人教版八年级数学下册《平行四边形》解答题 期末专题复习(含答案)

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人教版八年级数学下册《平行四边形》解答题
期末专题复习
1.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.

(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小.






2.如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
(1)试说明：AB＝CF；
(2)连接DE，若AD＝2AB.试说明：DE⊥AF．










3.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连结BG，DE.
(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)求证：△BCG≌△DCE.







4.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF∥BC交BE的延长线于点F，连结CF.
求证：四边形ADCF是平行四边形．












5.在平行四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝DG，∠BFE＝∠DHG.

求证：(1)△BEF≌△DGH；
(2)四边形EFGH为平行四边形.







6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证：OE＝CD；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.










7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且AC＝2DE，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
(1)求证：OE＝CD；
(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．







8.如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB;
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.









9.如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.
(1)求证：△AEH≌△CGF；
(2)求证：四边形EFGH是菱形.







10.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作与DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、E，连接EC.
(1)求证：AD＝EC；
(2)当△ABC满足　 　时，四边形ADCE是菱形.










11.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．
(1)求证：四边形ABEF为菱形；
(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．







12.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积.










13.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.







14.在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE＝BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．







15.如图，已知▱ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O.
(1)求证：BE⊥CF；
(2)试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；
(3)当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？(直接写出答案)








16.已知：在正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.
求证：(1)△ADE≌△BAF；
(2)AF＝BF＋EF.








17.已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE＝AF.
求证：AF⊥DE.








18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF.
(1)求证：四边形BDCF是菱形；
(2)当Rt△ABC中的边或角满足什么条件时？四边形BDCF是正方形，请说明理由.










19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．






20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长.











21.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.
(1)求证：四边形CEFG是菱形；
(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.







22.如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：EO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论.
(3)在(2)问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求△ABC的面积.










23.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H.
(1)求证：四边形AFHG为正方形；
(2)若BD＝6，CD＝4，求AB的长.







24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
　　








25.(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.



















26.下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．(提示：取AB的中点G，连接EG．)

(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
(2)如图1，若点E是BC边上任意一点(不与B、C重合)，其他条件不变．求证：AE＝EF；

(3)在(2)的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设BE＝kBC,当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．






答案
1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠1＝∠ECB.
∵AF∥CE，
∴∠AFB＝∠ECB，
∴∠AFB＝∠1.
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
(2)解：由(1)得∠1＝∠ECB.
∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，
∴∠1＝∠DCE＝65°，
∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.
2.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(ASA)，
∴AB＝FC；
(2)∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，
∴AD＝DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∴DE⊥AF．
3.解：(1)∠ACB＝∠GCD.理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵CG∥AB，
∴∠ABC＝∠GCD，
∴∠ACB＝∠GCD.
(2)证明：∵四边形CDFE是平行四边形，
∴EF∥CD，
∴∠ACB＝∠GEC，∠EGC＝∠GCD.
∵∠ACB＝∠GCD，
∴∠GEC＝∠EGC，
∴EC＝GC.
∵∠GCD＝∠ACB，
∴∠GCB＝∠ECD.
∵BC＝DC，
∴△BCG≌△DCE.
4.证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EBD．
在△AEF和△DEB中
∵，
∴△AEF≌△DEB(AAS)．
∴AF＝BD．
∴AF＝DC．
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形．
5.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
在△BEF和△DGH中，
∵
∴△BEF≌△DGH(AAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠C.
由(1)得△BEF≌△DGH，
∴BF＝DH，EF＝GH.
又∵BE＝DG，
∴AH＝CF，AE＝CG.
在△AEH和△CGF中，
∵
∴△AEH≌△CGF(SAS)，
∴EH＝GF.
又∵EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
6. (1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形.
∴OE＝CD.
(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝4，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝2，
∴在△ACE中，AE＝2.
7.证明：(1)四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，AD＝CD，
∵DE∥AC且DE＝AC，
∴DE＝OA＝OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∴OE＝AD，
∴OE＝CD；
(2)解：∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2，
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．
∴在Rt△ACE中，AE＝．
8.证明：(1)证明：∵△ABC绕A点旋转得到△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，
∴∠EAC＝∠DAB.
又AB＝AC，
∴AE＝AD，
∴△AEC≌△ADB.
(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°，
又由旋转知AB＝AD，
∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴△BAD是等腰直角三角形.
∴BD2＝AB2＋AD2＝22＋22＝8，
∴BD＝2.
∵四边形ADFC是菱形，
∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，
∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2.
9.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C.
∴在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴EB＝DG，HD＝BF.
∴△BEF≌△DGH.
∴EF＝HG.
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF.
∴四边形HEFG为平行四边形.
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE.
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴四边形EFGH是菱形.
10.证明：(1)∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE＝BD
又∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，
∵AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD＝EC；
(2)∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形.
故答案为∠BAC＝90°.
11.证明：(1)由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形；
(2)解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，
在Rt△AOB中，AO＝4，
∴AE＝2AO＝8．
12.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AB∥CD.
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴BE＝AC.
∴BD＝BE.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC＝BO＝OD＝4，即BD＝8.
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°.
∴△ABO是等边三角形，即AB＝OB＝4，
于是AB＝DC＝CE＝4.
在Rt△DBC中，DC＝4，BD＝8，BC＝4.
∵AB∥DE，AD与BE不平行，
∴四边形ABED的面积＝(AB＋DE)·BC＝(4＋4＋4)·4＝24.
13.(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF＝CD，
∵AF＝BD，
∴CD＝BD；
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AFBD是矩形.
14.（1）证明：∵CE∥BF，
∴∠CED＝∠BFD，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDE中
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）；
（2）四边形BFCE是矩形，
证明：∵△BDF≌△CDE，
∴DE＝DF，
∵BD＝DC，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵BD＝CD，DE＝BC，
∴BD＝DC＝DE，
∴∠BEC＝90°，
∴平行四边形BFCE是矩形．
15.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC＋∠BCD＝180°
又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线
∴∠EBC＋∠FCB＝90°
∴∠BOC＝90°
故BE⊥CF
(2)解：AF＝DE理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE
∴∠AEB＝∠ABE
∴AB＝AE
同理CD＝DF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD
∴AE＝DF
∴AF＝DE
(3)当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形.
16.解：(1)由正方形的性质可知：AD＝AB，
∵∠BAF＋∠ABF＝∠BAF＋∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ADE与△BAF中，

