江苏省淮安市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版）

这是一份江苏省淮安市2020-2021学年高一上学期期末数学试卷 （解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3}，则（ ）
A．M＝NB．M∩N＝∅C．M⊆ND．N⊆M
2．设全集为R，函数的定义域为M，则∁RM为（ ）
A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
4．函数y＝tan（2x+）的最小正周期为（ ）
A．B．C．πD．2π
5．设a＝lg0.50.6，b＝lg0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
6．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，需要把函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
7．函数f（x）＝x+x3，g（x）＝x+3x，h（x）＝x+lg3x的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
8．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ ）（ln10≈2.30）
A．4天B．6天C．8天D．10天
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列各组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的有（ ）
A．f（x）＝x，g（x）＝elnx
B．f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝
C．f（x）＝x2，
D．f（x）＝x，
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D．若c＞a＞b＞0，则
11．下列函数中满足：对定义域中任意x1，x2，都有的有（ ）
A．f（x）＝2xB．f（x）＝lgxC．f（x）＝x2D．f（x）＝x
12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值，，分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作ctα，cscα，secα，把y＝ctx，y＝cscx，y＝secx分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（ ）
A．
B．sinα•secα＝1
C．y＝secx的定义域为
D．sec2α+sin2α+csc2α+cs2α≥5
三、填空题（共4小题）.
13．命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定为 ．
14．求值：2lg5+lg4+＝ ．
15．已知α是第三象限角，且时，则tanα＝ ；＝ ．
16．若函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则不等式sinx•f（x）＞0，x∈[﹣π，π]的解集为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知集合_____，集合B＝{x|﹣a﹣1≤x≤2a+1}．
（1）当a＝1时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
18．已知函数（其中a为常数）．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若时，f（x）的最小值为2，求a的值．
19．已知关于x的不等式x2+mx﹣12＜0的解集为（﹣6，n）．
（1）求实数m，n的值；
（2）正实数a，b满足na+2mb＝2．
①求的最小值；
②若2a+16b﹣t≥0恒成立，求实数t的取值范围．
20．已知函数．
（1）利用函数的单调性定义证明：f（x）在R上为单调增函数；
（2）设，判断g（x）的奇偶性，并加以证明．
21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？
22．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．
（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；
（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；
（3）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3}，则（ ）
A．M＝NB．M∩N＝∅C．M⊆ND．N⊆M
解：因为集合M＝{1，2，3}，N＝{2，3}，
根据子集的定义可知，N⊆M．
故选：D．
2．设全集为R，函数的定义域为M，则∁RM为（ ）
A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M＝[﹣1，1]，又全集为R，
所以∁RM＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：C．
3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
解：因为，即，解得a＜0或a＞1，
故“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
4．函数y＝tan（2x+）的最小正周期为（ ）
A．B．C．πD．2π
解：由正切函数的周期公式得：．
故选：B．
5．设a＝lg0.50.6，b＝lg0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a
解：0＜a＝lg0.50.6＜lg0.50.5＝1，b＝lg0.61.2＜0，c＝1.20.6＞1，
则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．
故选：B．
6．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，需要把函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
解：要得到函数y＝sin（2x+）＝sin2（x+）的图象，需要把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，
故选：C．
7．函数f（x）＝x+x3，g（x）＝x+3x，h（x）＝x+lg3x的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
解：因为函数f（x）＝x+x3，g（x）＝x+3x，h（x）＝x+lg3x的零点分别是a，b，c，
所以y＝﹣x与y＝x3，y＝3x，y＝lg3x的交点横坐标分别是a，b，c，
作出四个函数图象如下图：
由图可知b＜a＝0＜c，
故选：C．
8．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，其中指数增长率r≈0.38，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（ ）（ln10≈2.30）
A．4天B．6天C．8天D．10天
解：设所需时间为t1，则e，
即e，所以0.38t1＝ln10≈2.30，
解得t，
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列各组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的有（ ）
A．f（x）＝x，g（x）＝elnx
B．f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝
C．f（x）＝x2，
D．f（x）＝x，
解：A．f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是（0，+∞），两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
