2020-2021学年江苏省镇江中学高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省镇江中学高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题

1．（5分）（2021•泸州模拟）若，则　　

A． B． C．2 D．4

2．（5分）（2021春•润州区校级期末）若，，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）（2019秋•雨花区期末）如图，正方体中，直线与所成角为　　

A． B． C． D．

4．（5分）（2021春•润州区校级期末）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•润州区校级期末）点是等腰三角形所在平面外一点，平面，，在中，底边，，则到的距离为　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2020•商洛模拟）已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有　　

A．平面平面 B．平面平面 

C．平面平面 D．平面平面

7．（5分）（2021春•润州区校级期末）若，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）（2021春•润州区校级期末）一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为14，现将该容器盛满水，然后平稳慢慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，则圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题

9．（5分）（2021春•润州区校级期末）在中内角，，的对边分别为，，，若，，，则的大小可能为　　

A． B． C． D．

10．（5分）（2021春•润州区校级期末）在正方体中，下列直线或平面与平面平行的有　　

A．直线 B．直线 C．平面 D．平面

11．（5分）（2021春•润州区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，给出下列命题，其中正确的命题为　　

A．若，则 

B．若，，，则满足条件的有两个 

C．若，则是钝角三角形 

D．存在角，，，使得成立

12．（5分）（2021春•润州区校级期末）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长40厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是　　

A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 

B．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上则该球的表面积为平方厘米 

C．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米 

D．将此斗笠放在平面上，在此斗笠与平面围成的空间内放置一球，则该球的最大半径为厘米

三、填空题

13．（5分）（2016秋•崇明区期末）复数的虚部为　 　．

14．（5分）（2021春•润州区校级期末）若，则　　．

15．（5分）（2021春•润州区校级期末）长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是 　　．

16．（5分）（2021春•润州区校级期末）如图所示，半径均为的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体，即正四面体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为，则小球半径　　．

四、解答题

17．（10分）（2021春•润州区校级期末）如图所示，矩形所在的平面，、分别是、的中点．

（1）求证：平面．

（2）求证：．

18．（12分）（2021春•润州区校级期末）已知内角，，所对的边分别为，，，．

（1）求的值；

（2）若，，求的面积．

19．（12分）（2021春•润州区校级期末）已知，，，均为锐角，且．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

20．（12分）（2021春•润州区校级期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，求二面角的正切值．

21．（12分）（2021春•润州区校级期末）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸，河岸边有一烟囱（不计离河岸的距离），河的另一侧是以为圆心，半径为12米的扇形区域，且的连线恰好与河岸垂直，设与圆弧的交点为．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点，点和点处测得烟囱的仰角分别为，和．

（1）求烟囱的高度；

（2）如果要在间修一条直路，求的长．

22．（12分）（2021春•润州区校级期末）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且．

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求证：点，，，不在同一平面内；

（Ⅲ）求翻折后所得多面体的体积．

2020-2021学年江苏省镇江中学高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题

1．（5分）（2021•泸州模拟）若，则　　

A． B． C．2 D．4

【解答】解：因为，

所以，故．

故选：．

2．（5分）（2021春•润州区校级期末）若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，，，

，，，，

，

，

解得．

故选：．

3．（5分）（2019秋•雨花区期末）如图，正方体中，直线与所成角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

是直线与所成角，

是等边三角形，

直线与所成角．

故选：．

4．（5分）（2021春•润州区校级期末）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：正方体外接球的球心在体对角线的中点，设半径为，则，

即，所以球的表面积为．

故选：．

5．（5分）（2021春•润州区校级期末）点是等腰三角形所在平面外一点，平面，，在中，底边，，则到的距离为　　

A． B． C． D．

【解答】解：取的中点，连接，，则，，

，，

，

，，

故选：．

6．（5分）（2020•商洛模拟）已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有　　

A．平面平面 B．平面平面 

C．平面平面 D．平面平面

【解答】解：因为是圆柱上底面的一条直径，所以，又垂直圆柱的底面，

所以，因为，

所以平面，因为平面，

所以平面平面．

故选：．

7．（5分）（2021春•润州区校级期末）若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：若，

所以，

整理得：，

故，

则，

所以．

故选：．

8．（5分）（2021春•润州区校级期末）一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为14，现将该容器盛满水，然后平稳慢慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，则圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得，圆柱形容器中水的总体积为，

由容器中的水是原来的，可得流出水的体积为，

故，

所以，

则，

所以圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为．

故选：．

二、多项选择题

9．（5分）（2021春•润州区校级期末）在中内角，，的对边分别为，，，若，，，则的大小可能为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，，，

