2020-2021学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数满足为虚数单位），则复数的共轭复数为　　
A． B． C． D．
2．（5分）的展开式中的常数项为　　
A．8 B．4 C．3 D．2
3．（5分）设随机变量，满足：，，则　　
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（5分）袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是　　
A． B． C． D．
5．（5分）6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有　　种
A．240 B．192 C．120 D．96
6．（5分）函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
7．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为　　

A． B． C． D．
8．（5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　
A．（4）（3） B．
C．（4）（2） D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.
9．（5分）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是　　
A． B． C． D．
10．（5分）设，为复数，则下列说法正确的是　　
A．若，则 B．
C． D．若，则
11．（5分）在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是　　
附：随机变量服从正态分布，则，，．
A．该校学生数学成绩的期望为110
B．该校学生数学成绩的标准差为100
C．该校数学成绩140分以上的人数大于5
D．该校数学成绩及格率超过0.97
12．（5分）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是　　
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）写出一个使得成立的虚数　　．
14．（5分）甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08．若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 　　．
15．（5分）设，且，若能被17整除，则的值为 　　．
16．（5分）在18世纪，法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数区间，上连续不断，在开区间内可导（存在导函数），在区间内至少存在一个点，使得（b）（a），则称为函数在闭区间，上的中值点，则关于的在区间，上的中值点的值为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17．（10分）在的二项展开式中，二项式系数之和为64．
（1）求正整数的值；
（2）求的二项展开式中二项式系数最大的项．
18．（12分）在①曲线在点，处的切线与轴垂直，②的导数的最小值为，③函数在区间，上是减函数，在区间，，上是增函数．这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题．
已知函数，且满足 ____．
（1）求值；
（2）若函数在区间，上的最大值与最小值的和为7，求值．
19．（12分）为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生，调查结果如下：
性别
是否喜欢踢足球
男
女
总计
喜欢踢足球
40

70
不喜欢踢足球

270

总计


500
（1）求，，的值；
（2）能否有的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？
附：．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．（12分）欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）将复数写成，，为虚数单位）的形式；
（2）求的最大值．
21．（12分）甲乙丙三人进行乒乓球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判．
（1）求丙前4局都不做裁判的概率；
（2）求第3局甲当裁判的概率；
（3）记前4局乙当裁判的次数为，求的概率分布和数学期望．
22．（12分）函数，设函数．证明：
（1）在区间上存在唯一的极小值点；
（2）在上有且仅有两个零点．

2020-2021学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数满足为虚数单位），则复数的共轭复数为　　
A． B． C． D．
【分析】先利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的定义求解即可．
【解答】解：因为，
所以，
所以，所以．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算，共轭复数的定义，解题的关键是掌握复数的运算法则，属于基础题．
2．（5分）的展开式中的常数项为　　
A．8 B．4 C．3 D．2
【分析】先求出的展开式的通项公式，进而可以求解．
【解答】解：因为二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
故的展开式常数项为，
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，．考查了学生的运算能力，属于基础题
3．（5分）设随机变量，满足：，，则　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先利用二项分布的数学期望公式求出，再利用方差的性质求解即可．
【解答】解：因为，
则，
又，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了二项分布的期望公式的应用，方差性质的运用，属于基础题．
4．（5分）袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】利用条件概率的含义以及古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：因为第一次摸到红球，
所以还剩下3个红球和2个篮球，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是．
故选：．
【点评】本题考查了条件概率的含义以及古典概型的概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
5．（5分）6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有　　种
A．240 B．192 C．120 D．96
【分析】由已知可得老师左右各3人，则甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可求解．
【解答】解：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，
所以甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，
所以不同的排法共有种，
故选：．
【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6．（5分）函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除，再分析区间上的符号，排除，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，其定义域为且，
则，则为奇函数，排除、，
在区间上，，必有，排除，
故选：．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性、函数值符号的分析，属于基础题．
7．（5分）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为　　

