解：圆台的下底面半径为10，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，

设球的球心为，圆台上底面的圆心为，

则圆台的高为，

．

故答案为：．

16．【分析】根据正弦定理求出，求出的值即可，结合正弦定理以及余弦定理求出即可．

【解答】解：由，，由正弦定理，，

，，或，

是锐角三角形，，

如图示：

平分，

由正弦定理得：，，

，，

，，

，

，，

在中，，，

在中，，，

故答案为：，．

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【分析】（1）直接由实部为0且虚部不为0列式求解值；

（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．

【解答】解：（1）为纯虚数，

，解得；

（2）在复平面内对应的点位于第二象限，

，解得或．

的取值范围是，，．

18．【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．

（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．

【解答】证明：（1）

即．其中为外接圆半径．

为等腰三角形．

（2）由题意，

由余弦定理

或（舍去）

19．【分析】（1）根据向量基本定理进行求解．

（2）根据向量长度与向量数量积的关系进行转化求解即可．

【解答】解：（1）．

．

（2），

即，

即．

20．【分析】（1）若选条件①，化简可得，可得，由此得解；若选条件②，化简可得，由此得解；若选条件③，化简可得，由此得解；

（2）由（1）知，，由余弦定理及基本不等式可得，由此求得周长的最大值．

【解答】解：（1）若选条件①，由，可得，

又，

，

，

又，故，

又，故；

若选条件②，由，可得，即，

又，故，

又，故；

若选条件③，由，可得，即，

，

又，故，

又，故；

（2）由（1）知，不管选择哪个条件，，

由余弦定理有，，

又，则，

，

，

，

，当且仅当时取等号，

，即周长的最大值为．

21．【分析】（1）根据题意求出，，三点坐标，从而利用向量的坐标运算求出与，再利用夹角公式即可求得结论；

（2）设，求出向量，，由向量的数量积运算将转化为关于的二次函数，由二次函数的性质即可求得的最小值．

【解答】解：（1）因为半圆的直径，由题意易知，，

又，，所以，

，，

所以，，

设与的夹角为，则，

又因为，，所以，即与夹角的大小为．

（2）设，

由（1）知，，，，，

，

所以，

又因为，所以当时，有最小值为，

此时点的坐标为，．

22．【分析】（1）在三角形中，由余弦定理得的值，利用勾股定理可得三角形是直角三角形，可求的值，求得是等边三角形，即可得解．

（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由于以为顶点时，和的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．

（3）由已知利用正弦定理求出，，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求的面积关于的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．

【解答】解：（1）在三角形中，由余弦定理得，

所以，

所以三角形是直角三角形，

所以，．

由于，

所以，

所以是等边三角形，周长为，也即防护网的总长度为．

（2）时，在三角形中，由正弦定理得，

在三角形中，，

由正弦定理得．

所以．

以为顶点时，和的高相同，

所以，

即人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍．

（3）在三角形中，，

由正弦定理得．

在三角形中，，

由正弦定理得．

所以

．

由于，

所以当，时，最小值为．

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日期：2022/3/11 19:16:05；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367