2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知复数，则复数在复平面内对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检　　
A．20家 B．10家 C．15家 D．25家
3．（5分）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知是第二象限角，，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，　　

A． B． C． D．
6．（5分）已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
7．（5分）古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为　　
A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈
8．（5分）已知点是边长为1的正方形的对角线上的一点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）下列说法中正确的是　　
A．若，，则
B．对于向量，，，有
C．向量，能作为所在平面内的一组基底
D．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件
10．（5分）某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数　　
A．众数为2和3 B．标准差为
C．平均数为3 D．第85百分位数为4.5
11．（5分）正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志．正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图一）．如图二所示的正六角星的中心为，，，是该正六角星的顶点，则　　

A．向量，的夹角为 B．若，则
C． D．若，则
12．（5分）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是　　

A．二面角的大小为
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．点存在无数个位置满足
D．点存在无数个位置满足面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若向量，写出一个与向量方向相反且共线的向量 　　．
14．（5分）若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为 　　．

15．（5分）已知，则的值为　 　；的值为　 　．
16．（5分）粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设复数，，为虚数单位）．
（1）若为实数，求的值；
（2）若，且，求的值．
18．（12分）4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本在，，内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

19．（12分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．在直四棱柱中，，分别为线段与上的中点．
（1）求证：平面；
（2）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：　　　　，使得三棱锥为“鳖臑”；并证明你的结论．

20．（12分）某企业生产两种如图所示的电路子模块，

要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为，，型．假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．在电路子模块中，当号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．在电路子模块中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．
（1）若备选电子元件，型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块能正常工作的概率；
（2）若备选电子元件，，型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块能正常工作的概率最大，并说明理由．
21．（12分）从①；②；③这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．
已知中，角，，所对的边分别是，，，且____．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围．
22．（12分）如图，在三棱锥中，，，，且，，两两夹角都为．
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若，求三棱锥的体积．


2020-2021学年江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知复数，则复数在复平面内对应的点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由于复数对应的点为，可知复数在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：复数对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数的几何意义，属于基础题．
2．（5分）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检　　
A．20家 B．10家 C．15家 D．25家
【分析】根据分层抽样原理求出粮食加工品店需要被抽检的家数．
【解答】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检（家．
故选：．
【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．
3．（5分）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为　　
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理，求出的余弦函数值，然后求解即可．
【解答】解：由题意，可得，是三角形的内角，
所以．
故选：．
【点评】本题考查余弦定理的应用，是基础题．
4．（5分）已知是第二象限角，，则　　
A． B． C． D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解的值．
【解答】解：因为是第二象限角，，
则，，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5．（5分）如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，　　

A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合正切函数的两角差公式，即可求解．
【解答】解：由图可得，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
6．（5分）已知，，是不重合的三条直线，，，是不重合的三个平面，则　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系对四个选项逐一分析判断，即可得到答案．
【解答】解：对于，若，，则或，故选项错误；
对于，若，，，则或与相交，故选项错误；
对于，若，，则平面内各作一条直线，，且与相交，
则，，又，
则，，又与相交，，在平面，则，故选项正确；
对于，若，，，，则或与相交，故选项错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查了空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．
7．（5分）古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为　　
A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求得与，代入圆台体积公式求解．
【解答】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则，，得，．
又圆台的高为1，
圆台的体积立方丈．
故选：．
【点评】本题考查圆的周长公式、圆台体积公式，考查计算能力，是基础题．
8．（5分）已知点是边长为1的正方形的对角线上的一点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】建立平面直角坐标系，写出、、、的坐标，设，通过平面向量的坐标运算得，，，从而得解．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，

则，，，，
设，，，，，
则，，
，，，
当时，取得最小值为，
故选：．
【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系，借助平面向量的坐标运算，将原问题转化为求二次函数最值问题是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）下列说法中正确的是　　
A．若，，则
B．对于向量，，，有
C．向量，能作为所在平面内的一组基底
D．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件
【分析】直接利用向量的共线的充要条件，充分条件和必要条件的应用，基底的定义判断、、、的结论．
【解答】解：对于，，当不能为时，，故错误；
对于：向量，，，有，由于和这两向量方向未必相同，故错误；
对于：向量，，所以和不共线，所以这两个向量能作为所在平面内的一组基底，故正确；
对于：设，为非零向量，则当“存在负数，使得”时，则“”成立，当“”成立时，可能的夹角为钝角，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的共线的充要条件，充分条件和必要条件的应用，基底的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10．（5分）某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数　　
A．众数为2和3 B．标准差为
C．平均数为3 D．第85百分位数为4.5
【分析】利用众数的定义判断，求出平均数判断，求出标准差判断，求出百分位数判断．
【解答】解：众数为2和3，正确，
平均数为，正确，
标准差，错误，
这组数按照从小到大排为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
又，且8.5非整数，第85百分位数为第九个数5，错误．
故选：．
【点评】本题考查众数，平均数，标准差，百分位数的求法，属于基础题．
11．（5分）正六角星形是人们普遍知道的犹太人标志，凡是犹太人所到之处，都可看到这种标志．正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图一）．如图二所示的正六角星的中心为，，，是该正六角星的顶点，则　　