A． B． C． D．
【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意，四个阴数为4个偶数，2，4，6，8，
五个阳数为5个奇数，1，3，5，7，9，
所以基本事件的个数共有个，
选取的3个数之和为偶数，则有个，
故所求的概率为．
故选：．
【点评】本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．
8．（5分）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则　　
A．（4）（3） B．
C．（4）（2） D．
【分析】构造函数，利用函数的单调性以及函数的奇偶性判断选项的正误即可．
【解答】解：是定义在上的奇函数，
令，，
因为当时，，所以，函数是减函数，
所以（4）（3），可得（4）（3），所以不正确；
（4）（2），可得（4）（2），所以不正确；
则（4）（2），即，所以正确；
（4）（3），（4）（3），可得，所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.
9．（5分）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是　　
A． B． C． D．
【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论．
【解答】解：直线的斜率为，
由的导数为，即有切线的斜率小于0，故不能选；
由的导数为，而，解得，故可以选；
由的导数为，而有解，故可以选；
由的导数为，而，解得，故可以选．
故选：．
【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
10．（5分）设，为复数，则下列说法正确的是　　
A．若，则 B．
C． D．若，则
【分析】根据已知条件，运用特殊值法，并结合共轭复数的概念，即可求解．
【解答】解：对于选项，当，时，，故选项错误，
对于选项，由复数模的运算性质可知，故选项正确，
对于选项，设，，，，，，
，，
，故选项正确，
对于选项，当，时，，但，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了复数模的运算性质，以及共轭复数的概念，属于基础题．
11．（5分）在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是　　
附：随机变量服从正态分布，则，，．
A．该校学生数学成绩的期望为110
B．该校学生数学成绩的标准差为100
C．该校数学成绩140分以上的人数大于5
D．该校数学成绩及格率超过0.97
【分析】利用正态分布中参数的含义以及正态分布曲线的对称性分析判断即可．
【解答】解：因为生的成绩服从正态分布，
则该校学生数学成绩的期望为110，故选项正确；
该校学生数学成绩的标准差为10，故选项错误；
该校数学成绩140分以上的概率为，
所以该校数学成绩140分以上的人数为，故选项错误；
该校数学成绩及格率为，故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．
12．（5分）中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是　　
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种选法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法
【分析】利用排列组合知识以及两个计数原理，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：对于，某学生从中选3门学习，共有种选法，
故选项正确；
对于，“礼”和“射”不相邻，则有种，
故选项错误；
对于，①若“数”排在第一节，则排法有种；
②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种，
所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有种选法，
故选项正确；
对于，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种；
②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种；
③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种．
所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有种选法，
故选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了排列组合以及两个计数原理的理解和应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）写出一个使得成立的虚数　；或　．
【分析】由题意可得，，利用复数代数三角的开方运算法则，可得结论．
【解答】解：要使，需，（舍去），或，
，
或，
故答案为：；或．
【点评】本题主要考查复数三角形式的开方运算法则，属于基础题．
14．（5分）甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08．若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 　0.26　．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可．
【解答】解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08，
所以恰有一人不中靶的概率为．
故答案为：0.26．
【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
15．（5分）设，且，若能被17整除，则的值为 　13　．
【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得能被17整除，从而得出结论．
【解答】解：，且，若
，
故它除以17的余数为，
由于它能被能被17整除，则，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
16．（5分）在18世纪，法国著名数学家拉格朗日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数区间，上连续不断，在开区间内可导（存在导函数），在区间内至少存在一个点，使得（b）（a），则称为函数在闭区间，上的中值点，则关于的在区间，上的中值点的值为 　　．
【分析】根据已知条件，结合拉格朗日中值定理，可得，再运用对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：当，时，由拉格朗日中值定理可得，
，
，即，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查新知识与导数的综合应用，以及需要学生熟练掌握对数函数公式的使用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17．（10分）在的二项展开式中，二项式系数之和为64．
（1）求正整数的值；
（2）求的二项展开式中二项式系数最大的项．
【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求得的值．
（2）由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项．
【解答】解：（1）在的二项展开式中，二项式系数之和为，．
（2）的二项展开式中，当时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
18．（12分）在①曲线在点，处的切线与轴垂直，②的导数的最小值为，③函数在区间，上是减函数，在区间，，上是增函数．这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题．
已知函数，且满足 ____．
（1）求值；
（2）若函数在区间，上的最大值与最小值的和为7，求值．
【分析】选条件①：，由导数的几何意义可得，解得，再求的最值，解得．
选条件②：，进而可得最小值为，再求的最值，解得．
选条件③：，根据题意可得，是的根，解得，再求的最值，解得．
【解答】解：选条件①：，
所以，
因为曲线在点，处的切线与轴垂直，
所以，
所以，解得，
所以，
，
所以在，上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
在上，，单调递增，
，
，
，
（2），
所以，，
若函数在区间，上的最大值与最小值的和为7，
则，解得．
选条件②：，
所以最小值为，
的导数的最小值为
所以，
由①可知，．
选条件③：，
因为函数在区间，上是减函数，在区间，，上是增函数，
所以，是的根，
所以，解得，
由①可知，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
19．（12分）为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生，调查结果如下：
性别
是否喜欢踢足球
男
女
总计
喜欢踢足球
40

