中考数学压轴题（11）——园周长最大值

已知，点、、、是圆上的四个点，

（1）如图1，如果，判断的形状，并证明．

（2）如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．

（3）如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为 　   　．

【答案】（1）是等边三角形，证明过程见解答；

（2）当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；理由见解答；

（3）．

【考点】圆的综合题

【专题】推理能力；几何综合题

【分析】（1）根据圆周角定理得到，计算出，即可证明结论；

（2）延长到点，使，如图，先证明，得到，再证明为等边三角形，则，进而可判断，同理可得当点在劣弧上时，当点在劣弧上时的线段关系；

（3）由（2）可得：当点在弧上运动时，，从而将四边形的周长转化为，从而得到最大时周长最大，利用等边三角形的性质得到和的长，结合半径可得结果．

【解答】

解：（1）是等边三角形，

证明：，

，

，

是等边三角形；

（2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使，

是等边三角形，

，，

，，

，

，

，，

，

是等边三角形，

，

，

；

同理：当点在劣弧上时，；

当点在劣弧上时，；

综上所述：当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，；

（3）由（2）可知：当点在弧上运动时，如图2，，

四边形周长，

固定不变，

当最大时，即为直径时，周长最大，

如图2，设直径为，连接并延长，交于，则，

是等边三角形，圆半径，

，

，

，

，

四边形周长最大值为．

故答案为：．

【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要注意前问的结论能合理运用．