2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B．， C． D．

2．（5分）已知幂函数在上是减函数，则的值为　　

A． B．1 C．2 D．1或2

3．（5分）若，则下列不等式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）设，，，，若，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

5．（5分）设，，则“”的充要条件是　　

A．，不都为2 B．，都不为2 

C．，中至多有一个是2 D．，不都为0

6．（5分）设，已知函数是定义在，上的减函数，且，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

7．（5分）若一个函数的解析式为，它的值域为，，这样的函数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

8．（5分）已知函数，，下列说法不正确的是　　

A．若对于，都有，为常数），则的图象关于直线对称 

B．若对于，都有，为常数），则的图象关于点对称 

C．若对于，，都有，则是奇函数 

D．若对于，，都有，且，则是奇函数

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）下列命题中正确的是　　

A．当时， B．当时， 

C．当时， D．当时，

10．（5分）已知函数，则下列判断正确的有　　

A．的最小值为 B．在区间，上是增函数 

C．的最大值为1 D．无最大值

11．（5分）已知函数的定义域为，，．下列说法中错误的是　　

A．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） 

B．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） 

C．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） 

D．若在，上是增函数，在上是减函数，则（c）

12．（5分）任何一个正整数可以表示成，，此时，．

下列结论正确的是　　

A．是位数 

B．是位数 

C．是48位数 

D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5

三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）命题“，”的否定是　　．

14．（5分）　　．

15．（5分）已知函数，则的定义域为　　，值域为　　．

16．（5分）地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的　　．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．（10分）设．

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围

18．（12分）已知函数．

（1）若，求方程的解；

（2）若对于，，恒成立，求实数的取值范围．

19．（12分）已知函数，，，且，为常数）．

（1）若，求的最大值；

（2）若，，且的最小值为，求的值．

20．（12分）已知函数．

（1）证明：是奇函数；

（2）用函数单调性的定义证明：在区间，上减函数．

21．（12分）已知函数为非零常数）．

（1）若，且方程在区间，上有两个不等实根，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式：．

22．（12分）若函数是定义在区间，上的奇函数，且．

（1）求函数的表达式；

（2）设，，，对于，，，，且，都有，求实数的最小值．

2020-2021学年江苏省南通市如皋市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B．， C． D．

【分析】先求出集合，，再利用集合的交集运算的定义求解．

【解答】解：集合，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．

2．（5分）已知幂函数在上是减函数，则的值为　　

A． B．1 C．2 D．1或2

【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出的值，再检验即可．

【解答】解：幂函数中，

令，解得或；

时，，在上是增函数，不合题意；

时，，在上是减函数，满足题意；

所以的值为1．

故选：．

【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．

3．（5分）若，则下列不等式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据完全平方公式判断，根据基本不等式判断，根据指数函数的性质判断，取特殊值判断．

【解答】解：由，故正确；

当、时，选项不成立，

由为增函数，，，故错误；

当，时，选项不正确，

故选：．

【点评】本题考查了指数函数，幂函数的性质和基本不等式，属于基础题．

4．（5分）设，，，，若，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【分析】先利用二次函数的性质求出集合，再结合条件，即可求出的取值范围．

【解答】解：，，

，

，

即实数的取值范围是：．

故选：．

【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了二次函数的性质，是基础题．

5．（5分）设，，则“”的充要条件是　　

A．，不都为2 B．，都不为2 

C．，中至多有一个是2 D．，不都为0

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

【解答】解：由，得，则，

故且，

反之，且时，，则，则，

故“”的充要条件是“且 “，

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查不等式的性质，是一道基础题．

6．（5分）设，已知函数是定义在，上的减函数，且，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可进行求解．

【解答】解：因为函数是定义在，上的减函数，且，

所以，

解得，．

故选：．

【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，属于基础试题．

7．（5分）若一个函数的解析式为，它的值域为，，这样的函数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【分析】由函数的定义和图象，即可确定满足题意的函数的个数