A．向量，的夹角为 B．若，则
C． D．若，则
【分析】利用三角形的内角求出判断；向量的数量积求出结果判断；利用平行四边形法则判断，利用平行四边形法则判断即可．
【解答】解：对于由两个小正三角形，为．故正确；
对于，故正确；
对于：有平行四边形法则可知，，，
则．故正确；
对于：由平行四边形法则可知，若以，为基底分解，则系数和应该为负值，否则方向与不一致，故错误．
故选：．
【点评】本题考查向量的数量积，向量的夹角，平行四边形法则的应用，命题的真假的判断，是中档题．
12．（5分）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是　　

A．二面角的大小为
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．点存在无数个位置满足
D．点存在无数个位置满足面
【分析】对于，易知所求二面角的大小为平面与底面平面所成角的一半；对于，为异面直线与所成角，易知，当取中点，最小；对于，先证明平面即可判断；对于，先证明平面平面，再由面面平行的性质即可判断．
【解答】解：：这个二面角的大小即为的二面角大小，由于平面底面平面，故所求二面角大小为；
，
为异面直线与所成角，当在线段，移动时，取中点，最小，正弦值为，错误；
：当在上时，满足条件．，，，
平面，
平面，
，正确；
，平面，平面
平面，
，平面，平面
平面

平面平面，
当在时，平面
平面，正确．
故选：．
【点评】本题考查空间中线线，线面以及面面间的位置关系，考查空间角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）若向量，写出一个与向量方向相反且共线的向量 　　．
【分析】与向量方向相反且共线的向量为，当时，能求出结果．
【解答】解：设与向量方向相反且共线的向量为：
，时，
所以当，．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的运算，考查平行向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为 　　．

【分析】解法一、求出直观图等腰梯形的面积，再根据平面图形直观图与原图形的面积之间关系，求出原平面图形的面积．
解法二、把直观图还原为原图形，再计算原平面图形的面积．
【解答】解：解法一、计算等腰梯形的面积为，
所以原平面图形的面积为．
解法二、作，，因为，，
所以，．因此．
又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，，即原图为直角梯形，且高为直观图中的2倍，
所以该平面图形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了原平面图形与它的直观图面积的计算问题，是基础题．
15．（5分）已知，则的值为　　；的值为　 　．
【分析】由已知可求范围，，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用角的关系，根据两角差的正弦函数公式即可化简求值，进而可求，利用同角三角函数基本关系式，降幂公式即可计算得解的值．
【解答】解：，，，
，，分
，分
，分
．
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16．（5分）粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长都相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为 　　．
【分析】首先设出棱长，然后找到满足题意的几何体的结构特征，最后利用等体积法进行计算即可求得正四棱锥的高与蛋黄半径的比值．
【解答】解：设正四棱锥的棱长均为，球的体积要达到最大，
则需要球与四棱锥的五个面都相切．
正四棱锥的高，
设球半径为，四棱锥的面积，
，
，
，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查球与椎体的切接关系，空间想象能力的培养，数学知识的实际应用等知识，属于中等题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设复数，，为虚数单位）．
（1）若为实数，求的值；
（2）若，且，求的值．
【分析】（1）利用复数的除法运算法则以及实数的定义，列式求解即可；
（2）利用共轭复数的定义以及复数的乘法运算法则，求解即可．
【解答】（1）由于，
所以，解得；
（2）由于，
所以，解得．
【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算法则以及乘法运算法则的运用，复数模定义的应用，考查了运算能力，属于基础题．
18．（12分）4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本在，，内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求的值，再将各区间的中点乘以对应的频率，并求和，即可求解．
（2）样本在，，内的学生频率分布为0.3，0.2，即样本在，，采用分层抽样的比例为，再结合古典概型，即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，，即，
这1000名学生每日的平均阅读时间分钟．
（2）由频率分布直方图，可知样本在，，内的学生频率分布为0.3，0.2，
样本在，，采用分层抽样的比例为，
，抽取了3人，，，，抽取了2人，，
则再从5人中抽取2人共有，，，，，，，，，种不同的抽取方法，
抽取的2人来自不同组共有，，，，，种，
抽取的2人来自不同组的概率．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，频率、频数与样本容量的应用问题，以及古典概率的问题，属于基础题．
19．（12分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．在直四棱柱中，，分别为线段与上的中点．
（1）求证：平面；
（2）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：　　　　，使得三棱锥为“鳖臑”；并证明你的结论．

