2020-2021学年江苏省南通市海安市高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市海安市高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（5分）下列关于抛物线的图象描述正确的是　　

A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 

C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为

3．（5分）一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比　　

A． B． C． D．

4．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？　　

A．8日 B．9日 C．12日 D．16日

5．（5分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的　　

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）设和为双曲线的两个焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则　　

A．2020 B． C． D．1010

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）下列叙述中不正确的是　　

A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 

B．若，，，则“”的充要条件是“” 

C．“”是“”的充分不必要条件 

D．若，，，则“”的充要条件是“

10．（5分）设抛物线的焦点为．点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

11．（5分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且、、三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说明正确的是　　

A．数列为等差数列 

B．若，则 

C． 

D．记，则数列有最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）抛物线的准线方程是，则其标准方程是　　．

14．（5分）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．

15．（5分）已知数列的前项和公式为，若，则　　，数列的前项和　　．

16．（5分），分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．

（1）若命题是真命题，求的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．

18．（12分）已知为等差数列，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前项和为，若，，成等比数列，求正整数的值．

19．（12分）已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．

（1）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；

（2）若曲线与直线相交于、两点，求的面积．

20．（12分）设数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

21．（12分）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由．

22．（12分）已知数列满足．

（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省南通市海安市高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．

【解答】解：将量词否定，结论否定，可得，

故选：．

【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

2．（5分）下列关于抛物线的图象描述正确的是　　

A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 

C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为

【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后推出开口与焦点坐标即可．

【解答】解：抛物线的标准方程为：，开口向上，焦点坐标．

故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

3．（5分）一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比　　

A． B． C． D．

【分析】根据每一项都等于它后面的相邻两项之和，建立关于的方程，然后求出的值．

【解答】解等比数列的各项均为正，等比数列的公比，

又每一项都等于它后面的相邻两项之和，

，，

，解得，（舍去）．

．

故选：．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及一元二次方程的解法，属于基础题．

4．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？　　

A．8日 B．9日 C．12日 D．16日

【分析】通过已知条件转化为两个等差数列的前项和为定值问题，进而计算可得结论．

【解答】解：由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差13的等差数列，

驽马每日行程构成一个首项为97，公差为的等差数列，

则，，

则数列与数列的前项和为，

又数列的前项和为，

数列的前项和为，

，

整理得：，即，

解得：或（舍，即九日相逢．

故选：．

【点评】本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

5．（5分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是　　

A． B． 

C． D．

【分析】求得双曲线的焦点和顶点，设椭圆的方程为，由题意可得，且，解方程可得，进而得到椭圆方程．

【解答】解：双曲线的焦点为，

顶点为，

设椭圆的方程为，

由题意可得，且，

解得，

可得椭圆的方程为：．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用双曲线的方程和性质，考查待定系数法和运算能力，属于基础题．

6．（5分）如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的　　

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断．

【解答】解：因为是的必要不充分条件，所以，但推不出．

是的充分必要条件，则，

是的充分不必要条件，则，但推不出，

综上，但推不出．

所以是的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的传递性，利用彼此之间的关系进行推理即可．

7．（5分）设和为双曲线的两个焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

【分析】由题意可知：焦点在轴上，由、、是直角三角形的三个顶点，整理出：，即可求得双曲线的渐近线方程．

【解答】解：由题意可知：双曲线焦点在轴上，

焦点，，

由、、是等腰直角三角形的三个顶点，

，

，

，，

则双曲线的渐近线方程是．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于中档题．

8．（5分）已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则　　

A．2020 B． C． D．1010

【分析】依题意，可分析得到数列是公比为的等比数列，且，于是有，从而可得答案．

【解答】解：，，其中是等差数列，设其公差为，

，

，

数列是公比为的等比数列，

又，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查等比数列的判定及等差数列性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）下列叙述中不正确的是　　

A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 

B．若，，，则“”的充要条件是“” 

C．“”是“”的充分不必要条件 

D．若，，，则“”的充要条件是“

【分析】利用充要条件判断四个选项的正误即可．

【解答】解：若方程有一个正根和一个负根，则△，，

所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；故正确

若，，，“”且时，推不出“，故不正确；

“” “”但是“”推不出“”，“ ”是“”的充分不必要条件；故正确．

当，，时，满足，但此时不成立，故，，，则“”的充分条件是“”所以错误；

故选：．

【点评】本题考查命题的真假，充要条件的判断，是基本知识的考查，是中档题．

10．（5分）设抛物线的焦点为．点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，由抛物线的方程求出抛物线的焦点以及准线方程，设的坐标为，由中点坐标公式可得的值，进而可得，解可得的值，即可得抛物线的方程以及的值，将的值代入抛物线方程可得的值，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，抛物线的焦点为，，准线方程为，

设的坐标为，

若为、的中点，则，

又由点到抛物线准线的距离为，则，解可得，

则抛物线的方程为，且，

在抛物线上，则，解可得，

则的坐标为，，

则点的坐标为或；

故选：．

【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意有2种情况，属于基础题．

11．（5分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且、、三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意可知：，，从而求出，的值，进而求出的值，推出结果．