B．f（x）＝，两个函数的定义域都是R，是同一函数，
C．g（x）＝x2，两个函数的定义域都是R，是同一函数，
D．g（x）＝x，（x≠0），f（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
故选：BC．
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D．若c＞a＞b＞0，则
解：对于A，当c＝0时，命题不真，所以A错；
对于B，a＜b＜0⇒ab＞0⇒⇒⇒，所以B对；
对于C，a＜b＜0⇒aa＜ab，ab＜bb，⇔aa＜ab＜bb⇒a2＜ab＜b2，所以C对；
对于D，当c＞a＞b＞0时，⇔a（c﹣b）＞b（c﹣a）⇔
ac﹣ab＞bc﹣ab⇔ac＞bc⇔a＞b，所以D对．
故选：BCD．
11．下列函数中满足：对定义域中任意x1，x2，都有的有（ ）
A．f（x）＝2xB．f（x）＝lgxC．f（x）＝x2D．f（x）＝x
解：∵对定义域中任意x1，x2，都有，
∴f（x）是凹函数，且f（x）＝2x和f（x）＝x2都是凹函数．
故选：AC．
12．一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r．我们规定：比值，，分别叫做角α的余切、余割、正割，分别记作ctα，cscα，secα，把y＝ctx，y＝cscx，y＝secx分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（ ）
A．
B．sinα•secα＝1
C．y＝secx的定义域为
D．sec2α+sin2α+csc2α+cs2α≥5
解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：y＝secx＝，故函数的定义域为，故C正确；
对于D：利用三角函数和对勾函数的性质，
sec2α+sin2α+csc2α+cs2α＝＝1+＝（当且仅当sin2α＝1），等号成立；故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定为 ∀x∈R，x+1＜0 ．
解：∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”，
∴命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定是：
∀x∈R，x+1＜0．
故答案为∀x∈R，x+1＜0．
14．求值：2lg5+lg4+＝ 6 ．
解：2lg5+lg4+＝lg（52×4）+4＝6．
故答案为：6．
15．已知α是第三象限角，且时，则tanα＝ ；＝ ﹣ ．
解：因为α是第三象限角，且＝﹣sinα，
所以sinα＝﹣，csα＝﹣＝﹣，
则tanα＝＝，
＝＝csα＝﹣．
故答案为：，﹣．
16．若函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则不等式sinx•f（x）＞0，x∈[﹣π，π]的解集为 （2，π）∪（﹣2，0） ．
解：函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（﹣2）＝0，
则f（x）对应的图象如图：f（0）不确定，
当x＝0时，不等式sinx•f（x）＞0不成立，
则当x≠0时，不等式sinx•f（x）＞0等价为当x∈[﹣π，π]时，
或，
即或，
即2＜x＜π或﹣2＜x＜0，
即不等式的解集为（2，π）∪（﹣2，0），
故答案为：（2，π）∪（﹣2，0）．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知集合_____，集合B＝{x|﹣a﹣1≤x≤2a+1}．
（1）当a＝1时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
解：若选①：
因为，
所以，
所以，
故0＜x+1≤4，解得﹣1＜x≤3，
故A＝{x|﹣1＜x≤3}；
若选②：
因为，
所以，
所以﹣1＜x≤3，
故A＝{x|﹣1＜x≤3}；
若选③：
因为，
所以，
解得﹣1＜x≤3，
故A＝{x|﹣1＜x≤3}；
（1）当a＝1时，B＝{x|﹣2≤x≤3}，由A＝{x|﹣1＜x≤3}，所以A∩B＝{x|﹣1＜x≤3}；
（2）因为A∪B＝B，所以A⊆B，
故B≠∅，
所以，解得a≥1，
故实数a的取值范围为[1，+∞）．
18．已知函数（其中a为常数）．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）若时，f（x）的最小值为2，求a的值．
解：（1）由题意，令，
解得，即f（x）的单调减区间为，k∈Z．
（2），则∈，
y＝sinx在上增，在上减，又sin＝，sin＝，sin＝1，
∴sin（）∈，∴∈[+a，]，
又若时，f（x）的最小值为2，可得+a＝2，解得a＝．
19．已知关于x的不等式x2+mx﹣12＜0的解集为（﹣6，n）．
（1）求实数m，n的值；
（2）正实数a，b满足na+2mb＝2．
①求的最小值；
②若2a+16b﹣t≥0恒成立，求实数t的取值范围．
解：（1）由题意可得﹣6和n是方程x2+mx﹣12＝0的两个根，
由根与系数的关系可得，解得m＝4，n＝2．
（2）由（1）可得2a+8b＝2，即a+4b＝1，
①＝（）（a+4b）＝5++≥5+2＝9，
当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，
所以的最小值为9．
②若2a+16b﹣t≥0恒成立，即t≤2a+16b恒成立，
因为2a+16b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝16b，即a＝4b＝时等号成立，
所以t≤2，
即实数t的取值范围是（﹣∞，2]．
20．已知函数．
（1）利用函数的单调性定义证明：f（x）在R上为单调增函数；
（2）设，判断g（x）的奇偶性，并加以证明．
解：（1）证明：设任意x1＜x2∈R，
则f（x1）﹣f（x2）＝lg﹣lg＝lg，
因为x1＜x2，所以4，则，
所以lg，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在R上是单调递增函数；
（2）因为g（x）＝lg＝lg＝lg
＝lg＝lg，显然定义域为R，关于原点对称，
函数在R上为偶函数，
证明如下：因为g（﹣x）＝lg＝g（x），
所以函数是R上的偶函数．
21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？
解：（1）设z＝Asin（ωx+φ）+B，依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2，
∵，可得，
∵OP每秒钟内所转过的角为（）＝，得z＝4sin（t+φ）+2，
∴当t＝0时，z＝0，sinφ＝＝﹣，
∴φ＝﹣，
∴函数的表达式为z＝4sin（t﹣）+2；
（2）令z＞0，得sin（t﹣）＞﹣，
所以﹣+2kπ＜t﹣＜+2kπ，k∈Z，
解得：60k＜t＜60k+40，k∈Z，
又0≤t≤60，
所以0＜t＜40，即在水轮旋转一圈内，有40秒时间点P位于水面上方．
22．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x）+f（|x|）．
（1）解不等式：f（2x）﹣f（x+1）＞3；
（2）当x∈[﹣1，]时，求函数g（x）的值域；
（3）若∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，求实数a的取值范围．
解：（1）∵f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x+1）＞3，
∴22x﹣2x+1＞3，∴（2x﹣3）（2x+1）＞0，
∴2x＞3，∴x＞lg23，
∴不等式的解集为{x|x＞lg23}．
（2），
当x∈[﹣1，0]时 ，
∴g（x）在[﹣1，0]上单调递减，又，∴；
当时，，
综上，当时，g（x）的值域为．
（3）当x1＞0，x2∈[﹣1，0]时 ，
∀x1＞0，∃x2∈[﹣1，0]，使得g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）＞0成立，
即g（2x1）+ag（x1）+2g（x2）max＞0，
由（2）知，，则g（2x1）+ag（x1）+5＞0，
，
令，则∀x＞1，不等式恒成立，
∵，当且仅当，即时取等号，
∴，∴，
∴a的取值范围为．