【分析】（1）根据题意通过推知来证明平面；
（2）根据“鳖臑”的定义进行解答．
【解答】（1）证明：在直四棱柱中，因为，分别为△边与的中点，
所以．
又因为，
所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）若，则三棱锥为“鳖臑”；且为直角三角形；
证明：在直四棱柱中，平面，
所以，，
所以△，△均为直角三角形；
因为，，，，平面，
所以平面；
又因为平面，
所以，
所以为直角三角形．
因此，三棱锥的四个面均为直角三角形，三棱锥为“鳖儒”．
【点评】本题涉及了线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查了直线与平面平行，考查逻辑推理能力，属于中档题．
20．（12分）某企业生产两种如图所示的电路子模块，

要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为，，型．假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响．在电路子模块中，当号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．在电路子模块中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作．
（1）若备选电子元件，型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块能正常工作的概率；
（2）若备选电子元件，，型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块能正常工作的概率最大，并说明理由．
【分析】（1）假设事件，，分别表示电子元件，，正常工作，电路子模块不能正常工作的概率为，由事件，互相独立，能求出电路子模块能正常工作的概率．
（2）由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作，分别求出若1号位元件为电子元件，电路子模块正常工作的概率，若1号位元件为电子元件，电路子模块正常工作的概率，若1号位元件为电子元件，则电路子模块正常工作的概率，由此能求出1号位接入正常工作概率最大的元件时，电路子模块正常工作的概率最大．
【解答】解：（1）假设事件，，分别表示电子元件，，正常工作，
电路子模块不能正常工作的概率为，由于事件，互相独立，
所以，
因此电路子模块能正常工作的概率为．
（2）由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，
电路子模块才能正常工作，
①若1号位元件为电子元件，
则电路子模块正常工作的概率为；
②若1号位元件为电子元件，则电路子模块正常工作的概率为：
；
③若1号位元件为电子元件，则电路子模块正常工作的概率为：
；
因此，1号位接入正常工作概率最大的元件时，电路子模块正常工作的概率最大．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（12分）从①；②；③这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．
已知中，角，，所对的边分别是，，，且____．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围．
【分析】（1）若选①，由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式化简可得，结合的范围可得的值．
若选②，由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可得的值．
若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合的范围可得的值．
（2）由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求的周长为，由题意可求范围，进而根据正切函数的性质即可求解的周长取值范围．
【解答】解：（1）若选①，在中，由正弦定理得：，
因为，，，，
所以，
且，
因此，，
可得；
若选②，在中，由余弦定理得，
所以，
因为，
因此，且，
故；
若选③，在中，，且，
由正弦定理得：，
故，
可得；
（2）因为为锐角三角形，
所以，，
因此，
由正弦定理得：，可得，，
所以的周长为，
由于，可得，，可得，
所以的周长取值范围为．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
22．（12分）如图，在三棱锥中，，，，且，，两两夹角都为．
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）若，求三棱锥的体积．

【分析】（1）首先确定三棱锥的高度，然后利用体积公式即可确定三棱锥的体积；
（2）由题意首先找到三棱锥的高，然后分别求得底面积和高，最后利用体积公式即可确定三棱锥的体积．
【解答】解：（1）因为，，，，平面
所以平面，因此，
（2）在线段上取点，使得，连接，，
因为，，，
由于余弦定理可得：，所以
同理可得：，又因为，，平面，
所以平面，在等腰三角形中，
因为，，
所以，所以三棱锥的体积为．
由于，因此．

【点评】本题主要考查三棱锥体积的求解，点面距离的求解等知识，属于中等题．
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日期：2021/8/23 17:49:51；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394