2020-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合，是全集的两个子集，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
3．（5分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是　　
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：的概率一样大
4．（5分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为　　

A．39 B．45 C．48 D．51
5．（5分）设向量，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知，则，，的大小顺序为　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，则　　
A． B． C． D．
8．（5分）打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法” ．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取，精确到　　

A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）下列结论中正确的有　　
A．若，为正实数，，则
B．若，则
C．若，，为正实数，，则
D．当时，的最小值为
10．（5分）关于函数，如下结论中正确的是　　
A．函数的周期是
B．函数的值域是，
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在，上递增
11．（5分）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为，，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是　　
A．直线与轴垂直 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）
12．（5分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是　　
A．，
B．数列是等比数列
C．的数学期望
D．数列的通项公式为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若一组样本数据2，3，7，8，的平均数为5，则该组数据的方差　　．
14．（5分）已知复数对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数　　．
15．（5分）已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是　　．
16．（5分）已知三棱锥内接于表面积为的球中，面面，，，，则三棱锥体积为 　　．
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，②，，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前项和为，数列为等比数列，____，，．求数列的前项和．
18．（12分）2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个．已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．
（1）求甲、乙两人共答对2个问题的概率；
（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；
（3）求乙答对题目数的分布列和期望．
19．（12分）如图，在梯形中，已知，，，，，求：
（1）的长；
（2）的面积．

20．（12分）如图，在四棱锥中，，，．为棱的中点，异面直线与所成的角为．
（Ⅰ）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）椭圆的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，，直线与椭圆交于点，．设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，．问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数，，其中，．
（Ⅰ）若函数无极值，求的取值范围；
（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值；
（Ⅲ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合，是全集的两个子集，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】结合韦恩图进行判定，而，从而确定出与的关系．
【解答】解：由韦恩图可知
，
反之也可得出
“”是“”的充要条件
故选：．

【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，若，则是的充分条件，是的必要条件，属于基础题．
2．（5分）函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用排除法，即可得出结论．
【解答】解：由题意，，函数是奇函数，排除，；
，，排除．
故选：．
【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．
3．（5分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是　　
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：的概率一样大
【分析】由已知可得，．由此判断正确，错误；然后再由、、原则求解概率判断与．
【解答】解：由正态分布密度曲线函数为，
得，．
该地水稻的平均株高为，故正确；
该地水稻株高的标准差，方差为100，故错误；
，
，
随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大，故正确；

，
．
随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：的概率不一样大，
故错误．
故选：．
【点评】本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
4．（5分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为　　

A．39 B．45 C．48 D．51
【分析】设该数列为，由题意得，，，成等差数列，公差，，然后结合等差数列的求和公式可求，进而可求．
【解答】解：设该数列为，由题意得，，，成等差数列，公差，，
设塔群共有层，则，
解得，，
故最下面三层的塔数之和为．
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及性质，属于基础题．
5．（5分）设向量，，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的垂直和平行的关系，分别判断即可．
【解答】解：对于向量，，，，，故错误，
对于，故错误，
对于，，，，故正确，
对于，不平行于，故错误
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的关系，属于基础题
6．（5分）已知，则，，的大小顺序为　　
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数公式可得，，，即可得出结论．
【解答】解：，

又
又

可得
故选：．
【点评】本题考查三角函数值得大小比较，考查学生关于三角函数公式得应用能力，属于基础题．
7．（5分）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，则　　
A． B． C． D．
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，过点作斜率为的直线方程设为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜率．
【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为，，
过点作斜率为的直线方程设为，联立抛物线方程，可得
，，
设，，，，可得，，
则△，即，且，
，，
可得，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的余弦定理，化简运算能力，属于中档题．
8．（5分）打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法” ．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（取，精确到　　

A． B． C． D．
【分析】作出几何体的截面图，由已知求得圆锥的高，再由三角形相似对应边成比例求出正方体的棱长，运用圆锥与正方体的体积公式求解．
【解答】解：如图，是几何体的轴截面
圆锥底面直径为，半径为，
母线与底面所成角的正切值为，圆锥的高为，
设正方体的棱长为，则，解得．
该模型的体积．
制作该模型所需原料的质量约为．
故选：．

