2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，十七世纪之交，随着天文，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，，则　　A． B． C． D．2．（5分）下列函数中，在区间上是减函数为　　A． B． C． D．3．（5分）设函数，则　　A．5 B．8 C．9 D．174．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　A． B． C． D．5．（5分）若，，，则　　A． B． C． D．6．（5分）已知函数是偶函数，在上单调递增，则实数　　A． B． C．2 D．7．（5分）设命题甲：关于的不等式的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的　　条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要8．（5分）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．（5分）下列四组函数中，与表示同一函数的是　　A．， B．， C．， D．，10．（5分）已知函数为自然对数的底数），则　　A．为奇函数 B．方程的实数解为 C．的图象关于轴对称 D．，，且，都有11．（5分）下列命题中正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则12．（5分）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有　　A． B．函数的图象是两条直线 C．（1） D．，都有三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13．（5分）若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是　　．14．（5分）函数的值域为　　．15．（5分）已知，是正实数，且，则的最小值是　　．16．（5分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则　　，　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）求值：；（2）已知，求函数的解析式．18．（12分）已知函数．（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．19．（12分）对于集合，，我们把集合，且，记作．（1）已知集合，，求，；（直接写出结果即可）（2）已知集合，，，若，求实数的取值范围．20．（12分）某地规划对一片面积为的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为．当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10年时间．（1）求的值；（2）若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？21．（12分）已知不等式的解集为，集合．（1）求集合；（2）当，时，求集合；（3）是否存在实数，使得是的充分条件，若存在，求出实数，满足的条件；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数，且．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）讨论函数的单调性；（3）对于，，，，使得，求的取值范围．
2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，，则　　A． B． C． D．【分析】解不等式，分别求出关于，的范围，求出，的补集即可．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．（5分）下列函数中，在区间上是减函数为　　A． B． C． D．【分析】利用一次函数，二次函数，指数函数与漫画书的单调性判断结果即可．【解答】解：选项是一次函数是增函数，所以不正确；选项，函数是二次函数，函数的单调函数，所以不正确；选项，函数是．函数是增函数，所以不正确选项，是指数函数，是减函数，所以正确；故选：．【点评】本题考查基本函数的单调性的判断，是基本知识的考查．3．（5分）设函数，则　　A．5 B．8 C．9 D．17【分析】根据题意，由函数的解析式可得，据此可得（4），计算可得答案．【解答】解：根据题意，，则，则（4），故选：．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数的性质，属于基础题．4．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　A． B． C． D．【分析】由题意知，是方程的根，且，推出，再代入，解之即可．【解答】解：由题意知，是方程的根，且，所以，所以不等式可化为，解得，故选：．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5．（5分）若，，，则　　A． B． C． D．【分析】由指数函数的单调性可得，的大小关系，由幂函数的单调性可得，的大小关系，从而得到，，的大小关系．【解答】解：指数函数在上单调递减，且，，即，幂函数在上单调递增，且，，即，综上所述，．故选：．【点评】本题主要考查了三个幂值的大小比较，合理应用指数函数和幂函数的单调性是本题的解题关键，属于基础题．6．（5分）已知函数是偶函数，在上单调递增，则实数　　A． B． C．2 D．【分析】根据函数的奇偶性的性质求出，结合幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：函数是偶函数，，即，则，解得，解得或，若，在内单调递减，不满足条件，若，在内单调递增，满足条件，故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及幂函数的性质，比较基础．7．（5分）设命题甲：关于的不等式的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的　　条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【分析】利用特殊值发令，可得，来判断充分条件，再根据二次函数的性质判断必要条件，从而求解；【解答】解：已知命题甲：，令，可得恒成立，命题甲推不出命题乙，设，则其中，△，图象开口向上，与轴无交点，此时恒成立，命题乙推出命题甲，命题甲：是命题乙：成立的必要不充分条件；故选：．【点评】本题考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系．值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用．8．（5分）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．【分析】根据条件可得图象关于轴对称以及在上递减，则在，上恒成立，解出范围即可．【解答】解：由题可知，的图象关于轴对称，且函数在上递减，由函数的图象特征可得在，上恒成立，得在，上恒成立，所以．故选：．【点评】本题考查函数对称性，单调性，涉及函数恒成立问题，利用分离参数法解不等式即可求出范围，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．（5分）下列四组函数中，与表示同一函数的是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一个函数．【解答】解：对于，，定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数；对于，，定义域为，，的定义域为，，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于，，定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数；对于，，定义域为，的定义域为，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．