【解答】解：满足题意的一个函数的值域为，

即，

，

函数的定义域为，，

根据函数的定义在，内，可以画无数个函数图象使得值域为，

满足题意的函数有无数个

故选：．

【点评】本题考查函数的定义域、值域和定义，以及用函数图象体现自变量与因变量的对应关系，属于基础题．

8．（5分）已知函数，，下列说法不正确的是　　

A．若对于，都有，为常数），则的图象关于直线对称 

B．若对于，都有，为常数），则的图象关于点对称 

C．若对于，，都有，则是奇函数 

D．若对于，，都有，且，则是奇函数

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案，

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若对于，都有，即，变形可得，则函数的图象关于直线对称，正确，

对于，若对于，都有，即，变形可得，则函数的图象关于点，对称，正确，

对于，若对于，，都有，令可得，，即，再令可得，，即函数是奇函数，正确，

对于，若对于，，都有，如函数，满足，但不是奇函数，错误，

故选：．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及抽象函数的性质，属于基础题．

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）下列命题中正确的是　　

A．当时， B．当时， 

C．当时， D．当时，

【分析】由已知结合基本不等式的成立条件分别检验各选项即可判断．

【解答】解：当时，，当且仅当即时取等号，正确；

当时，即最大值为，正确；

当时，，中等号取不到，错误；

时，，中等号取不到，没有最小值，错误；

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式应用条件的判断，解题的关键是熟练掌握基本知识．

10．（5分）已知函数，则下列判断正确的有　　

A．的最小值为 B．在区间，上是增函数 

C．的最大值为1 D．无最大值

【分析】由，分和，可得，，借助基本不等式求出的值域，即可判断．

【解答】解：，

当时，，

当时，，

由于在，上单调递减，

在，上单调递减，故错误，

，

，当且仅当时取等号，

，

，

综上所述的值域为，，

故选项正确，选项错误，

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了函数的值域，属于中档题．

11．（5分）已知函数的定义域为，，．下列说法中错误的是　　

A．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） 

B．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） 

C．若在，上是增函数，在，上是减函数，则（c） 

D．若在，上是增函数，在上是减函数，则（c）

【分析】根据函数的单调性，数形结合，即可判断各个选项，从而得结论．

【解答】解：若在，上是增函数，则（c），，；

在，上是减函数，则（c），，，

所以（c），故正确；

若在，上是增函数，在，上是减函数，函数的最大值不一定为（c），

如图

故错误；

若在，上是增函数，在，上是减函数，函数的最大值不一定为（c），

如图：

故错误：

若在，上是增函数，在上是减函数，函数的最大值不一定为（c），

如图

故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的单调性与函数的最值，属于中档题．

12．（5分）任何一个正整数可以表示成，，此时，．

下列结论正确的是　　

A．是位数 

B．是位数 

C．是48位数 

D．一个11位正整数的15次方根仍是一个正整数，这个15次方根为5

【分析】10是两位数，则是位数，故可判断，对于，分别设，，利用定义求出所在的位数即可．

【解答】解：，，

由于10是两位数，则是位数，故正确，不正确；

设，则，

，

是48位数，故正确；

只需要说明是否为一个11位数正整数，

则，则，

则，

故为一个11位数正整数，

故正确．

故选：．

【点评】本题考查了对数的运算法则，考查理解能力和阅读能力，属于基础题．

三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）命题“，”的否定是　，　．

【分析】利用特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查特称命题的否定是全称命题，注意否定词语以及否定的格式，基本知识的考查．