【点评】本题考查空间多面体与旋转体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）下列结论中正确的有　　
A．若，为正实数，，则
B．若，则
C．若，，为正实数，，则
D．当时，的最小值为
【分析】利用作差法判断与的大小即可判断选项的正误；利用不等式的性质即可判断选项的正误；利用作差法判断可判断选项的正误；利用基本不等式即可判断选项的正误．
【解答】解：对于选项：若，为正实数，，因为，即，故错误；
对于选项：因为，所以，又因为，所以，即，故正确；
对于选项：若，，为正实数，，则，即，故错误；
对于选项：当时，，故正确．
故选：．
【点评】本题考查不等式的基本性质、基本不等式的应用，属中档题．
10．（5分）关于函数，如下结论中正确的是　　
A．函数的周期是
B．函数的值域是，
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在，上递增
【分析】根据三角函数的图象关系，将函数表示为分段函数形式，作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．
【解答】解：当，
当，
当，
当，
作出函数 的图象如图：

函数 的周期是，故正确；
函数 的值域是，，故错误；
函数 的图象关于直线 对称，故正确；
函数在，上递增，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质将函数表示成分段函数形式，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
11．（5分）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为，，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是　　
A．直线与轴垂直 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）
【分析】由双曲线的方程可得，的坐标，运用向量加减运算和数量积的性质，可判断；由向量共线的坐标表示和双曲线的方程和离心率公式，可判断；
由，计算可判断双曲线的渐近线的斜率，可判断；不妨设在第一象限，求得，可判断．
【解答】解：由双曲线的方程可得，设，由，
可得，所以垂直于轴，即，故正确；
设，，由，所以，，，
所以，，即，
因为，在双曲线上，所以，
整理可得，
由，可得，解得（负的舍去），故正确；
由，
即有双曲线的渐近线的斜率的平方为，故错误；
不妨设在第一象限，则，
所以，故错误．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及向量共线定理和向量数量积的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12．（5分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是　　
A．，
B．数列是等比数列
C．的数学期望
D．数列的通项公式为
【分析】利用已知条件求出，，推出；即可判断．推出，，得到，推出，说明数列是首项为，公比为的等比数列，然后求解的通项公式以及期望即判断，；把代入，可判断．
【解答】解：（1）由题意可知：，，
则；
．故错误；
由题意可知：，
，
两式相加可得：
，
，
，
，数列是首项为，公比为的等比数列，故正确；
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
，，故正确；
若数列的通项公式为，
则，故错误．
故选：．
【点评】本题考查数列与概率相结合，期望的求法，数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若一组样本数据2，3，7，8，的平均数为5，则该组数据的方差　　．
【分析】本题可运用平均数的公式：解出的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可．
【解答】解：数据2，3，7，8，的平均数为5，
，解得，
方差．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
14．（5分）已知复数对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数　　．
【分析】结合复数的四则运算分别求出每个情况对应的复数，进而可判断成立情况，可求．
【解答】解：设，则，
甲：由，即；
乙：由，即；
丙：由；
丁：由得，
所以，
若，则显然不成立，
故丙丁不能同时成立，乙丁不能同时成立，且甲乙丙可以知二推一，
所以甲丁正确，此时，，．
【点评】本题主要考查了复数四则运算，考查了转化思想，属于基础题．
15．（5分）已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是　，　．
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，求点关于直线的对称点得到圆的圆心坐标，得到圆的方程，再求出直线所过定点，利用勾股定理求得最小弦长，最大弦长为圆的直径，则的取值范围可求．
【解答】解：化圆为，
可得圆心，半径．
设关于直线的对称点，
则，解得，即，
圆的方程为．
由直线，即，
得，解得．
直线过定点，
把代入圆的方程，可知点在圆内，则当与垂直时最小，
由，可得，
．
的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查点关于直线的对称点的求法，考查直线与圆位置关系的应用，明确过圆内一点的动弦何时取得最小弦长是关键，是中档题．
16．（5分）已知三棱锥内接于表面积为的球中，面面，，，，则三棱锥体积为 　　．
【分析】由题意画出图形，证明平面，由已知球的表面积求得球的半径，然后求解三角形求得与，再由棱锥体积公式求三棱锥体积．
【解答】解：如图，

