2022-2023学年上海市行知中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市行知中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知角的终边经过则_______.

【答案】

【分析】由条件得出点到原点的距离，再利用任意角的三角函数的定义可得的值.

【详解】根据角的终边经过点，

所以，

所以，

故答案为：．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，需注意角终边上的点的坐标有字母时，求点到原点的距离时的符号，属于基础题．

2．已知向量，，则与共线，则实数_________．

【答案】

【分析】根据向量平行得到，解得答案.

【详解】向量，，与共线，则，解得.

故答案为：

3．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．

【答案】

【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解.

【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，

则．①

由扇形的面积公式，得．②

由①②得，，

∴．

∴扇形的圆心角为．

故答案为：

4．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数的值为__________.

【答案】

【解析】利用复数的除法运算化简复数z，由几何意义可得所对应的点的坐标，进一步可得答案.

【详解】由已知，，所以所对应的点为，

此点在实轴上，所以，解得.

故答案为：

【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的几何意义，是一道容易题.

5．若，则x的取值范围是_______．

【答案】

【分析】先求函数定义域，再根据函数的单调性求解.

【详解】解：该函数的定义域为：，，又在定义域上单调递减，故，解得：，

综上x的取值范围是.

故答案为：

6．已知为第三象限角，且，则_____________.

【答案】

【分析】利用诱导公式计算出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求出结果.

【详解】由诱导公式可得，

为第三象限角，则，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

7．已知函数，若，则__________．

【答案】

【分析】利用诱导公式先将中的化为,然后将中替换成，进而再利用诱导公式化简即得.

【详解】,

故答案为：.

8．设且，若，则______．

【答案】1

【分析】根据对数函数的运算性质，得到，再根据三角函数的基本关系，准确化简，即可求解，得到答案.

【详解】设且，若，

所以，所以，

又，所以，

又由，

则

所以

故答案为1．

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角函数的基本关系式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9．若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是__．

【答案】

【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.

【详解】函数在上为严格增函数，

可得，解得，故实数的取值范围为，

故答案为：

10．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，且，则的解析式为___________.

【答案】

【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求，根据周期公式求，再代入对称轴，求，最后再验证，确定函数的解析式.

【详解】

【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.

11．已知为单位向量,且,则在上的投影为_____

【答案】

【解析】由已知向量等式两边平方求得，进一步求出 ，的值，再根据投影的概念，即可求出结果．

【详解】由为单位向量,知,由且,得,

即   , ∴ ．

则．   ．

 ∴ 在上的投影为．

故答案为：．

【点睛】本题考查平面向量的数量积运算,考查了平面向量投影的概念,是中档题．

12．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_______．

【答案】4

【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和.

【详解】由于函数与函数 均关于点成中心对称，

结合图形两函数有如图所示的共4个交点，其中和都关于点对称.

其横坐标分别记作,则有 ，同理有，

所以所有交点的横坐标之和为4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数的图象和对称性之，属中档题，关键是熟练掌握分式函数和正弦型函数的图象的对称性.

二、单选题

13．在中，已知为上的一点，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；

【详解】因为，所以,

所以.

故选：C.

14．已知复数，则（    ）

A．的实部为 B．的虚部为

C．在复平面内对应的点在第三象限 D．

【答案】A

【分析】根据复数的实部为x,虚部为y,对应点,共轭复数为,进行判定.

【详解】复数的实部为2，虚部为，对应点坐标,是第四象限，共轭复数为，

故选：A.

15．若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且

【答案】C

【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.

【详解】将分数指数式化为根式，，

由定义域为，值域为知为奇数，为偶数，故排除A、D，

又由幂函数，当时，图像在第一象限的部分下凸，

当时，图像在第一象限的部分上凸.

故选：C

【点睛】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.

16．已知，，，，满足，，，有以下个结论：

①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；

②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.

下列说法正确的是（    ）

A．结论①、②都成立

B．结论①不成立、②成立

C．结论①成立、②不成立

D．结论①、②都不成立

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.

【详解】对于结论①，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；

对于结论②，

方法一：

∵

又∵

∴

化简得，

∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.

方法二：（特值法）

当时，，

∴，∴.

∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.

故选：B.

【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.

三、解答题

17．设为关于的方程的虚根，为虚数单位.

（1）当时，求的值；

（2）在（1）的条件下，若，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将代入方程，并根据复数相等时实部、虚部对应相等计算的值；

（2）根据复数模的计算公式：，的值已知，再根据不等式即可求解出的取值范围.

【详解】（1）将代入方程可得：，所以，

所以有：，解得；

（2）因为，所以，所以，则，

解得：，所以：.

【点睛】本题考查实系数方程的解以及复数的模长计算，难度较易.

（1）已知实系数方程的虚根，求解方程中参数的方法：将虚根代入方程，利用复数相等计算参数值；

（2）复数的模长计算：已知复数，则.

18．已知向量、满足：，，且．

（1）求与的夹角；

（2）若，求实数的值．

【答案】(1) (2)

【分析】（1）由展开，可解出，根据向量夹角公式，即可求出夹角的大小；

（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出的值．

【详解】（1）∵

∴

∵

∴．

（2）∵

∴，即

∴．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，属于基础题．

19．如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．

(1)求小岛与小岛之间的距离；

(2)记为，为，求的值．

【答案】(1)2

(2)

【分析】(1) 在中，利用余弦定理即可求解；

(2) 在中，先利用正弦定理求出，然后利用两角和的正弦公式即可求解.

【详解】（1）由题意可知：，，

因为角为钝角，，所以，

在中，由余弦定理得，，

所以，解得或（舍），

所以小岛与小岛之间的距离为2．

（2）在中，由正弦定理，因为，

所以，则，

因为，所以为锐角，所以，

因为，

，

所以

．

20．已知函数．

(1)将函数形式化简为的形式，写出其振幅、初相与最小正周期；

(2)求函数的最小值与此时所有的取值；

(3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，如果在区间上至少有100个最大值，那么求的取值范围．

【答案】(1)；振幅为2，初相，最小正周期.

(2)；

(3)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简后直接由定义求振幅、初相与最小正周期；

（2）直接令求最小值；

（3）先平移变换后，求出在轴左右两侧的第50个最大值点，列出不等式即可.

【详解】（1），振幅为2，初相，最小正周期.

（2）由，可得当时，取得最小值，此时.

（3）向右移动个单位得到，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到，，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，故，解得，所以.

21．对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.

(1)若是由“基函数和”生成的，求实数的值；

(2)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足为偶函数，且.

①求函数的解析式；

②已知，对于区间上的任意值，，若恒成立，求实数的最小值.（注：.）

【答案】(1)；

(2)①；②.

【分析】(1)根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解；

①设，根据函数为偶函数得出，再结合，即可求出的值，进而求出函数的解析式；

②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可.

【详解】（1）由已知，可得，

则，则，解得，

所以实数的值为.

（2）①设，

因为为偶函数，所以，

由，可得，

整理可得，即，所以，

所以对任意恒成立，所以，

所以，

又因为，所以，所以，

故函数的解析式为.

②由①知.

在内任取，且，

则，

因为

，，

所以，，所以，

所以，即，

所以，即，

所以函数在上是增函数，同理可证，函数在上是减函数.

设，

则，

所以

，

当且仅当或时，有最大值，

故的最小值为.

【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.