【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 考点精讲精炼 第7讲 分式方程（考点精析+真题精讲） 教师版+学生版

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第3讲分式方程
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 解分式方程
考向二 含参问题
考向三 分式方程的解
考向四 分式方程的应用
类型一 行程问题
类型二 工程问题
类型三 方案选择
类型四 其他问题
第3讲分式方程
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握.
→➊考点精析←
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥答．
→➋真题精讲←
考向一 解分式方程
分式方程的解法：
①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．
1．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·甘肃武威·统考中考真题）方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江苏南京·模拟预测）解方程：．
5．（2023·山西·统考中考真题）解方程：．
考向二 含参问题
6．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
7．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
考向三 分式方程的解
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
8．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
9．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程的解为___________．
10．（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为__．
11．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
13．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数B．负数C．零D．无法确定
考向四 分式方程的应用
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
类型一 行程问题
14．（2023·湖南郴州·统考中考真题）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·广西中考真题）甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南·统考中考真题）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·四川·统考中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023·广东·统考中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
类型二 工程问题
20．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A．B．C．D．
类型三 方案选择
22．（2023·山东·统考中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
类型四 其他应用
23．（2020·湖南长沙·中考真题）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ）
A．B．C．D．
24．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
25．（2020·山东青岛·中考真题）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200