取的中点，连接，取的中点，连接，
，，
又平面平面，平面平面，
平面，则，
又，，平面，得，
为的外心，又的外心在的延长线上，
球心满足平面，平面，
，，可得，，
在中，由正弦定理求得，
三棱锥内接于表面积为的球，，
求得，则，
三棱锥体积为，
故答案为：．
【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，②，，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前项和为，数列为等比数列，____，，．求数列的前项和．
【分析】先由题设条件求出与，再求得，然后利用分组求和与裂项相消法求数列的前项和．
【解答】解：选①：
当时，，当时，，又满足，所以．设的公比为，又因为，得，，所以；
由数列的前项和为，又可知，
数列的前项和为，
故．
选②：
设公差为，由解得
所以．设的公比为，又因为，得，，所以．
由数列的前项和为，又可知，数列的前项和为，故．
选③：
由，，所以，所以．
设的公比为，
又因为，得．
由数列的前项和为，又可知，
数列的前项和为，
故．
【点评】本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法及裂项相消法与分组求和在数列求和中的应用，属于中档题．
18．（12分）2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个．已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．
（1）求甲、乙两人共答对2个问题的概率；
（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；
（3）求乙答对题目数的分布列和期望．
【分析】（1）推出两人共答6题，甲答对2个，乙答对0个；两人共答7题，甲答对1个，乙答对1个．然后求解甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．
（2）设甲获胜为事件，则事件 包含“两人共答6题甲获胜”和“两人共答7题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件，则，为对立事件，求出的概率，得到结论．
（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望．
【解答】解：（1）甲、乙共答对2个问题分别为：两人共答6题，甲答对2个，乙答对0个；两人共答7题，甲答对1个，乙答对1个．
所以甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：．
（2）设甲获胜为事件，则事件 包含“两人共答6题甲获胜”和“两人共答7题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲获胜的概率，
设乙获胜为事件，则，为对立事件，
所以（A）（B），，
所以乙胜出的可能性更大．
（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以随机变量的分布列为

0
1
2
3
4






所以期望．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型概率的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（12分）如图，在梯形中，已知，，，，，求：
（1）的长；
（2）的面积．

【分析】（1）根据计算，得出，在中使用正弦定理求出；
（2）根据求出，，在中使用余弦定理解出，则．
【解答】解：（1），，．
．
在中，由正弦定理得，即，
解得．
（2），，
，．
在中，由余弦定理得，
即，解得或（舍．
．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥中，，，．为棱的中点，异面直线与所成的角为．
（Ⅰ）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

【分析】延长交直线于点，由点为的中点，可得，由，可得，已知．可得四边形为平行四边形，即．利用线面平行的判定定理证明得直线平面即可．
如图所示，由，异面直线与所成的角为，可得平面．由，．因此是二面角的平面角，大小为．．不妨设，则．可得，0，，，1，，，2，，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．
【解答】解：延长交直线于点，点为的中点，，
，，
，即．四边形为平行四边形，即．
，，，
平面，平面，
，平面，
平面，故在平面内可以找到一点，使得直线平面．
如图所示，，异面直线与所成的角为，，
平面．
，．
因此是二面角的平面角，大小为．
．
不妨设，则．，0，，，1，，，2，，
，1，，，1，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，可得：．
令，则，，，2，．
设直线与平面所成角为，
则．

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）椭圆的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，，直线与椭圆交于点，．设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，．问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由椭圆的定义，以及椭圆中长轴长，短轴长，焦距之间的关系式即可得出椭圆方程；
（2）利用直线方程和曲线方程联立，设出交点坐标，利用根与系数的关系，表示出直线，，，的斜率，分别计算出与的值，即可解决．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为，
由，解得，，
椭圆方程为；
（2）由题意直线，斜率存在且均不为0，设直线的方程为，，，，，
由得，
，．①
又，②
将①代入②得，，
又，以代替，以替代，
同理可得，所以，
即对恒成立，所以，
则或（舍去），
经检验此时判别式△，
因此存在满足题意．
【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到圆锥曲线中是否存在性问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数，，其中，．
（Ⅰ）若函数无极值，求的取值范围；
（Ⅱ）当取（Ⅰ）中的最大值时，求函数的最小值；
（Ⅲ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）将函数无极值问题，转化为方程在区间上无根或有两个相等的根，即方程在区间上无根或有两个相等的根，求解即可；
（Ⅱ）当在（Ⅰ）中的最大值时，先证明时，，由换元法，求出的最小值即可．
（Ⅲ）先对不等式进行转化，再进行换元，得到的函数，利用导数研究的取值情况，得到的最大值，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）函数，
则，
由题意可得，方程在区间上无根或有两个相等的根，
即方程在区间上无根或有两个相等的根，
所以；
（Ⅱ）当时，，，
由（Ⅰ）可知，在上单调递增，且（1），
当时，（1），可得
当时，（1），可得，
所以当时，，
令，不等式，平方可得，
故当时，不等式成立，当时取等号，
所以当时，函数取最小值2；
（Ⅲ）对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
等价于对任意的恒成立，
令，则对任意的，恒成立，
令，则，
由（Ⅱ）可知，，即，
所以在，上单调递增，
则当时，取得最大值为（2），
所以，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，利用导数求解不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．
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日期：2021/12/1 14:12:31；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394