2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数为虚数单位），则下列说法正确的是　　
A．的虚部为4
B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C．的共轭复数
D．
2．（5分）设的三个内角为，，，向量，，，若，则的值为　　
A． B． C． D．
3．（5分）设，，，则，，大小关系　　
A． B． C． D．
4．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知，1，，，1，3，，则函数在区间上为增函数的概率是　　
A． B． C． D．
6．（5分）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述不正确的是　　

A．是定值
B．是定值
C．是定值
D．是定值
7．（5分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．

若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，；平均数分别为，，则下面正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
8．（5分）在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），则下列结论正确的个数为　　
①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面；
③若△的面积为，则；
④若、分别是△在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9．（5分）已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是　　
A．若，，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，那么
D．若，，，那么
10．（5分）关于函数，下列说法正确的是　　
A．若，是函数的零点，则是的整数倍
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象与函数的图象相同
D．函数的图象可由的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到
11．（5分）已知为虚数单位，下列说法中正确的是　　
A．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B．若复数满足，则复数
C．当，时，有
D．是集合，中的元素
12．（5分）在边长为2的等边三角形中，点，分别是边，上的点，满足且，将沿直线折到△的位置．在翻折过程中，下列结论不成立的是　　
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）如图，要计算某湖泊岸边两景点与的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，则两景点与的距离为 　　．

14．（5分）某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学生共900人（假设每人只选修一种类别的课程），按照分层随机抽样的方法从中抽取20人参加数学调研检测．已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分，其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学平均成绩为115分，则该校选修政史类课程的学生人数为 　　．
15．（5分）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 　　．
16．（5分）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点，，是该多面体的三个顶点，点是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为 　　，点轨迹的长度为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
①，．在中，角，，的对边分别为，，，已知____，．
（1）求的值；
（2）如图，为边上一点，，，求的面积．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，平面平面，证明：平面平面．

19．（12分）一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表：
网购金额
（单位：千元）
频数
频率
，
3
0.05
，


，
9
0.15
，
15
0.25
，
18
0.30
，


合计
60
1.00
若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”．已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为．
（1）确定，，，的值，并补全班频率分布直方图；
（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”．

20．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；
（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
21．（12分）某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两台空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．
方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．
小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得如表：
维修次数
0
1
2
3
空调台数
20
30
30
20
用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；
（2）请问小李选择哪种质保方案更合算．
22．（12分）如图，在四棱锥中，，，．为棱的中点，异面直线与所成的角为．
（Ⅰ）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．


2020-2021学年江苏省南通市高一（下）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数为虚数单位），则下列说法正确的是　　
A．的虚部为4
B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C．的共轭复数
D．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：．
的虚部为2；复数在复平面内对应的点位于第二象限；；．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
2．（5分）设的三个内角为，，，向量，，，若，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】利用向量的坐标表示求出向量的数量积，结合，转化求解．
【解答】解：的三个内角为，，，向量，，，

，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
故选：．
【点评】本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能．
3．（5分）设，，，则，，大小关系　　
A． B． C． D．
【分析】利用两角和的正弦公式对和进行化简，转化为正弦值的形式，再由正弦函数的单调性进行比较大小．
【解答】解：由题意知，，
同理可得，，，
在是增函数，，
，
故选：．
【点评】本题考查了比较式子大小的方法，一般需要把各项转化统一的形式，再由对应的性质进行比较，考查了转化思想．
4．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则　　
A． B． C． D．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合的范围可求，由余弦定理、三角形面积公式可求，结合范围，可求的值，根据三角形内角和定理可求的值．
【解答】解：由正弦定理及，
得，可得：，
可得：，
因为，
所以；
由余弦定理、三角形面积公式及，
得，
整理得，
又，
所以，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查正、余弦定理、两角和的正弦函数公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
5．（5分）已知，1，，，1，3，，则函数在区间上为增函数的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】先求出基本事件总数，再求出使函数在区间上为增函数的基本事件个数，由此能求出函数在区间上为增函数的概率．
【解答】解：，1，，，1，3，，
基本事件总数，
函数在区间上为增函数，
①当时，，符合条件的只有：，即，；
②当时，需要满足，符合条件的有：，，，，共4种，
函数在区间上为增函数的概率是．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
6．（5分）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述不正确的是　　

