2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

一、单选题

1．设集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．设复数满足是虚数单位），则　　

A． B． C． D．

3．“”是“”的　　

A．充分但不必要条件 

B．必要但不充分条件 

C．充要条件 

D．既不是充分条件也不是必要条件

4．设，，，则　　

A． B． C． D．

5．德国天文学家，数学家开普勒发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为．则天王星的公转时间约为　　

A． B． C． D．

6．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

7．甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则密码被破译的概率为　　

A．0.88 B．0.7 C．0.58 D．0.12

8．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中！．根据该公式可知，与的值最接近的是　　

A． B． C． D．

二、多选题

9．在复平面内，复数对应的点为，则　　

A． B． C． D．

10．一只袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个白球和2个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“两次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则　　

A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．乙与丁互斥 D．丙与丁互斥

11．已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是　　

A．若，则为等腰三角形 

B．若，则为锐角三角形 

C．若，则，，三点共线 

D．若，，则

12．已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，则　　

A．圆台的母线长为6 

B．当圆锥圆锥的体积相等时， 

C．圆台的体积为 

D．当圆台，上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为

三、填空题

13．今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是 　　．

14．已知角的终边经过点，则　　．

15．已知，是非零实数，若关于的不等式恒成立，则的最小值是 　　．

16．已知函数，则的值域是 　　，不等式的解集是 　　．

四、解答题

17．已知函数．

（1）求证：为偶函数；

（2）求的最大值．

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

在中，角，，所对的边分别为，，，且满足____．

（1）求角的大小；

（2）若为边上一点，且，，，求．

19．如图，菱形的边长为2，，，．求：

（1）；

（2）．

20．某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：，得到如下频率分布表：

（1）求表中，，的值；

（2）试估计该区居民的月平均用水量；

（3）从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．

21．如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

22．已知函数．

（1）若，，求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到曲线，再把上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若函数在区间，上恰有2021个零点，求，的值．

2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1．设集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】进行交集的运算即可．

【解答】解：，，

，．

故选：．

【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．设复数满足是虚数单位），则　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用复数的除法运算法则求解即可．

【解答】解：因为复数满足，

所以．

故选：．

【点评】本题考查了复数的除法运算法，考查了运算能力，属于基础题．

3．“”是“”的　　

A．充分但不必要条件 

B．必要但不充分条件 

C．充要条件 

D．既不是充分条件也不是必要条件

【分析】先通过转化分式不等式化简条件，再判断成立是否推出成立；条件成立是否推出成立，利用充要条件的定义判断出是成立的什么条件．

【解答】解：条件：，即为

若条件：成立则条件一定成立；

反之，当条件成立不一定有条件：成立

所以是成立的充分非必要条件．

故选：．

【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．

4．设，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】由对数函数、指数函数的单调性及特殊值确定各数的范围，从而比较大小．

【解答】解：，，

，，

，，

故，故选：．

【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性的应用，属于基础题．

5．德国天文学家，数学家开普勒发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为．则天王星的公转时间约为　　

A． B． C． D．

【分析】结合即可求解．

【解答】解：设天王星的公转时间为，距离太阳平均距离为，

土星的公转时间为，距离太阳平均距离为，

由题意可知，，

所以．

故选：．

【点评】本题考查函数的实际应用问题，考查数学建模的核心素养，属于基础题．

6．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

【分析】对于，或；对于，或；对于，与相交或平行；对于，由线面垂直的性质得．

【解答】解：，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，

对于，若，，则或，故错误；

对于，若，，则或，故错误；

对于，若，，则与相交或平行，故错误；

对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．

7．甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则密码被破译的概率为　　

A．0.88 B．0.7 C．0.58 D．0.12

【分析】利用相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式直接求解．

【解答】解：甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，

则密码被破译的概率为：

．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中！．根据该公式可知，与的值最接近的是　　

A． B． C． D．

【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到，求解即可

【解答】解：原式．

故选：．

【点评】本题考查了推理的应用，考查了三角函数诱导公式的应用、角度与弧度互化的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．

二、多选题

9．在复平面内，复数对应的点为，则　　

A． B． C． D．

【分析】先利用复数的几何意义求出，然后对四个选项逐一判断即可．

【解答】解：由题意，，

对于，，故选项正确；

对于，，故选项错误；

对于，，故选项正确；

对于，，故选项错误．

故选：．

【点评】本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运算法则以及复数模的运算性质，属于基础题．

10．一只袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个白球和2个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“两次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，则　　

A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．乙与丁互斥 D．丙与丁互斥

【分析】利用互斥事件的定义直接求解．

【解答】解：甲与乙不能同时发生，甲与乙是互斥事件，故正确；

乙与丙不能同时发生，乙与丙是互斥事件，故正确；

丁与乙可以同时发生，乙与丁不是互斥事件，故错误；

丙与丁可以同时发生，丙与丁不是互斥事件，故错误．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件等基础知识，是基础题．

11．已知是所在平面内一点，则下列结论正确的是　　

A．若，则为等腰三角形 

B．若，则为锐角三角形 

C．若，则，，三点共线 

D．若，，则

【分析】，由即可判断；

，可得是锐角，但不一定是锐角三角形，即可判断；

，可得，即可判断；

，由于，，则是垂心，即可判断．

【解答】解：对于，，，故正确；

对于，由于，则是锐角，但不一定是锐角三角形，故错误；

对于，，，则，，三点共线，故正确；

对于，由于，，则是垂心，，故正确；

故选：．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量的性质，属于中档题．

12．已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，则　　

A．圆台的母线长为6 

B．当圆锥圆锥的体积相等时， 

C．圆台的体积为 

D．当圆台，上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为

【分析】转化求解圆台的母线长判断；利用比例关系判断；求解体积判断；取得球的表面积判断．

【解答】解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，

，

母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以错误；

，，正确；

，正确；

设球心到上底面的距离为，则，解得，，，正确；

故选：．

【点评】本题考查旋转体中的圆台的有关知识的应用，球的表面积的求法，考查分析问题解决问题的能力，命题的真假的判断，是中档题．

三、填空题

13．今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是 　18　．

【分析】根据题意求出平均数，再利用方差公式求出方差．

【解答】解：，

，

故答案为：18．

【点评】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题．

14．已知角的终边经过点，则　3　．

【分析】根据三角函数的定义，可得，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．

【解答】解：角的终边经过点，

，

．

故答案为：3．

【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，以及正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