根据正弦定理，得：，

又，得到，

则或．

故选：．

10．（5分）（2021春•润州区校级期末）在正方体中，下列直线或平面与平面平行的有　　

A．直线 B．直线 C．平面 D．平面

【解答】解：对于，由于，且平面，可得直线平面；

对于，由于，且平面，可得直线不平行平面；

对于，由于，平面，可得平面不与平面平行；

对于，由于，，，平面，可得平面平面．

故选：．

11．（5分）（2021春•润州区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，给出下列命题，其中正确的命题为　　

A．若，则 

B．若，，，则满足条件的有两个 

C．若，则是钝角三角形 

D．存在角，，，使得成立

【解答】解：对于，若，则，由正弦定理可得，则，故正确；

对于，若，，，则，因此满足条件的有两个，故正确；

对于，若，则，又由于，，可得，，是钝角三角形，故正确；

对于，由于当时，，可得，故错误．

故选：．

12．（5分）（2021春•润州区校级期末）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长40厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是　　

A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 

B．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上则该球的表面积为平方厘米 

C．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米 

D．将此斗笠放在平面上，在此斗笠与平面围成的空间内放置一球，则该球的最大半径为厘米

【解答】解：对于，

所以，即，

所以，故正确；

对于：设外接球球心为，半径为，

所以，

在中，由勾股定理可得，

解得，

所以该球的表面积，故正确；

对于：设，

截面三角形面积，故不正确；

对于：设球心为，截面主视图如下，

设内切圆的半径为，

各边长分别为，，

所以，

解得，故正确．

故选：．

三、填空题

13．（5分）（2016秋•崇明区期末）复数的虚部为　2　．

【解答】解：复数的虚部为2．

故答案为：2．

14．（5分）（2021春•润州区校级期末）若，则　　．

【解答】解：由于，

所以．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•润州区校级期末）长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是 　5　．

【解答】解：长方体的表面可如下图三种方法展开后，、两点间的距离分别为：

，

，

，

一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是5．

故答案为：5．

16．（5分）（2021春•润州区校级期末）如图所示，半径均为的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体，即正四面体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为，则小球半径　　．

【解答】解：四个小球的球心组成一个棱长为的正四面体，设它的中心到各面的距离为，

组成的正四面体的高为，且，

由等体积法可得，，

，且，

正四面体的各面分别与上述正四面体的各面平行，距离均为，

两正四面体有公共中心，

，则正四面体的棱长为，

又正四面体的棱长为，，

得．

故答案为：．

四、解答题

17．（10分）（2021春•润州区校级期末）如图所示，矩形所在的平面，、分别是、的中点．

（1）求证：平面．

（2）求证：．

【解答】证明：（1）取的中点，连接，．

，分别是，中点，，

又，是中点，

，，

四边形是平行四边形，．

平面，平面，

平面．（6分）

（2）平面，，又，

平面，，

又，．（12分）

18．（12分）（2021春•润州区校级期末）已知内角，，所对的边分别为，，，．

（1）求的值；

（2）若，，求的面积．

【解答】解：（1）因为，

由正弦定理可得，可得，

因为，

所以．

（2）因为，，

所以由余弦定理可得，解得，

所以的面积．

19．（12分）（2021春•润州区校级期末）已知，，，均为锐角，且．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）由于，

所以，

由于，，

所以，

由于，所以，

整理得，

所以．

（2）由于，所以，

由于，所以，

故．

20．（12分）（2021春•润州区校级期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，求二面角的正切值．

【解答】（1）证明：平面，，

点在以为直径的圆上，，

又，、平面，

平面，

平面，

平面平面．

（2）解：由（1）知，平面，即点在平面上的投影点为，

过作，连接，则即为二面角的平面角，

，，

，，，

在中，，

故二面角的正切值为．

21．（12分）（2021春•润州区校级期末）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸，河岸边有一烟囱（不计离河岸的距离），河的另一侧是以为圆心，半径为12米的扇形区域，且的连线恰好与河岸垂直，设与圆弧的交点为．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点，点和点处测得烟囱的仰角分别为，和．

（1）求烟囱的高度；

（2）如果要在间修一条直路，求的长．

【解答】解：（1）设的高度为，在中，

因为，所以．

在中，因为，，

所以，．

由题意得，解得．

所以的高为米．

（2）在中，，

所以在中，，

解得，

所以的长为米．

22．（12分）（2021春•润州区校级期末）如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且．

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求证：点，，，不在同一平面内；

（Ⅲ）求翻折后所得多面体的体积．

【解答】解：（Ⅰ）证明：在等腰梯形中，作于，则，，

，连接，则，

，，则，

得；

又，，平面；

（Ⅱ）证明：设为中点，则且，

可知为平行四边形，故，

又，，于是，，，四点共面，

而平面，显然不在平面内，

点，，，不在同一平面内；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，平面，而平面，平面平面．

，平面平面，平面，

．

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