A．是定值
B．是定值
C．是定值
D．是定值
【分析】如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为，圆的半径为，且，然后设，正方形的四个顶点坐标易给，则将坐标分别代入四个选项判断即可．
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，并设正方形边长为，圆的半径为，且，
然后设，，，，．
，，，，
，，，，，．
，，，．
对于，原式（定值），故结论成立；
对于，原式（定值），故结论成立；
对于，原式（定值），故结论成立．
对于，取时，原式，再取时，原式．
显然两式不相等．故结论不成立．
故选：．

【点评】本题考查平面向量的综合应用，建系设点可以使问题便于思考，本题计算量太大，要注意计算的准确性．属于中档题．
7．（5分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．

若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，；平均数分别为，，则下面正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．
【解答】解：由频率分布直方图得：
甲地区，的频率为：，，的频率为，
甲地区用户满意度评分的中位数，
甲地区的平均数．
乙地区，的频率为：，，的频率为：，
乙地区用户满意度评分的中位数，
乙地区的平均数．
，．
故选：．
【点评】本题考查平均数、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与、不重合），则下列结论正确的个数为　　
①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面；
③若△的面积为，则；
④若、分别是△在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正确；由面面平行的性质定理，可得判定②正确；由三角形的面积公式，可求得△的面积为的范围，可判定③错误；由三角形的面积公式，得到，的范围，可判定④正确．
【解答】解：连接，设平面与体对角线交于点，
由，，可得平面，即平面，
存在点，使得平面平面，故①对；
由，，利用面面平行的判定可得，平面平面，
设平面与交于点，可得平面，故②对；
连接交于点，过作，在正方体中，平面，
，
为异面直线与的公垂线，根据△，则，即，
△的最小面积为，故③错；
在点从的中点向着点运动过程中，从1减少趋向于0，即，从0增大到趋向于2，即，
在这过程中，必存在某个点使得，故式④对．
故选：．
【点评】本题主要考查了空间直线与平面，平面与平面的位置关系，以及三角形面积，以及投影的定义的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及熟练应用空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9．（5分）已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的是　　
A．若，，，，则
B．若，，，，则
C．若，，，那么
D．若，，，那么
【分析】在中，若与相交或平行；在中，由面面垂直的性质定理得；在中，由线面垂直的性质定理得；在中，由线面平行的性质定理得．
【解答】解：由，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，知：
在中，若，，，，则与相交或平行，故错误；
在中，若，，，，则由面面垂直的性质定理得，故正确；
在中，若，，，那么由线面垂直的性质定理得，故错误；
在中，若，，，那么由线面平行的性质定理得，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10．（5分）关于函数，下列说法正确的是　　
A．若，是函数的零点，则是的整数倍
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象与函数的图象相同
D．函数的图象可由的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到
【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质对称性，周期，函数的图象的平移变换求出结果．
【解答】解：，
画出函数的图象，如图所示：