15．已知，是非零实数，若关于的不等式恒成立，则的最小值是 　1　．

【分析】依题意可得，，再利用基本不等式直接求解即可．

【解答】解：依题意，，

，当且仅当，时取等号．

的最小值是1．

故答案为：1．

【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．

16．已知函数，则的值域是 　，　，不等式的解集是 　　．

【分析】（1）分，，三种情况讨论，即可求解的值域．（2）当或时，，显然不成立，分，两种情况讨论，取其并集，即可求解．

【解答】（1），

当时，，当时，，当时，，

的值域为，．

（2）当或时，，显然不成立，

当时，

，解得，

，

当时，

，，

当时，即，解得，

，

综上所述，不等式的解集为．

【点评】本题考查了绝对值不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于基础题．

四、解答题

17．已知函数．

（1）求证：为偶函数；

（2）求的最大值．

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后利用偶函数的定义证明即可；

（2）利用对数的运算性质将函数化简变形，然后利用二次函数的性质以及对数函数的性质求解最值即可．

【解答】（1）证明：函数，

所以的定义域为，

因为，

所以为偶函数；

（2）解：，

因为，，所以，，

故当时，取得最大值2．

【点评】本题考查了函数最值的求解，主要考查了对数型函数的性质的应用，偶函数定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

在中，角，，所对的边分别为，，，且满足____．

（1）求角的大小；

（2）若为边上一点，且，，，求．

【分析】若选①：

（1）利用平方差公式化简已知的等式，由余弦定理求出，即可得到角的值；

（2）在中，利用余弦定理求出，由同角三角函数关系求出，再利用正弦定理求解即可．

若选②：

（1）利用两角和的正切公式以及三角形内角定理，求出，即可得到角的值；

（2）在中，利用余弦定理求出，由同角三角函数关系求出，再利用正弦定理求解即可．

若选③：

（1）利用两角和差公式以及三角形内角和公式求出的值，即可得到角的值；

（2）在中，利用余弦定理求出，由同角三角函数关系求出，再利用正弦定理求解即可．

【解答】解：若选①：

，则，

即，

所以，

又为的内角，

所以；

（2）因为，，，

所以，

则，

由正弦定理可得，，解得．

若选②：

因为，则，

所以，

又，

因为为的内角，

所以；

（2）因为，，，

所以，

则，

由正弦定理可得，，解得．

若选③：

因为，

则，

所以，

即，

又，

所以，

则，

因为为的内角，

所以；

（2）因为，，，

所以，

则，

由正弦定理可得，，解得．

【点评】本题考查了解三角问题，涉及了正弦定义与余弦定理的应用，两角和差公式以及三角形内角和定理的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．

19．如图，菱形的边长为2，，，．求：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用即可计算；

（2）利用，即可计算．

【解答】解：（1），

．

（2），．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了运算能力，属于中档题．

20．某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：，得到如下频率分布表：

（1）求表中，，的值；

（2）试估计该区居民的月平均用水量；

（3）从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．

【分析】由频率频数总数，频数总数频率进行求解．

平均数用每组数据的中点频率的结果相加得到．

【解答】解：（1）由图表可知，，区间内，居民用水量的频率为0.16，

．

则，

频率．

（2）．

（3），

从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户的基本事件共10件，

来自同一分组的可能事件共种，来自不同分组的可能事件共6种．

记事件户居民来自不同分组，

则（A）．

【点评】该题考查利用频率求频数及利用频率求平均数，并考查概率的计算，属于基础题型．

21．如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【分析】（1）连接交于，连接．证明，然后证明面

（2）作，垂足为，说明直线与面所成角为．然后求解即可．

【解答】（1）证明：连接交于，连接．因为，所以，

所以，又面，面，所以面

（2）解：作，垂足为，面，面，所以，

又，所以面，所以直线与面所成角为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题．

22．已知函数．

（1）若，，求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到曲线，再把上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若函数在区间，上恰有2021个零点，求，的值．

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数的解析式，然后利用特殊角的三角函数值，求解三角方程即可；

（2）利用三角函数的图象变换，求出的解析式，然后将函数的零点转化为方程的根，对根的可能情况进行分类讨论，分别分析求解即可．

【解答】解：（1）因为

，

因为，

又，所以，

所以；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，

向下平移个单位长度得到曲线，

再把上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），

得到函数的图象，则，

所以令，

令，，则，

当时，方程不成立，

①若式中，其中一根为1，则，另一根为，

所以在上1个零点，上2个零点，

即在上共2019个零点，

上1个零点，

个零点，

所以不存在使得有2021个零点；

②若式中，其中一根为，则，另一根为，

所以在上2个零点，上1个零点，即

在上共2019个零点，

上2个零点，

所以；

③若式中，在上只有一根，

则在，上要么2个零点，要么0个，

所以上零点个数只能是偶数，

因为2021是奇数，

所以不符题意．

综上所述，，．

【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，三角函数图象变换的应用，函数零点的求解，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于难题．

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日期：2021/8/23 17:50:34；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394