2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知，，，则　　A． B． C．或 D．大小无法确定2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积　　A． B．1 C． D．4．（5分）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是　　A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则5．（5分）已知在中，，，，则　　A． B． C． D．6．（5分）已知向量，，向量在方向上的投影向量为　　A． B．， C．， D．，7．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为　　A． B． C． D．8．（5分）如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点．若点在线段上，且满足平面，则的值为　　A．1 B．2 C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）设向量，，则　　A． B． C． D．与的夹角为10．（5分）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是　　A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形11．（5分）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是　　A．直线与为异面直线 B．平面 C．正方体的外接球的表面积为 D．三棱锥的体积为12．（5分）已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有　　A． B． C． D．，的夹角是钝角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）已知且，则取值范围为　　．14．（5分）若圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积是，则该圆锥的体积是　　．15．（5分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为　　．16．（5分）已知向量、满足，，则的最小值是　　，最大值是　　．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知复数为虚数单位）（1）若，求复数的共轭复数；（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值．18．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．19．（12分）已知，，为坐标原点．（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；（2）设，，求的面积．20．（12分）如图，在直三棱柱中，点，分别为线段，的中点．（1）求证：平面；（2）若在棱上，平面，求的值．21．（12分）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足．（1）求的值；（2）若为线段上任意一点，求的最小值．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．【分析】直接利用等角定理的应用求出结果．【解答】解：已知，，，当角的方向相同时，，当角的方向相反时，，故选：．2．【分析】化简复数后可得其对应点为，从而可得答案．【解答】解：，故对应的点在第一象限，故选：．3．【分析】由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【解答】解：由题意正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以，对应原图形平行四边形的高为：，所以原图形的面积为：．故选：．4．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系判断；由直线与平面平行的性质判断．【解答】解：若，，则或，故错误；若，，则或与相交或与异面，故错误；若，，，由直线与平面平行的性质可得，故正确；若，，则或与异面，故错误．故选：．5．【分析】先利用余弦定理求出，再根据向量的数量积定义即可求出．【解答】解：，．故选：．6．【分析】先求出在方向上的投影，再求出在方向上的投影向量．【解答】解：，，在方向上的投影为，在方向上的投影向量为，．故选：．7．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆，可得圆心为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4，由球的截面圆性质建立关于的方程并解出，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆，则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4，由球的截面圆性质，得，解出，根据球的体积公式，该球的体积．故选：．8．【分析】连接，交于，连接，由平面，得到，由点，分别为棱，的中点，得到是的重心，由此能求出结果．【解答】解：连接，交于，连接，如图，平面，平面平面，，点，分别为棱，的中点．是的重心，．故选：．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．【分析】可以求出，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．【解答】解：，错误；，，，错误，正确；，且，的夹角为，正确．故选：．10．【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．【解答】解：对于，若，则，即，即，即是等边三角形，故正确；对于，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于，若，，即，则是等腰三角形，故正确；对于，中，，角为锐角，但不一定是锐角三角形，故错误；故选：．11．【分析】判断两条直线是否是异面直线判断；直线与平面平行的判断定理判断；求解外接球的表面积判断；求解棱锥的体积判断．【解答】解直线与为异面直线，满足异面直线的定义，所以正确；，平面，平面，平面，所以正确；正方体的外接球的半径为：，所以正方体的外接球的表面积为：，所以正确；三棱锥的体积为：，所以不正确．故选：．12．【分析】画出图形，建立坐标系，说明在该平面上的轨迹，结合选项判断正误即可．【解答】解：，是平面上夹角为的两个单位向量，如图：，，距离坐标系如图，，，，，可得，所以，在以为直径的圆上，所以．所以不正确；，所以正确；的最大值为：，所以正确；，的夹角是锐角，所以不正确．故选：．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．【分析】根据复数模的性质：，利用，，令，则，能求出的取值范围．【解答】解：根据复数模的性质：，，，令，则，，即的取值范围为，，故答案为：，．14．【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为，则母线长为，由侧面面积求得，再由圆锥体积公式求解．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为，则母线长为，高为．则其侧面积，解得．圆锥的高为．其体积，故答案为：．15．【分析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出，中利用等角对等边求出，在中由余弦定理求出．【解答】解：如图所示： 中，，，，所以，由正弦定理得，解得，中，，，，所以，所以，中，由余弦定理得，所以，即、两点间的距离为．故答案为：．16．【分析】通过记，利用余弦定理可可知、，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记，则，如图，由余弦定理可得：，，令，，则、，其图象为一段圆弧，如图，令，则，则直线过、时最小为，当直线与圆弧相切时最大，由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧所在圆的半径的倍，所以．综上所述，的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）推导出，从而，由此能求出复数的共轭复数．（2）推导出，由此能求出实数的值．【解答】解：（1）复数 为虚数单位），，，，复数的共轭复数．（2）复数是关于 的方程一个虚根，，整理，得：，解得．18．【分析】（1）利用二倍角公式，余弦定理化简已知等式可得的值，结合范围，可得的值．（2）由已知利用余弦定理解得，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）因为，可得，所以，所以，整理可得，可得，因为，可得．（2）因为，，且，所以由余弦定理，可得，解得，所以的面积．19．【分析】（1）根据平面向量的坐标运算和数量积运算，列不等式求出的取值范围，注意去掉夹角为平角的情况．（2）利用平面向量的数量积公式和三角形面积公式，计算即可．【解答】解：（1）由，，所以，；令，即，解得，当时，，与方向相反，夹角为平角，不合题意；所以，所以若与的夹角为钝角，则的取值范围是．（2）设，面积为，则；因为，所以；所以．20．【分析】（1）推导出，由此能证明平面；（2）推导出，从而是线段的中点，由此能求出的值．【解答】解：（1）证明：点，分别为线段，的中点，连接，交于，则是的中点，，平面，平面，平面；（2）平面，平面，平面平面，，又是线段的中点，是线段的中点，．21．【分析】方法一（1）根据，，得到；再把转化为进一步整理即可得到结论；（2）令，结合第一问的结论求出的值；再把所求问题转化为关于，的二次函数，结合二次函数的性质即可求解；方法二以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系；（1）直接求出两个向量的坐标代入求解即可；（2）设，把转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求解．【解答】解：方法一（1）在梯形中，因为，，所以，；（2）令，则，即，令，则，，所以当时，有最小值．方法二（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系；则，，，；则，由相似三角形易得．设，则，．得．则，．（2）设，显然，，所以当时，有最小值．22．【分析】（1）由题意可求出，所以为正三角形，则，在中由正弦定理可求出，从而求出四边形的面积．（2）根据条件可得，，，在中由正弦定理可得，再在中由正弦定理即可表达出．（3）在中由正弦定理求出，从而求出关于的函数表达式，再根据的取值范围求出的最小值．【解答】解：（1），，，又，，又，所以为正三角形，则，在中，因为，所以，故四边形的面积．（2）因为，，所以，又因为灯柱与地面垂直，即，所以，因为，所以，在中，因为，所以，在中，因为，所以．（3）在中，因为，所以，则，因为，所以，所以当时，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/3/11 19:12:19；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367