∴△ADE≌△BAF(AAS)
(2)由(1)可知：BF＝AE，
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF
17.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，
在Rt△ADF与Rt△DCE中，
AF＝DE，AD＝CD，
∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL)
∴∠DAF＝∠EDC
设AF与ED交于点G，
∴∠DGF＝∠DAF＋∠ADE＝∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°
∴AF⊥DE.
18.证明：(1)∵CF∥AB
∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE
∴△CEF≌△DEA(AAS)
∴CF＝AD，
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD＝AD＝BD
∴CF＝BD，且CF∥AB
∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD
∴四边形BDCF是菱形
(2)当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，
理由如下：∵AC＝BC，CD是中线
∴CD⊥AB，且四边形BDCF是菱形
∴四边形BDCF是正方形.
19.(1)证明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°.
在等边△ABD中，∵∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠ABC＝60°，∴BC∥AD.
∵E为AB的中点，
∴CE＝AB，BE＝AB，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠EBC＝60°，
∴∠BEC＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠D＝60°，
∴FC∥BD，
∴四边形BCFD是平行四边形．
(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，
∴S平行四边形BCFD＝3×3＝9.
20.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO(AAS)，
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形.
(2)解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2＋AB2
即x2＝(8﹣x)2＋42，解得：x＝5，
所以MD长为5.
21.证明：(1)由题意可得，△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22＋(6﹣x)2＝x2，解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝.
22.证明：(1)∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴EO＝CO，
同理：FO＝CO，
∴EO＝FO；
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；
理由如下：由(1)得：EO＝FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO＝FO＝CO，
∴EO＝FO＝AO＝CO，
∴EF＝AC，
∴四边形CEAF是矩形；
(3)解：由(2)得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC＝90°，
∴AC＝＝5，
△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，
∵122＋52＝132，即AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴△ABC的面积＝AB•AC＝×12×5＝30.
23.证明：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°；
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°；
∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°；
∴四边形AFHG是正方形，
解：(2)∵四边形AFHG是正方形，
∴∠BHC＝90°，
又GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4；
设AD的长为x，
则BH＝GH﹣GB＝x﹣6，CH＝HF﹣CF＝x﹣4.
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，
∴(x﹣6)2＋(x﹣4)2＝102，解得x1＝12，x2＝﹣2(不合题意，舍去)，
∴AD＝12，
∴AB＝6.
24.解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴OE＝OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，
∴OF＝OM，
∵OM⊥AB，OF⊥AD，
∴AO是∠BAC的角平分线，
即点O在∠BAC的平分线上；
(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，
∴解得
∴OE＝CE＝CF＝2.
25. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.
(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.…
∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.…∴10=4+DG，即DG=6.
设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，
∵DE2=AD2+AE2，即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.
解这个方程，得：x=12或x=﹣2(舍去).…∴AB=12.
∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)•AB=0.5×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面积为108.…

26.解：(1)∵E是BC的中点，
∴BE＝CE．
∵点G是AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE．
故答案为：AG＝CE；
(2)取AG＝EC，连接EG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°．
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝90°＋45°＝135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°．
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE＝EF；
(3)当k＝时，四边形PECF是平行四边形．如图．

由(2)得，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG．
设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝(1﹣k)x．
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC＋∠ECF＝180°，PE＝(1﹣k)x．
∴PE//CF ，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴(1﹣k)x＝kx，
解得k＝．