对于选项的图象与轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为，故错；
对于选项：函数的图象关于点对称，故正确；
对于选项：函数，故正确；
对于选项：函数的图象可由先向上平移1个单位，再向左平移个单位长度得到，故错误．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
11．（5分）已知为虚数单位，下列说法中正确的是　　
A．若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上
B．若复数满足，则复数
C．当，时，有
D．是集合，中的元素
【分析】利用复数模的几何意义判断选项，利用复数模的定义判断选项，利用复数的运算律判断选项，利用复数的除法运算判断选项．
【解答】解：对于，复数满足，由复数模的几何意义可知，复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故选项错误；
对于，因为，所以，则，解得，所以，故选项正确；
对于，由复数的乘法运算律可知，当，时，有，故选项正确；
对于，，，故选项正确．
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了复数知识的运用，主要考查了复数模的几何意义，复数模的定义，复数的运算律，复数的除法运算法则，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
12．（5分）在边长为2的等边三角形中，点，分别是边，上的点，满足且，将沿直线折到△的位置．在翻折过程中，下列结论不成立的是　　
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
【分析】．在边上点，在上取一点，使得，在上取一点，使得，作交于点，可得四边形为平行四边形，可得始终与平面相交，即可判断出结论．
．，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，即可判断出结论．
．，当二面角为直二面角时，取的中点，可得：平面．可得，结合余弦定理即可得出．
．在翻折过程中，取平面平面，四棱锥体积四边形，，利用导数研究函数的单调性即可得出．
【解答】解：如图所示，
．在边上点，在上取一点，
使得，在上取一点，使得，
作交于点，
则可得，即四边形为平行四边形，，而始终与平面相交，因此
在边上不存在点，使得在翻折过程中，
满足平面，不成立．
．，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，因此不满足平面平面，因此不成立．
．，当二面角为直二面角时，取的中点，可得：平面．
则，因此不成立．
．在翻折过程中，取平面平面，四棱锥体积四边形，，，可得时，函数取得最大值，因此成立．
故选：．


【点评】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．（5分）如图，要计算某湖泊岸边两景点与的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，，，，，则两景点与的距离为 　　．

【分析】首先利用余弦定理的应用求出的长，进一步利用三角形内角和定理和正弦定理的应用求出结果．
【解答】解：如图所示：在中，，，，
利用余弦定理：，
整理得，
解得或（负值舍去）．
在中，，，
所以，
利用正弦定理，整理得．
故答案为：

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
14．（5分）某校有选修物化、物生、政史三种不同类别课程的学生共900人（假设每人只选修一种类别的课程），按照分层随机抽样的方法从中抽取20人参加数学调研检测．已知在这次检测中20人的数学平均成绩为119分，其中选修物化和物生类别课程学生的数学平均成绩为120分，选修政史类课程学生的数学平均成绩为115分，则该校选修政史类课程的学生人数为 　180　．
【分析】利用平均数的计算公式求出20人中选修政史类课程的学生人数，然后利用分层抽样的特点进行求解即可．
【解答】解：设这20人中选修政史类课程的学生人数为，
则，解得，
由分层抽样可知，该校选修政史类课程的学生人数为人．
故答案为：180．
【点评】本题考查了平均数计算公式的应用，分层抽样的应用，解题的关键是掌握分层抽样是按比例抽取，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 　，，　．
【分析】先求出与的坐标，再根据与不共线，且它们乘积为正值，求出实数的取值范围．
【解答】解：向量，，，，
若与的夹角是锐角，则与不共线，且它们乘积为正值，
即，且，，，
求得，且，
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
16．（5分）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点，，是该多面体的三个顶点，点是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为 　　，点轨迹的长度为 　　．

【分析】先求出正四面体的表面积，由该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，得出小正四面体的侧面积和底面面积可得答案；
通过证明垂直于一截面，从而得到点的轨迹，即可得到答案．
【解答】解：根据题意，该正四面体的棱长为，点，，分别是正四面体棱的三等分点，
该正四面体的表面积为，
该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，
每个角上小正四面体的侧面面积为，
每个角上小正四面体的底面面积为，
所以该多面体的表面积为；
如图，设点为该多面体的一个顶点，则，
在中，，
则，所以，即，同理，，
又，，平面，所以平面，
由点是该多面体表面上的动点，且总满足，则点的轨迹是线段，，，
所以点的轨迹的长度为．
故答案为：；．

【点评】本题考查了求多面体的表面积和求动点轨迹的长度问题，解题本题的关键是先证明平面，得出点的轨迹是线段，，，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
①，．在中，角，，的对边分别为，，，已知____，．
（1）求的值；
（2）如图，为边上一点，，，求的面积．