10．（5分）已知函数为自然对数的底数），则　　A．为奇函数 B．方程的实数解为 C．的图象关于轴对称 D．，，且，都有【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，函数，其定义域为，有，即函数为奇函数，正确，对于，若，变形可得，解可得，即方程的实数解为，正确，对于，为奇函数，其图象关于原点对称，不关于轴对称，错误，对于，，函数为上的增函数，则为上的增函数，，，且，都有，正确，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数值的计算，属于基础题．11．（5分）下列命题中正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】利用基本不等式以及不等式的基本性质，判断即可．【解答】解：，则，所以正确；若，则，所以不正确；若，则，所以正确；若，则也可能，所以不正确；故选：．【点评】本题考查基本不等式的应用，不等式的简单性质的应用，是基本知识的考查．12．（5分）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有　　A． B．函数的图象是两条直线 C．（1） D．，都有【分析】对应各个选项，结合有理数和无理数以及何时的性质，即可判断各个选项评分正确．【解答】解：选项：若为有理数，则，所以（1），正确，选项：在轴上，有理数和无理数是分散的，图象不可能为直线，错误，选项是无理数，所以，而1为有理数，所以（1），所以（1），错误，选项：若为无理数，则与都为无理数，所以，若 为有理数，则与为有理数，所以，正确，故选：．【点评】本题考查了狄利克雷函数的性质，考查了学生对有理数和无理数的理解能力，属于基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13．（5分）若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是　　．【分析】分情况解二次不等式，结合已知条件即可求解结论．【解答】解：当时，，恰有三个元素，此时没有正根，故舍去，当时，，恰有三个元素，，当时，不存在，综上可得：实数的取值范围为：．【点评】本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用，属于中档题目．14．（5分）函数的值域为　，　．【分析】求出指数的取值范围，利用指数函数的单调性，即可求出函数的值域．【解答】解：因为，函数是减函数，所以，．故答案为：，．【点评】本题是基础题，考查函数的单调性的应用，注意指数函数的性质，考查计算能力．15．（5分）已知，是正实数，且，则的最小值是　　．【分析】先对式子变形，再利用基本不等式求得结果即可．【解答】解：，是正实数，且，，，当且仅当时取“ “，故答案为：．【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题．16．（5分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则　1　，　　．【分析】根据换底公式和对数的运算性质即可求出．【解答】解：，，则则，，则，故答案为：1，．【点评】本题考查了对数式和指数式的互化，以及换底公式，对数的运算性质，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）求值：；（2）已知，求函数的解析式．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）利用拼凑法得到，再利用换元法令，求出的范围，从而得到函数的解析式．【解答】解：（1）原式．（2），令，则，，．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了拼凑法求函数解析式，是中档题．18．（12分）已知函数．（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的图象与性质，结合题意求得的取值范围；（2）利用二次函数的性质将不等式恒成立问题转化为，解之即可得的取值范围．【解答】解：（1）因为开口向上，所以函数的对称轴是，解得，所以的取值范围是．（2）因为对于任意，，都有成立，所以，即解得，因此，的取值范围是．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式恒成立的应用问题．19．（12分）对于集合，，我们把集合，且，记作．（1）已知集合，，求，；（直接写出结果即可）（2）已知集合，，，若，求实数的取值范围．【分析】（1）根据定义且．即可求解，；（2）由，结合定义且．即可求解实数的取值范围．【解答】解：（1）由定义且．集合，，，，，．（2）已知集合，，，由，即时，无解，那么，解得或，故得实数的取值范围，，．【点评】本题考查对新定义的理解和应用，解题时要认真审题，属于基础题．20．（12分）某地规划对一片面积为的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为．当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10年时间．（1）求的值；（2）若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？【分析】（1）由题意，，即可求解值；（2）设按照规划至少还需年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的，则，将代入，求解的范围得结论．【解答】解：（1）由题意，，，得；（2）设按照规划至少还需年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的，则，将代入，可得，，即，得．故按照规划至少还需15年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．21．（12分）已知不等式的解集为，集合．（1）求集合；（2）当，时，求集合；（3）是否存在实数，使得是的充分条件，若存在，求出实数，满足的条件；若不存在，说明理由．【分析】（1）解不等式可得集合；（2）解不等式可得集合；（3）分类讨论，根据是的充分条件，即可求出．【解答】解：（1）不等式，即，解得或，，；（2），，则，即，解得，即，；（3）是的充分条件，则，由可得，当时，，解得，不满足，当时，，或，或，不满足，当时，可化为，由于，且，即且，综上所述存在实数，满足且时，使得是的充分条件．【点评】本题考查了不等式的解法和充分条件的定义，考查了运算求解能力，属于中档题．22．（12分）已知函数，且．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）讨论函数的单调性；（3）对于，，，，使得，求的取值范围．【分析】（1）函数的定义域为，由函数的奇偶性定义，即可得出答案．（2）分两种情况：①当时，②当时，讨论函数是上的单调性．（3）由单调性，推出在区间，上的值域，，，，问题转化为，是的值域的子集，进而解出的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为，因为对于任意的，都有，且，所以为奇函数．（2）①当时，，由函数是上的增函数，是上的减函数，得是上的增函数，从而函数是上的增函数，②当时，，由函数是上的减函数，是上的增函数，得是上的减函数，从而函数是上的增函数，综上所述，函数是上的增函数．（3）由（2）知在区间，上是增函数，由于（1），，所以在区间，上的值域为，，因为对于，，，，使得，记，，，所以，是的值域的子集，即，当即时，，所以，当即时，（2），所以．综上所述，的取值范围是，．【点评】本题考查函数的性质，解题中注意分类讨论思想，转化思想的应用，属于中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 14:26:17；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394