【解答】解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则由题意可知：，，可得，所以正确；，所以正确；

可得，．

则．

则．所以正确；

故选：．

【点评】本题的关键是正确理解题意，从而寻找几何量之间的关系，是基础题．

12．（5分）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说明正确的是　　

A．数列为等差数列 

B．若，则 

C． 

D．记，则数列有最大值

【分析】直接利用数列的通项公式判定正确，进一步利用数列的前项和公式的转换的应用和函数的单调性的应用求出结果．

【解答】解：各项均为正项的等比数列，则，

对于选项，故正确．

对于选项，所以，故正确．

对于选项：若数列为等比数列，所以，故错误．

对于选项，，由于，所以有最小值，且，所以由最大值，故有最大值，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质和通项公式的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）抛物线的准线方程是，则其标准方程是　　．

【分析】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案．

【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在轴的正负半轴，

设抛物线标准方程为：，

抛物线的准线方程为，

，

，

抛物线的标准方程为：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．

14．（5分）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　，　．

【分析】由题意可得恒成立，再利用而二次函数的性质可得△，由此求得的范围．

【解答】解：命题“，”是假命题，

恒成立，

△，求得，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查函数的能成立和恒成立问题，二次函数的性质，属于中档题．

15．（5分）已知数列的前项和公式为，若，则　　，数列的前项和　　．

【分析】数列的前项和公式为，时，．时，，即可得出．代入，利用等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：数列的前项和公式为，

时，．

时，，对于上式也成立．

．

．

数列的前项和．

故答案为：，．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．（5分），分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为　2　．

【分析】利用椭圆的性质求出，利用几何法求出即可．

【解答】解：延长，延长，交于，则，，

又根据椭圆的定义知，所以，

，

根据是三角形的中位线可得，

故答案为：2．

【点评】考查椭圆的性质的应用，本题关键是作辅助线，中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．

（1）若命题是真命题，求的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．

【分析】（1）利用圆锥曲线的性质求出的范围；

（2）若为真，则，即，

由是的必要不充分条件，得到，或即可求出的取值范围．

【解答】解：（1）若为真：则，解得，或；

（2）若为真，则，即，

是的必要不充分条件，则，或

即或解得或

【点评】本题考查了命题真假及充要条件的应用，属于基础题．

18．（12分）已知为等差数列，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记的前项和为，若，，成等比数列，求正整数的值．

【分析】（1）设数列 的公差为，由等差数列的通项公式可得，解可得与的值，代入等差数列的通项公式中即可得答案；

（2）由（1）可得与的值，代入等差数列的前项和公式可得，又由，，成等比数列，可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，设数列 的公差为，

由题意知，

解得，，

则；

（2）由（1）可得，，

则，

若，，成等比数列，

则有，

即，

变形可得：，

解可得或（舍；

故．

【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前项和公式，关键是求出等差数列的通项公式．

19．（12分）已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．

（1）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；

（2）若曲线与直线相交于、两点，求的面积．

【分析】（1）根据点到点的距离等于它到直线的距离，利用抛物线的定义，可得点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为；

（2）代入抛物线方程可得，求出，即可求的面积．

【解答】解：（1）因为点到点的距离等于它到直线的距离，

所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，

所以方程为．

（2）代入抛物线方程可得，所以，

所以的面积为．

【点评】本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查三角形面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．

20．（12分）设数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．

（2）．利用裂项求和方法即可得出．

【解答】解：（1）数列满足．

时，．

．．

当时，，上式也成立．

．

（2）．

数列的前项和．

【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．（12分）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【分析】（1）确定椭圆的一个顶点坐标，结合离心率，即可求得椭圆的方程；

（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量数量积公式，即可求得结论．

【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为，

椭圆的一个顶点为，即

，，

椭圆的标准方程为；

（2）由题意，直线与椭圆必相交

①斜率不存在时，直线为，代入椭圆方程，可得，

，不合题意；

②斜率存在时，设方程为，，、，，

直线方程代入椭圆方程，消去可得

，，

，

故直线的方程为或．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

22．（12分）已知数列满足．

（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．

【分析】（1）直接利用等差数列的的应用和递推关系式的应用求出数列的通项公式；

（2）利用已知条件和恒成立问题的应用求出结果．

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由，

则，解得，，

因此，数列的通项公式为；

（2）由（1）知，当时，，①，，②

两式相减得；

数列是以为首项，2为公差的等差数列，

数列是以为首项，2为公差的等差数列

又，

，

当为偶数时，；

当为奇数时，．

所以．

因为对任意的都有成立，

当为奇数时，恒成立，

在为奇数时恒成立，

，

；

同理当为偶数时，恒成立，

在为偶数时恒成立，

．

综上所述，的取值范围是，．

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

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日期：2021/2/24 20:25:11；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394