2023年吉林省长春108中中考数学模拟试卷（含解析）

2023年吉林省长春108中中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  某种速冻水饺适宜的储藏温度是，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果，科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年数据亿年用科学记数法表示为(    )

A. 年
B. 年
C. 年
D. 年

3.  如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形，，内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：面上的数与它对面的数互为倒数；面上的数等于它对面的数的绝对值；面上的数与它对面的数互为相反数下列选项正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如果关于的不等式解集为，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为参考数据：，，(    )

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

6.  如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的内接三角形，连接，，若，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，则点的横坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解： ______ ．

10.  一个两位数，十位数字为，个位数字为，这个两位数可以表示为______．

11.  若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______ ．

12.  如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．

 

13.  如图，小聪探索发现，当三角板中角的顶点在上移动，三角板的两边与相交于点，时，的长度保持不变若的半径为，则的长为______ ．

14.  如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面即，小孔顶点距水面即，建立如图所示的平面直角坐标系当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度 ______
 

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
抛掷一枚普通的硬币次，有人说连续掷出三个正面和掷出两个正面和一个反面的概率是一样的你同意吗？请说明理由．

17.  本小题分
“菊洞初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰富的维生素某水果基地决定将一批橙子送往外地销售现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装箱橙子且甲种货车装运箱橙子所用车辆数与乙种货车装运箱橙子所用车辆数相等求乙种货车每辆车可装多少箱橙子？

18.  本小题分
在的正方形网格中，点、、均在格点上仅用无刻度的直尺，按要求作图保留作图痕迹．
在图中，过点作．
在图中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形．
在图中，作▱，使▱的面积等于面积的．

 

19.  本小题分
如图，在▱中，点是的中点，连接，、的延长线相交于点，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
当与满足条件______ 时，四边形是矩形．

20.  本小题分
年月，青岛即将举办第十五届国际海洋节某校为了增进学生对海洋运动知识与海洋科技知识的了解，开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了名学生两次活动的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析如图是这名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．
学生甲的两次成绩相同，他的成绩是______ 分；
学生乙第一次成绩低于分，第二次成绩高于分，请在图中用“”圈出代表乙的点；
第二次成绩的中位数是______ 分
为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，，，三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图．
数据分成组：，，，，，．

若他们人中中只有一人所作的频数分布直方图正确，则作图正确的是______ ．
学校有名学生参加了此次活动，估计两次平均成绩不低于分的学生人数．

21.  本小题分
甲、乙两人沿同一条笔直的路同时从地出发，甲从地匀速步行，途经地，到达地后立即原路原速返回；乙从地匀速步行，到达地后立即原路原速返回；两人恰好同时返回到地设甲步行的时间为，甲、乙两人离地的距离分别为、，图中的折线表示与之间的函数关系．
、两地之间的距离为______ ，甲步行的速度为______ ；
求图中线段所表示的关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
在同一个坐标系中，画出关于的函数图象．

22.  本小题分
实践与探究
操作一：如图，矩形纸片对折，使得点和点重合，点和点重合，展开得到折痕点是上的点，沿直线将翻折，使点的对称点点落在上，则 ______ 度
操作二：如图，连结并延长，交于点．
运用以上操作所得结论，解答下列问题：
求证：．
当四边形是平行四边形时， ______ ．

23.  本小题分
如图，在中，，，，点是的中点动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动；动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点不与点、重合时，连结、，以、为邻边作平行四边形，设点的运动时间为秒．
线段的长为______ ．
用含的代数式表示点到直线的距离．
当平行四边形的面积被的边分成两部分，这两部分图形的面积比为：时，求此时的值．
当平行四边形是轴对称图形时，直接写出此时的值．

