人教版高考数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性含答案

考点规范练7　函数的奇偶性与周期性

1.设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)=(　　)

A.- B. C.2 D.-2

答案  B

解析  由已知得f(-)=f()=log2.故选B.

2.函数f(x)=的图象(　　)

A.关于原点对称 B.关于x轴对称

C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称

答案  C

解析  由于函数f(x)==3x+3-x的定义域为R,且满足f(-x)=3x+3-x=f(x),故该函数为偶函数,图象关于y轴对称,故选C.

3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.1 B.5 C.-1 D.-5

答案  B

解析  令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.

4.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=(　　)

A.-3 B.- C. D.3

答案  A

解析  因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.

5.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,下列等式成立的是(　　)

A.f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)

B.f(1 017)+f(1 019)=f(1 018)

C.2f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)

D.f(1 017)=f(1 018)+f(1 019)

答案  ABC

解析  由f(x-3)=-f(x),知f(x)=f(x+6),即函数f(x)的周期为6.

又当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,所以f(1 017)=f(169×6+3)=f(3)=0,f(1 018)=f(170×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(1 019)=f(170×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.

故选项A,B,C正确.

6.已知函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在区间[-1,3]上的解集为(　　)

A.(1,3) B.(-1,1)

C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)

答案  C

解析  f(x)的图象如图所示.

当x∈[-1,0)时,由xf(x)>0,得x∈(-1,0);当x∈[0,1)时,由xf(x)>0,得x∈⌀;

当x∈[1,3]时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).

故x∈(-1,0)∪(1,3).

7.(2021全国Ⅱ,理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f=(　　)

A.- B.- C. D.

答案  D

解析  ∵f(x+1)是奇函数,

∴f(-x+1)=-f(x+1).

∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).

∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).

∵f(x+2)是偶函数,

∴f(x+2)=f(2-x),

∴-f(-x)=-f(x),

即f(-x)=f(x),

∴f(x)是偶函数.

∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),

∴函数f(x)的周期为4,

∴f(3)=f(1)=0.

∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),

∴f(0)=-f(2).

∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,

∴由f(1)=0得a+b=0.

∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6,

即4a+b=-6,

∴a=-2,b=2,

∴f=f=-f=--2×+2=.

8.(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)是以2为周期的周期函数

B.函数f(x)是以4为周期的周期函数

C.函数f(x-1)为奇函数

D.函数f(x-3)为偶函数

答案  BC

解析  对于选项A,B,∵函数f(x)为偶函数,

∴f(-x)=f(x).

∵f(x)+f(2-x)=0,∴f(-x)+f(2+x)=0,

则f(x)+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(x),

∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,由此可知选项A错误,选项B正确;

对于选项C,令F(x)=f(x-1),则F(-x)=f(-x-1)=f(x+1).

在f(x)+f(2+x)=0中,将x换为x-1,得f(x-1)+f(1+x)=0,得f(x+1)=-f(x-1),即F(-x)=-f(x-1)=-F(x),则函数F(x)=f(x-1)为奇函数,所以选项C正确.

对于选项D,由题意不妨取满足条件的函数f(x)=cosx,则f(x-3)=cos(x-3)=cos=-sinx为奇函数,所以选项D错误.

9.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)=f(x),已知当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x+1,则f(3)=　　　　　;f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=　　　　　. 

答案  0　1 011

解析  由f(x+2)=f(x),得函数f(x)的周期为2,f(3)=f(1)=1-2+1=0,f(0)=0-0+1=1,f(1)=f(3)=0,故f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)=1 010×(f(0)+f(1))+f(0)=1 011.

10.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.

(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切的x都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

解(1)因为f(x)=ex-,且y=ex单调递增,y=-单调递增,所以f(x)单调递增.因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数,故f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立,即f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立,所以t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立,即存在实数t使得恒成立.故存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.