广西专用高考数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性含解析新人教A版文

考点规范练7　函数的奇偶性与周期性

基础巩固

1.函数f(x)=-x的图象关于(　　)

A.y轴对称 

B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称 

D.直线y=x对称

2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)内单调递增的是(　　)

A.y=x2 B.y=2|x|

C.y=log2 D.y=sin x

3.(2021全国Ⅱ)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f=(　　)

A.- B.- 

C. D.

4.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)

A.1 B.5

C.-1 D.-5

5.(2021广西南宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在区间[0,1]上是减函数,则有(　　)

A.f<f<f

B.f<f<f

C.f<f<f

D.f<f<f

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-,则f(lo)的值为(　　)

A.0 B.1

C. D.-

7.(2021新高考Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　　)

A.f=0 B.f(-1)=0

C.f(2)=0 D.f(4)=0

8.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)

A.e-x-1 

B.e-x+1

C.-e-x-1 

D.-e-x+1

9.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=　　　. 

10.设周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且满足f(1)>-2,f(2)=m-,则m的取值范围是　　　　　　　. 

11.已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2 017)=　　　　　. 

12.(2021新高考Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　　. 

①f(x1x2)=f(x1)f(x2);

②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;

③f'(x)是奇函数.

能力提升

13.已知奇函数f(x)是R上的增函数,g(x)=xf(x),若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c 

B.c<b<a

C.b<a<c 

D.b<c<a

14.(2021江苏连云港模拟改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)与f(x+1)都为奇函数,则下列说法错误的是(　　)

A.f(x-1)为奇函数

B.f(x)为周期函数

C.f(x+3)为奇函数

D.f(x+2)为偶函数

15.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则xf(x)≥0的解集为　　　　　. 

16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若<a<,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为　　　　　. 

17.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　　. 

高考预测

18.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,则f=(　　)

A. B. C. D.

答案：

1.C　解析∵f(-x)=-+x=-=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),

∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.

2.C　解析函数y=x2在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=2|x|在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=log2=-log2|x|是偶函数,且在区间(-∞,0)内是增函数;函数y=sinx不是偶函数.故选C.

3.C　解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).

∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x),

则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),

∴函数f(x)是周期为2的周期函数,则f=f=f.故选C.

4.B　解析令g(x)=f(x)+x,

由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.

又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.

5.C　解析因为f(x)为奇函数,f(x+2)=-f(x),则f=-f=f=f,

∵奇函数f(x)在区间[0,1]上为减函数,

∴f(x)在区间[-1,1]上为减函数,

又1>>->-1,

∴f<f<f,即f<f<f.

6.A　解析因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(lo)=f(-log2)=f=-f.

又f(x+2)=f(x),所以f=f=0.

所以f(lo)=0.

7.B　解析因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),

因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),

所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),

故函数f(x)是以4为周期的周期函数.

因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,且定义域为R,

所以F(0)=f(1)=0,

故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.

8.D　解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).

当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),

即f(x)=-e-x+1.故选D.

9.0　解析因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,

所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.

因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x+2)=f(-x),

所以f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.

因为f(1)=2,所以f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,

又f(2)=-f(0)=0,f(4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.

10.(-∞,-1)∪(0,3)　解析由题意f(1)>-2,f(x)是奇函数,故有f(-1)<2.

又周期函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的最小正周期为3,

故f(2)=f(-1)<2.∵f(2)=m-,∴m-<2.

当m>0时,解得0<m<3;当m<0时,解得m<-1.

所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(0,3).

11.2　解析因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.

又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),

所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,

所以f(-3)=0,f(3)=0,

所以f(x+6)=f(x),周期为6.

故f(2017)=f(1)=2.

12.f(x)=x4(答案不唯一)　解析取f(x)=x4,则f(x1x2)==f(x1)f(x2),满足①,

f'(x)=4x3,x>0时有f'(x)>0,满足②,

f'(x)=4x3的定义域为R,又f'(-x)=-4x3=-f'(x),

故f'(x)是奇函数,满足③.

13.C　解析由f(x)为奇函数,知g(x)=xf(x)为偶函数.

因为f(x)在R上单调递增,f(0)=0,

所以当x>0时,f(x)>0,

所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又a=g(-log25.1)=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),20.8<2=log24<log25.1<log28=3,所以b<a<c.故选C.

14.D　解析由题意知,f(-x-1)+f(x+1)=0且f(-x+1)+f(x+1)=0,

∴f(1-x)=f(-1-x),即f(x-1)=f(x+1),可得f(x)=f(x+2),

∴f(x)是周期为2的周期函数,且f(x-1),f(x+2)为奇函数,故A,B正确,D错误;

由上知,f(x+1)=f(x+3),所以f(x+3)为奇函数,C正确.

15.{x|x≥1或x=0或x≤-1}　解析因为f(x)为R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x-,则当x>0时,-x<0,

则f(-x)=2-x-=-f(x),所以f(x)=,

又f(0)=0,由xf(x)≥0,

可得或x=0或解得x≥1或x=0或x≤-1.

16.5　解析∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.

若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],此时f(-x)=-3x.

由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.

由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).

设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.

因为<a<,且当a=和a=时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.

17.-8　解析∵f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),

∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),

即f(x)=f(4-x)且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.

∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,在区间[2,6]上是减函数.

据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):

其图象也关于直线x=-6对称,

∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.

18.C　解析因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(-x)=f(x+2).

又f(x)=2-f(-x),所以f(x+2)+f(x)=2,f(x+4)+f(x+2)=2,

所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期T=4,

所以f=f168×4+=f.

因为当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,

所以f=f=f=f=2-f=2-=2-.