24.  本小题分
抛物线与轴交于点，与轴交于点过点作轴垂线，为抛物线上一点，其横坐标为，过点作于点，为直线上一点，其纵坐标为，连接，设的长度为．
求抛物线的解析式．
求关于的函数解析式，并写出的取值范围．
直接写出随着的增大而减小时的取值范围．
直接写出时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
速冻水饺的储藏温度是在与之间，包括与，
四个选项中选项不符合要求．
故选：．
根据正负数的意义求出储藏温度的范围然后判断即可．
本题主要考查了正负数的意义，有理数的加减法，熟练掌握相关概念是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿年年年，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图形可知“”的对面是，“”的对面是，“”的对面是，
面上的数与它对面的数互为倒数，
；
面上的数等于它对面上的数的绝对值，
；
面上的数与它对面的数互为相反数，
，
故选：．
利用正方体及其表面展开图的特点，可知“”的对面是，“”的对面是，“”的对面是，根据倒数，绝对值，相反数的定义求出，，的值，
本题考查了正方体相对两个面上的文字和实数的运算，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．解题的关键是求出，，的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式解集为，
，
故选：．
运用不等式的基本性质求解即可．
本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示标注字母，

根据题意得，，，海里，
，，
，
在中，，
海里，
此时与灯塔的距离约为海里．
故选：．
由题意可得，，海里，则，，在中，利用正弦函数求解即可．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：绕点按逆时针方向旋转，得到，
≌，，
，，
，
，
，
故选：．
旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．
此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的内接三角形，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查三角形的外接圆与外心和圆周角定理，解题的关键是熟知“同弧所对圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半”．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
点，
当时，，
即一次函数的图象与轴的交点，
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，
在中，，，
，
四边形是菱形，
，
，
点的横坐标为，
故选：．
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点和点的坐标，再根据勾股定理求出，由菱形、矩形的性质求出，进而得出的长即可．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征以及菱形、矩形的性质是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据提公因式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：十位数字为，个位数字为，
这个两位数可以表示为．
故答案为：
用十位上的数字乘以，加上个位上的数字，即可列出这个两位数．
此题考查了两位数的表示方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

12.【答案】同位角相等，两直线平行 

【解析】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
作图时保持，根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线．
本题主要考查了平行线的判定．平行线的判定方法有：定理：同位角相等，两直线平行；
定理：内错角相等，两直线平行；
定理：同旁内角互补，两直线平行；
定理：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；
定理：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
，
的半径为，
弧长为：，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式即可求解．
本题主要考查了圆周角定理和弧长公式，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧长公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为，
设中间大抛物线的函数式为，
代入三点的坐标得到，
解得．
函数式为．
米，
令米，
代入解析式得，，
可得米．
故答案为：．
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到、、的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据的长度，得出函数的坐标，代入解析式，即可得出、的坐标，进而得出答案．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

16.【答案】解：由题意可画树状图如下，

由树状图可知共有种等可能的情况，其中掷出三个正面的情况有种，掷出两个正面和一个反面的情况有种，
掷出三个正面的概率为，掷出两个正面和一个反面的概率为，
掷出三个正面和掷出两个正面和一个反面的概率不一样． 

【解析】画出树状图表示出所有等可能的情况，再找出掷出三个正面的情况和掷出两个正面和一个反面的情况，利用概率公式分别计算出两种情况的概率，即可解答．
本题考查列表法或树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
 

17.【答案】解：设甲种货车每辆车可装箱橙子，则乙种货车每辆车可装箱橙子，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：乙种货车每辆车可装箱橙子． 

【解析】设甲种货车每辆车可装箱橙子，则乙种货车每辆车可装箱橙子，根据题意：甲种货车装运箱橙子所用车辆数与乙种货车装运箱橙子所用车辆数相等．即可列出关于的分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，直线即为所求；
如图中，即为所求答案不唯一；
如图中，四边形即为所求．
 

【解析】根据平行线的定义画出图形；
利用等高模型解决问题即可；
在，上截取点，，使得：：：，作直线交网格线于点，，四边形即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
时，四边形是矩形，
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
由知四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
要证明四边形是平行四边形，只要证明即可，然后根据题目中的条件，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到≌，即可得到；
先写出与之间的关系，然后根据矩形的判定方法和平行四边形的性质，得到，再结合中的结论，即可得到四边形是矩形．
本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】     

