2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分）

1．（5分）设全集，集合，集合，则　　

A． B．， C．， D．

2．（5分）“”是“函数在区间，上为增函数”的　　

A．充分条件不必要 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知函数的图象恒过定点，且函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C． D．

5．（5分）已知函数与函数的图象关于对称，且，有如下五个命题，正确的个数为　　

①函数的定义域为；

②函数是偶函数；

③若（a）（b），则的取值范围是，；

④对于任意的，，都有；

⑤对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足．

A．4 B．3 C．2 D．1

6．（5分）对于函数，，设，，若存在，，使得，则称，互为“零点相邻函数”．若与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　

A．60 B．63 C．66 D．69

8．（5分）在中，，，，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，全部选对得5分，只要有一个选错得0分，漏选得3分，满分20分）

9．（5分）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列结论中正确的是　　

A．终边经过点，的角的集合是 

B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 

C．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角 

D．，，，，则

11．（5分）如图，是的中点，，是平行四边形内（含边界）的一点，且．以下结论中正确的结论为　　

A．当时，， 

B．当是线段的中点时， 

C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点的轨迹是一条线段 

D．的最大值为

12．（5分）设函数，，给定下列命题，其中正确的是　　

A．若方程有两个不同的实数根，则 

B．若方程恰好只有一个实数根，则 

C．若，总有恒成立，则 

D．若函数有两个极值点，则实数

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．（5分）已知，则　 　．

14．（5分）若，则的最小值等于　　．

15．（5分）若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围为　　．

16．（5分）如图，在四边形中，对角线与相交于点．已知，，，且是的中点，若，则的值为　　．

四、解答题（本大题共6小题，满分0分）

17．若集合，集合，集合．

（1）求集合；

（2）若，求实数的取值范围．

18．已知扇形的面积为，弧长为，设其圆心角为．

（Ⅰ）求的弧度；

（Ⅱ）求的值．

19．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．

问题：已知全集，，且 _____，求．

20．在直角坐标系中，为坐标原点，，，．

（1）若，，三点共线，求，的关系；

（2）若，求点的坐标．

21．中国“一带一路”战略提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足80台时（万元）；当年产量不少于80台时（万元）．若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（Ⅰ）求年利润（万元）关于年产量（台的函数关系式；

（Ⅱ）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中获利最大？

22．已知函数是定义在上的奇函数．

（1）求的值；

（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式；

（3）是否存在实数，使得函数在，上的取值范围是，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分）

1．【解答】解：，

则或，

则，，

故选：．

2．【解答】解：函数在区间，上为增函数，

要使函数在区间，上为增函数，则，

“”是“函数在区间，上为增函数”充分不必要条件．

故选：．

3．【解答】解：，，

，，

幂函数在上单调递减，且，

，即，

，，

，

故选：．

4．【解答】解：函数的图象恒过定点，令，求得、，

可得它的图象经过定点，，．

函数 在，上单调递减，

，，

故选：．

5．【解答】解：函数与函数的图象关于对称，所以．

由于且，

所以，

对于①：函数的定义域：当时，解得，故①正确；

②函数，，

，

所以函数是奇函数，故②错误；

③因为，

若（a）（b），

则，，

所以，即，所以，

所以，（当且仅当，即时，取等号）

但，所以不能取等号，

所以，

所以的取值范围是，故③错误．

④对于任意，，

有（a）（b），

而，

所以，故④正确．

⑤对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足，

说明函数是增函数，

但是减函数，故⑤错误，

故正确的有两个，

故选：．

6．【解答】解：函数的零点为，

设函数的零点为，

与互为“零点相邻函数”， ，，

函数在区间，上存在实数根，

①当，即时，，，解得：；

②当，即时，，，解得：；

③当，即时，或，解得：；

综上所述，实数的取值范围是：，，

故选：．

7．【解答】解：由已知可得，解得，

两边取对数有，

解得，

故选：．

8．【解答】解：以点为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系，

如图所示：

由于，，，

所以，，

，

所以点的横坐标为，

，

点的纵坐标为．

所以，

设点的坐标为，

所以，，，

的横坐标为，

的纵坐标为．

故的坐标为，

，

由于，

所以当时，的最小值为．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，全部选对得5分，只要有一个选错得0分，漏选得3分，满分20分）

9．【解答】解：设的一个充分不必要条件是，对应的集合为，

当时，，解得，所以，

因此满足条件的选项为，．

故选：．

10．【解答】解：对于：终边经过点，则，该终边为第一和三的角平分线，

即角的集合是，故正确；

对于：将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为，即分针转过的角的弧度数是，故正确；

对于：由于为第三象限角，所以，

故，所以是第二或第四象限角，故错误；

对于，，，

，，，则，故正确．

故选：．

11．【解答】解：当，据共线向量的充要条件得到在线段上，故，故错；

当是线段的中点时，

，故对；

为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故对，

对于，令，则，当，，共线时，则，

当平移到过点时，的最大值为，故正确

故选：．

12．【解答】解：因为，

所以的定义域为，

则，

令，解得，

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，

当时，，又（1），

从而要使得方程有两个不同的实根，即与的图象有两个不同的交点，

所以，故选项正确；

因为不是方程的根，

当时，，

方程有且只有一个实数根，等价于与只有一个交点，

，又且，

令，即，有，知在和单调递减，在上单调递增，

是一条渐近线，极小值为．

由大致图象可知或，故选项错误；

当时，恒成立等价于恒成立，

即函数在上为增函数，

即恒成立，即在上恒成立，

令，则，

令得，解得，

从而在上单调递增，在上单调递减，

则（1），

所以，故选项正确；

函数有两个极值点，等价于有两个不同的正根，

即方程有两个不同的正根，由选项可知，，

即，故选项正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．【解答】解：，

，，

故答案为：2．

14．【解答】解：由于，

所以，

则：，

当且仅当，

即当时，等号成立．

故答案为：15

15．【解答】解：由题意可知在上单调递增，

当时，，

在上恒成立．

，

又在上单调递增，

，解得．

的取值范围是：．

故答案为：．

16．【解答】解：由条件，可知，，，四点共圆，为圆的直径，

设，，，

由相交弦定理，得，

在直角中，由勾股定理，得，

在△中，由余弦定理，得．

，

，

又，．

．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，满分0分）

17．【解答】解：（1），，

，；

（2），，

，解得，

的取值范围为．

18．【解答】解：（Ⅰ）扇形圆心角为，设扇形半径为，弧长为，根据扇形的面积为，弧长为，

解得，．

（Ⅱ）．

19．【解答】解：，，，

若选①，或，则；

若选②，，则．

20．【解答】解：（1）在直角坐标系中，为坐标原点，，，．

由题意知，，．

，，三点共线，，

，．

（2），，，，，

，解得

点的坐标为．

21．【解答】解：（Ⅰ）当时，，

当时，，

于是，

（Ⅰ）由（Ⅱ）可知当时，，

此时当时取得最大值为1300（万元），

当时，，

当且仅当即时取最大值为1500（万元），

综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．

22．【解答】解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，

则，解可得，

当时，，有，是奇函数，符合题意；

故；

（2）函数在上为增函数，

证明如下：，

设，则，

又由，则，，，

则，

则函数在上为增函数；

不等式

，

解可得：，

则不等式的解集为；

（3）假设存在实数，使得函数在，上的取值范围是，

又由（2）的结论，函数在，上为增函数，

则有，则、为方程的两根，

令，有，则即有2个不等的正根，

则有，解可得，

则的取值范围为，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/4/10 17:47:11；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394