2022-2023学年上海市敬业中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市敬业中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知某扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为______.

【答案】

【解析】根据扇形的弧长公式直接计算出扇形的弧长.

【详解】因为扇形的弧长，所以，

故答案为：.

2．已知为角α终边上一点，则=______．

【答案】/0.2

【分析】求出到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求得，的值，再求出即可.

【详解】为角α终边上一点，

，

则，，

.

故答案为：

3．若，则=__________.

【答案】2

【分析】将对数式化为指数式，由此求得.

【详解】由于，所以.

故答案为：

4．已知集合，，则________________.（结果用区间表示）

【答案】

【解析】先求出集合A，B，再根据交集的定义即可求出.

【详解】，，

.

故答案为：.

5．已知，则=______．

【答案】/0.6

【分析】由得到，再由求解.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：

6．函数的严格减区间为______．

【答案】/

【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.

【详解】函数的定义域为R，令，

函数在上单调递减，在上单调递增，

而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的严格减区间为.

故答案为：

7．化简：=______．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简作答.

【详解】.

故答案为：

8．若锐角满足则______.

【答案】

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解．

【详解】、为锐角，，

，，

，，

．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

9．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则=______．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用求出，再利用奇函数定义求出作答.

【详解】R上的奇函数，当时，，则，解得，

所以.

故答案为：

10．若及是关于x的方程的两个实根，则实数k的值为________

【答案】

【分析】根据韦达定理得到，结合列出关于的方程，由判别式即可求解.

【详解】因为及是关于x的方程的两个实根，

则，，

因为且，

所以，即，

解得：或，

因为方程有两个实根，

所以，解得：或，

所以，

故答案为：.

11．已知函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是______．

【答案】9

【分析】根据对数函数图象与性质求出点的坐标，再借助“1”的妙用求出最小值作答.

【详解】函数中，当，即时，恒有，因此点，

而点A在一次函数的图象上，则，又，，

于是，当且仅当，即时取等号，

所以当时，取得最小值9.

故答案为：9

12．函数的定义域为，其图象上任一点满足．命题：

①函数一定是偶函数；

②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；

③函数可以是奇函数；

④函数是偶函数，则值域是或；

⑤若函数值域是，则一定是奇函数．

其中正确命题的序号是_________．（填上所有正确的序号）

【答案】③⑤

【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案.

【详解】由于的定义域是，

则，，所以④错误.

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

所以的图象有如下四种情况：

（1）

（2）

（3）

（4）

根据图象可知③⑤正确，①②④

故答案为：

二、单选题

13．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

14．已知θ为第二象限角，若，则在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】由，得到，再对k赋值，根据判断.

【详解】解：因为θ为第二象限角，

所以，

则，

当时，，当时，，

因为，

所以，所以第三象限，

故选;C

15．若，且，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．钝角三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

又因为，所以，

即，所以，

故是等边三角形，

故选：D.

16．若奇函数在上为单调递减函数，又为锐角三角形两内角，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由“奇函数y＝f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f（x）在[0，1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β，转化为β＞0，两边再取正弦，可得1＞sinα＞sin（β）＝cosβ＞0，由函数的单调性可得结论．

【详解】∵奇函数y＝f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数

∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，

∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，

又α、β为锐角三角形的两内角，

∴α+β，

∴β＞0，

∴1＞sinα＞sin（β）＝cosβ＞0，

∴f（sinα）＜f（cosβ），

故选：C．

【点睛】本题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性，属中档题．

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)解不等式.

【答案】(1)；

(2).

【分析】根据对数函数的定义域建立不等式组，求解即可；

根据函数的单调性和定义域求解.

【详解】（1）依题意有解得，

∴的定义域为；

（2）∵，∴，

∴，解得，

又∵，∴.

不等式 的解集为.

18．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和．

(1)求，的值．

(2)求，的值．

【答案】(1)，；

(2)，.

【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出，再利用平方关系求解作答.

（2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.

【详解】（1）依题意，，而为锐角，

所以，.

（2）由（1）知，，，，

于是，，

所以，

.

19．设常数，函数.

(1)若函数是奇函数，求实数的值；

(2)当时，用定义证明在上是严格单调减函数.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据函数是奇函数，由求解；

（2）利用函数的单调性定义求解.

【详解】（1）解：由题意知：函数的定义域为，

是奇函数，，

即，

即，

整理可得：.

；

（2）任取，且，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以在上是严格单调减函数.

20．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米，（已有两面墙的可利用长度足够大），

(1)若，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；

(2)为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，△ABC的面积尽可能大.如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积.

【答案】(1)35.18米；

(2)，最大面积为.

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算作答.

（2）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解作答.

【详解】（1）在中，由正弦定理得：

，，

所以△ABC的周长为(米).

（2）在中，由余弦定理得：，

则，即，当且仅当时取“=”，

，

所以当，即是正三角形时，，面积取得最大值.

21．已知函数，.

(1)求函数的值域；

(2)求函数严格增区间；

(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；

（2）由（1）可知，，结合正弦函数的单调性，即可求解；

（3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值.

【详解】（1）.

因为，所以，

所以，所以的值域为；

（2）因为，又在上严格增，

所以当时，严格增，解得

所以函数的严格增区间为；

（3）因为，所以不等式等价于恒成立；即，

因为，

所以当时，有最大值；

所以实数的取值范围为.