【解析】解：观察名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图，
可以发现：横纵坐标相同的点只有，
故答案为：；
观察名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图，
可以发现，第一次成绩低于分，第二次成绩高于分，只有第一次分，第二次高于分的点，
如图，“”圈出的就是代表乙的点；

第二次成绩的中位数应是分数由低到高排列，排在第、位的两个数的平均数，
观察名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图，
可以发现：第二次成绩处在第、位的都是，
中位数为：，
故答案为：；
观察名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图，
可以发现，第一次活动和第二次活动成绩均在范围附近的有个点，所以A错误，
第一次活动和第二次活动成绩均在范围附近的有个点，所以C错误，
故答案为：；
人，
答：估计两次平均成绩不低于分的学生约人．
从名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图中找出横、纵坐标相同的点，确定成绩即可；
从名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图中找出横坐标小于，纵坐标超过的点，圈出即可；
从名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图中找出位置处于中间的两个点，求出两个点纵坐标的平均数即可；
从，两组中点的个数即可作出判断；
从图中的数据算出两次平均成绩不低于分的学生比例，再乘以即可做出判断．
本题考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，解答时需要一定的观察、分析、判断能力．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图象可知，、两地之间的距离为，
甲步行的速度为，
故答案为：，；
点即甲到地，
，
甲从地返回地所用时间为：，
，
设所表示的关于的函数表达式为，
，
解得，
所表示的关于的函数表达式；
甲乙两人同时出发同时返回，说明所用时间相同，
乙从地到地时间为，
如图所示：

根据图形直接得出结论；
先确定出，的坐标，再用待定系数法求出函数解析式；
根据题意确定出乙到地的时间，然后画出图象即可．
本题考查一次函数的应用，关键是从图形中读取信息，确定出，的坐标．
 

22.【答案】  

【解析】操作一：解：如图中，连接．

垂直平分线段，
，
由翻折变换的性质可知，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
故答案为：；
操作二：证明：如图中，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
；

解：

由操作一可知，，
，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为：．
操作一：如图中，连接，证明是等边三角形，可得结论；
操作二：利用平行线等分线段定理证明即可；
证明是等边三角形，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
是的中点，
．
故答案为：；

如图中，过点作于点，过点作于点．

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
≌，
，
当时，．
当时，；

如图中，设交于点．

把平行四边形的面积分成：，
：：，
，
：：：，
：：，
．
如图中，设交于点，

把平行四边形的面积分成：，
：：，
，
：：：，
：：，
，
综上所述，满足添加的的值为或；

当时，，
解得，负根已经舍去，
当时，四边形是矩形，满足条件．
综上所述，满足条件的的值为或．
利用勾股定理求出，可得结论；
如图中，过点作于点，过点作于点证明≌，推出，分两种情形分别求解；
分两种情形：如图中，设交与点证明：：，由此构建方程求解．如图中，设交与点，证明：：，由此构建方程求解；
根据，构建方程求解，另外时，四边形是矩形，由此可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：将点，代入解析式，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．

点的横坐标为，
，
，，
，
点和点不会重合，
当点在点上方时，，即时，
；
当点在点下方时，，即或时，
；
综上所述，当时，；当或时，；

当时，，
，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
当或时，，
，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；
综上所述，随着的增大而减小时的取值范围为或．

，，，，
，，
设与轴的交点为点，则∽，
，
：：或：：，
如图，当点在轴上方，点在轴下方时，
，
解得：，
：：或：：，
解得：舍或舍，
如图，当点在轴下方，点在轴上方时，
，
解得：，
：：或：：，
解得：或，
综上所述，或． 

【解析】将点和点代入解析式，然后求出、的值，最后得到二次函数的解析式；
分情况讨论，点在上方；点在下方，然后求出与的关系式；
利用二次函数的性质求出随的增大而减小时的的取值范围；
分情况讨论：点在轴上方，点在轴下方；点在轴下方，点在轴上方，然后结合三角形相似的性质求解．
本题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、涉及轴对称性质、解一元二次不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．