14．（5分）　　．

【分析】进行对数和根式的运算即可．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

【点评】本题考查了对数的运算性质，根式的运算，考查了计算能力，属于基础题．

15．（5分）已知函数，则的定义域为　　，值域为　　．

【分析】根据对数的真数大于0，即可求解定义域，由，根据对数单调性可得值域．

【解答】解：由，

可得，

，

，

故得的定义域为；

令，

，

，

由题意是单调递增函数，

值域为．

故答案为：；．

【点评】本题考查指数函数，对数函数的单调性，属于函数性质应用题，较容易．

16．（5分）地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的　倍　．

【分析】设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为，由公式：即可求出的值．

【解答】解：设7.5级地震释放的能量为，5.5级地震释放的能量为，

，，

，

即7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的倍．

故答案为：倍．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的计算能力，是基础题．

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．（10分）设．

（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围

【分析】分别求出关于，的不等式（1）根据，（2）得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：，，

故关于的集合，，

，，

故关于的集合，，

（1）若是的充分不必要条件，

则，则，“”不同时成立，

解得：；

即的范围是，；

（2）若是的必要不充分条件，

则，则，“”不同时成立，

解得：，

而

故的范围是．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．

18．（12分）已知函数．

（1）若，求方程的解；

（2）若对于，，恒成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）将代入中，然后解方程即可；

（2）由题意可得，即对，恒成立，运用换元法和函数的单调性求得最小值，进而得到的范围．

【解答】解：（1）当时，，

，即有，可得，

即，解得；

（2）对于，，恒成立，

即为，即对，恒成立，

设，由和在，上递增，

可得在，上递增，

可得的最小值为（1），

则，可得，

即的取值范围是，．

【点评】本题考查指数方程的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．

19．（12分）已知函数，，，且，为常数）．

（1）若，求的最大值；

（2）若，，且的最小值为，求的值．

【分析】（1）讨论对称轴与区间的中点的位置关系，即可求解；

（2）讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解．

【解答】解：（1）当时，，，，

函数的对称轴为：，

当即时，（1），

当即时，（3），

综上，；

（2）当，时，，，，

函数的对称轴为：，

当即时，（1），解得，不合题意舍去，

当即时，（3），解得成立，

当即时，，解得，不合题意舍去，

故的值为．

【点评】本题考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．

20．（12分）已知函数．

（1）证明：是奇函数；

（2）用函数单调性的定义证明：在区间，上减函数．

【分析】（1）由函数的奇偶性的定义即可证明；

（2）利用函数单调性的定义证明即可．

【解答】证明：（1）函数的定义域为，

且，

所以函数是奇函数．

（2）设，，，且，

则，

因为，，，且，

所以，

所以，

所以，

即，

所以，

所以在区间，上是减函数．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的证明，属于基础题．

21．（12分）已知函数为非零常数）．

（1）若，且方程在区间，上有两个不等实根，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式：．

【分析】（1）由二次方程根的分布列出的不等式组，解出的取值范围即可；

（2）先将原不等式转化为：，再根据的取值范围采用分类讨论的办法求解出原不等式的解集即可．

【解答】解：（1）方程在，上有两个不等实根，

，即，解得：或，

实数的取值范围为，，；

（2）不等式等价于：，

可化为：，

，

①当时，原不等式可化为：，解得：或；

②当时，原不等式可化为：，解得：；

③当时，原不等式可化为：，解得：；

④当时，原不等式可化为：，解得：；

综上，①当时，原不等式的解集为，，；

②当时，原不等式的解集为，；

③当时，原不等式的解集为；

④当时，原不等式的解集为，．

【点评】本题主要考查二次方程的根的分布及含参不等式的解法，属于中档题．

22．（12分）若函数是定义在区间，上的奇函数，且．

（1）求函数的表达式；

（2）设，，，对于，，，，且，都有，求实数的最小值．

【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出函数的解析式即可；

（2）问题转化为求的最大值即可，令，，，求的最大值和最小值即可，根据函数的单调性求出的最小值即可．

【解答】解：函数是定义在区间，上的奇函数，

令，则，

故，故，

故时，，

时，，

时，；

综上：；

（2），

，

，

故只需求的最大值即可，

令，，，求的最大值和最小值即可，

由（1）得，，

故，

故，其最小值是3．

【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数的奇偶性以及转化思想，是一道中档题．

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日期：2021/2/23 14:16:11；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394