2024年中考数学一轮复习《等腰三角形》考点课时精炼(含答案)

2024年中考数学一轮复习

《等腰三角形》考点课时精炼

一              、选择题

1.在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是(    )

A.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3

B.a∶b∶c＝2∶2∶3

C.∠B＝50°，∠C＝80°

D.2∠A＝∠B＋∠C

2.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝(　　)

A.10°       B.15°       C.20°       D.25°

3.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为(     )

A.12                            B.9                          C.12或9                        D.9或7

4.等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于(     )

A.腰上的高                   B.腰上的中线                    C.底角的平分线                    D.顶角的平分线

5.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(       )

A.48°                         B.36°                         C.30°                          D.24°

6.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(     )

A.102°         B.100°        C.88°          D.92°

7.下列说法正确的是(       )

A.如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形

B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形

C.等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形

D.一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形

8.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是(     )

A.105°                       B.120°                      C.135°                      D.150°

9.下列说法正确的是(　　)

A.等腰三角形的两条高相等

C.有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形

B.等腰三角形一定是锐角三角形

D.三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等

10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为(　　)

A.4 cm　　   B.6 cm　    　C.8 cm　   　D.12 cm

二              、填空题

11.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为      .

12.如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝________.

13.如图，将边长为6cm的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE、AC相交于点G，若线段CF＝4cm，则△GEC的周长是　    　cm.

14.如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行      海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处.

15.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为 　  　.

16.如图，∠AOB＝30°，点P是它内部一点，OP＝2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ＋QR＋RP的最小值是　   　.

三              、解答题

17.如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA延长线上，AE＝AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.

18.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝CD，AD＝DB，求∠BAC的度数.

19.如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.

20.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由.

21.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线.

求证：△ADE是等边三角形.

22.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F.

(1)如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；

(2)若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形.

23.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.

①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；

②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

24.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．

(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE的度数；

(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．

参考答案

1.D.

2.C.

3.A

4.A

5.A

6.D

7.B

8.B

9.D

10.C.

11.答案为：3cm.

12.答案为：3

13.答案为：6；

14.答案为：4.

15.答案为：20°.

16.答案为：2.

17.解：EF⊥BC，理由为：

证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AE＝AF，

∴∠E＝∠EFA，

∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA，

∴∠EFA＝∠BAD，

∴EF∥AD，

∵AD⊥BC，

∴EF⊥BC，

则EF与BC的位置关系是垂直.

18.解：∵AB＝AC，DA＝DB，

∴∠B＝∠C＝∠BAD，

∵CA＝CD，

∴∠CDA＝∠CAD，

又∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B＝2∠C，

∴∠CAD＝2∠C，

在△ACD中，∠C＋∠CDA＋∠CAD＝180°，

∴2∠C＋2∠C＋∠C＝180°，

∴∠C＝36°，

∴∠BAD＝36°，∠CAD＝2∠C＝72°，

∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝36°＋72°＝108°.

19.证明：∵AB＝AC＝AD，

∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，

∴∠ABC＝∠CBD+∠D，

∵AD∥BC，

∴∠CBD＝∠D，

∴∠ABC＝∠D+∠D＝2∠D，

又∵∠C＝∠ABC，

∴∠C＝2∠D.

20.解：△BDC≌△AEC.理由如下：

∵△ABC、△EDC均为等边三角形，

∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠ECD＝60°.

从而∠BCD＝∠ACE.

在△BDC和△AEC中，

，

∴△BDC≌△AEC(SAS).

21.证明：∵点A在DE的垂直平分线上，

∴AE＝AD，

∴△ADE是等腰三角形，

∵AB⊥DE，

∴∠ADE＝90°－∠BAD，

∵AD⊥BD，

∴∠B＝90°－∠BAD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠ADE＝∠B＝60°，

∴△ADE是等边三角形.

22.解：(1)根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，

∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，

∵∠C＝90°，

∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°.

(2)∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF＝CD，

∴∠CFD＝∠CDF＝45°，

设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD， AE＝DE，

∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，

分类如下：

①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，

由∠CDE＝∠DEB＋∠B，得45°＋22.5°＋x＝4x，解得：x＝22.5°.

此时∠B＝2x＝45°；

见图形(1)，说明：图中AD应平分∠CAB.

②当BD＝BE时，则∠B＝(180°﹣4x)°，

由∠CDE＝∠DEB＋∠B得：45°＋22.5°＋x＝2x＋180°﹣4x，

解得x＝37.5°，此时∠B＝(180﹣4x)°＝30°.

图形(2)说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°.

③DE＝BE时，则∠B＝()°，

由∠CDE＝∠DEB＋∠B得，45°＋22.5°＋x＝2x＋，此方程无解.

∴DE＝BE不成立.

综上所述∠B＝45°或30°.

23.解：(1)△OBC≌△ABD.

证明：∵△AOB，△CBD都是等边三角形，

∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，

∴∠OBC＝∠ABC，

在△OBC和△ABD中，

，

∴△OBC≌△ABD(SAS)；

(2)∵△OBC≌△ABD，

∴∠BOC＝∠BAD＝60°，

又∵∠OAB＝60°，

∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，

∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，

∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，

∴AE＝2，

∴AC＝AE＝2，

∴OC＝1＋2＝3，

∴当点C的坐标为(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形.

24.(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，

在△ABE和△BCD中，

AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC，

∴△ABE≌△BCD，

∴∠ABE＝∠BCD，

∵∠ABE＋∠CBG＝60°，

∴∠BDG＋∠CBG＝60°，

∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG，

∴∠CGE＝60°；

(2)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，

∴∠EAB＝∠CBD＝120°，

在△ABE和△BCD中，

AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD，

∴△ABE≌△BCD(SAS)，

∴∠D＝∠E，

∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°，

∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．