70
不喜欢踢足球

270

总计


500
（1）求，，的值；
（2）能否有的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？
附：．

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）由列联表中的数据进行求解即可．
（2）由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）由列联表可得，，，所以；
（2）由列联表中的数据可得，，
所以有的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关．
【点评】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
20．（12分）欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）将复数写成，，为虚数单位）的形式；
（2）求的最大值．
【分析】（1）由欧拉公式和复数的加法运算，可得所求；
（2）由欧拉公式和复数的减法运算，结合复数的模的公式和余弦函数的最值，可得所求最大值．
【解答】解：（1）；
（2），
当，即，时，的最大值为2．
【点评】本题考查欧拉公式的运用，以及复数的运算和模的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21．（12分）甲乙丙三人进行乒乓球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判．
（1）求丙前4局都不做裁判的概率；
（2）求第3局甲当裁判的概率；
（3）记前4局乙当裁判的次数为，求的概率分布和数学期望．
【分析】（1）当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判，即可求解．
（2）第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，且第二局甲为负的一方，即可求解．
（3）根据已知条件，分别求出，，的概率，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判，
每场比赛双方获胜的概率都是，
丙前4局都不做裁判的概率为．
（2）第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，
第三局甲当裁判的概率为．
（3）由题意的可能的取值为0，1，2，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的概率与期望，需要学生有分类思想，以及能熟练运用期望公式，属于中档题．
22．（12分）函数，设函数．证明：
（1）在区间上存在唯一的极小值点；
（2）在上有且仅有两个零点．
【分析】（1）讨论函数在区间上的单调性即可证明；
（2）分，，三种情况分别求出单调性和端点值，再结合零点存在定理即可证明．
【解答】证明：（1）当时，，，，
，所以在上单调递增，
又，
所以在上存在唯一零点，
且当时，；当 时，，
故在上单调递减，在，上单调递增，
故在区间上存在唯一的极小值点．
（2）当时，
由（1）可知在上单调递减，在，上单调递增，
又，
所以在上存在唯一的零点，其中，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
又，
所以在上恒成立，即在上不存在零点．
当时，
，所以是的一个零点．
当时，
，所以在上单调递增，
又，，
所以在上存在唯一零点，
当时，，当时，，
所以在 上单调递减，在，上单调递增，
又，，，
所以在，上存在唯一零点．
综上所述，在上有且仅有两个零点．
命题得证．
【点评】本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的极值、零点，考查分类讨论的数学思想，考查逻辑推理和数学抽象的核心素养，属于难题．
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日期：2021/12/1 14:12:21；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394