【分析】选择条件①（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，运用余弦定理，可得，再结合三角形面积公式，即可求解．
选择条件（1）根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解．（2）根据已知条件，运用余弦定理，可得，再结合三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：选择条件①，
（1）在中，运用正弦定理可得，，
，
，
，
又，
．
（2），
，
在中，运用余弦定理可得，，
解得，
，
在中，
，，，
，
，
．
选择条件，
，
，
由正弦定理可得，，
，
，
，
，
，
．
（2），
，
在中，运用余弦定理可得，，
解得，
，
在中，
，，，
，
，
．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，平面平面，证明：平面平面．

【分析】（1）由矩形的性质知，由中位线的性质知，从而有，再由线面平行的判定定理，得证；
（2）由平面平面，可证平面，知，而，再结合线面垂直和面面垂直的判定定理，得证．
【解答】证明：（1）底面是矩形，，
点、分别是棱和的中点，，
，
又平面，平面，
平面．
（2），且为的中点，
，
又平面平面，平面平面，，
平面，
，
，、平面，
平面，
平面，
平面平面．
【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、面面垂直的判定定理或性质定理是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力，属于中档题．
19．（12分）一网站营销部为统计某市网友2017年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如表：
网购金额
（单位：千元）
频数
频率
，
3
0.05
，


，
9
0.15
，
15
0.25
，
18
0.30
，


合计
60
1.00
若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”．已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为．
（1）确定，，，的值，并补全班频率分布直方图；
（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”．

【分析】（1）根据频数和与频数的计算问题，求出与的值，再计算与的值；求出小组，与，的，得出对应纵坐标，画出完整的频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，计算平均数和中位数即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
化简得：，解得：，，
故，，
补全的频率直方图如图示：
，
（2）设这60名网友的网购金额的平均数为，
则（千元），
又，
，
故这60名网友的网购金额的中位数为：（千元），
平均数，中位数，
故根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是常规题．
20．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求当且时的值；
（3）由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可
（2）根据方程，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可
（3）根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解．
【解答】解：（1）

的伴随向量；
（2）向量的伴随函数为，
，
，，，

（3）由（1）知：
将函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
再把整个图象向右平移个单位长得到的图象，得到，
设，，，
，
又，

即

，，
，
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立．
在的图象上存在点，使得．
【点评】本题主要考查三角函数和向量的综合应用，根据伴随向量的定义，以及利用辅助角公式，两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．
21．（12分）某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案：
方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两台空调共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元．
方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3次每次收取维修费200元．
小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得如表：
维修次数
0
1
2
3
空调台数
20
30
30
20
用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
（1）求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率；
（2）请问小李选择哪种质保方案更合算．
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出两台空调在质保期的两年内维修交数超过2次的概率．
（2）先分别求出方案一的维修费用期望和方案二的维修费用期望，从而得到方案二更合算．
【解答】解：（1）两台空调在质保期的两年内维修交数超过2次的概率为：
．
（2）方案一的维修费用的可能取值为0，200，400，600，800，
，
，
，
，
，
方案一的质保金与维修费用之和的期望值为：
元，
方案二的维修费用的可能取值为0，200，400，600，
，
，
，
，
方案二的质保金与维修费用之和的期望值为：
元，
故方案二更合算．
【点评】本题考查概率、数学期望的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
22．（12分）如图，在四棱锥中，，，．为棱的中点，异面直线与所成的角为．
（Ⅰ）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

【分析】延长交直线于点，由点为的中点，可得，由，可得，已知．可得四边形为平行四边形，即．利用线面平行的判定定理证明得直线平面即可．
如图所示，由，异面直线与所成的角为，可得平面．由，．因此是二面角的平面角，大小为．．不妨设，则．可得，0，，，1，，，2，，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．
【解答】解：延长交直线于点，点为的中点，，
，，
，即．四边形为平行四边形，即．
，，，
平面，平面，
，平面，
平面，故在平面内可以找到一点，使得直线平面．
如图所示，，异面直线与所成的角为，，
平面．
，．
因此是二面角的平面角，大小为．
．
不妨设，则．，0，，，1，，，2，，
，1，，，1，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，可得：．
令，则，，，2，．
设直线与平面所成角为，
则．

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
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日期：2021/8/23 17:43:14；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394