2022-2023学年上海市南汇中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市南汇中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．用弧度制表示与角终边相同的角的集合为________．

【答案】

【分析】根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解.

【详解】因为

所以与终边相同的角的集合是.

故答案为：

2．已知角的终边经过点，则=__________．

【答案】－

【详解】试题分析：由已知，，所以由余弦函数的定义得

3．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为______.

【答案】

【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.

【详解】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的弧长，

所以面积.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..

4．已知，则__________.

【答案】-3

【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.

【详解】∵，∴，

故答案为：-3.

5．已知，则___．

【答案】/－0.6

【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算．

【详解】因为，

所以．

故答案为：．

6．函数的最小正周期为________

【答案】

【详解】试题分析：因为，所以其最小正周期是

【解析】三角函数周期

7．函数的定义域为___．

【答案】

【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得．

【详解】由题意，，又，

所以，

故答案为：．

8．已知向量与的夹角为π，且，则与方向上的数量投影是___．

【答案】

【分析】根据数量投影的定义计算.

【详解】由题意与方向上的数量投影是.

故答案为：．

9．在△ABC中，，则△ABC的形状为___三角形．（填锐角、直角、钝角）

【答案】钝角

【分析】由正弦定理得边的关系，再由余弦定理确定最大角的大小，得三角形形状．

【详解】因为，由正弦定理得，因此最大，从而角最大，

设，则，

所以角为钝角，为钝角三角形，

故答案为：钝角．

10．如图，在中，，是线段的两个三等分点，，则_____．

【答案】

【分析】依题意可知即可得解.

【详解】据题设知，．

又．

所以

所以．

又与不共线，

所以

所以．

故答案为：

11．设V是已知平面M上素有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射满足：对所有及任意实数都有，则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，，则；

②若是平面M上的单位向量，对，设，则f是平面M上的线性变换；

③对，设，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，，则对任意实数k均有．

其中的真命题是______（写出所有真命题的编号）．

【答案】①③④

【分析】取，可判断①；取，可判断④；根据线性变换的定义验证即可判断②③.

【详解】取，可知①为真；

因为，所以，，当时，，所以②为假；

因为，所以，，所以，故③正确；

取，可知④为真.

故答案为：①③④

12．已知函数，若的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值是______．

【答案】13

【分析】根据的对称轴，以及其单调性，初步求得的取值范围，再对取值进行验证，即可求得结果.

【详解】由题意可得，，则，．

因为在上单调，所以，所以，即，解得，

则，即．

当时，在上不单调，所以，即不符合题意；

当，即时，在上单调，所以，即符合题意，故的最大值是13．

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数中的参数范围问题，解决问题的关键是充分挖掘函数对称性和单调性，属困难题.

二、单选题

13．已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数t等于（    ）

A．－ B．－1 C．0 D．－2

【答案】A

【分析】由平面向量共线定理求解．

【详解】向量与向量平行,则存在实数,使得,

即，又，是两个不平行的向量，

所以，解得，

故选：A．

14．为了得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】由三角函数的平移变换求解即可

【详解】解：函数的图像向左平移个单位得.

故选：B

15．为测量A，B两地之间的距离，甲同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量∠A，|AC|，|BC|；②测量∠A，∠B，|BC|；③测量∠C，|AC|，|BC|；④测量∠A，∠B，∠C．要求甲同学选择的方案能唯一确定A，B两地之间的距离，这样方案的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据正弦定理、余弦定理分析三角形解的个数．

【详解】选择方案①，由正弦定理得，，角可能有两解，从而不一定能唯一确定；

选择方案②，∠A，∠B确定后是确定的，由正弦定理可得是唯一的；

选择方案③，直接由余弦定理求解，是唯一的；

选择方案④，三角形只有三个角的大小，没法求得边长，不唯一，

因此可选择方案有②和③两个．

故选：B．

三、解答题

16．在△ABC中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点． 若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量的线性运算性质得是三角形的重心，由此可用表示出，由三点共线得出，再利用基本不等式求得最小值．

【详解】延长交于，

因为，所以是的重心，从而是中点，

又，

，

因为三点共线，

所以，即，

，当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值是，

故选：D．

17．已知，，

(1)若与的夹角为120°，求；

(2)若与垂直，求与的夹角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积去求的值；

（2）先求得与的夹角夹角的余弦值，再去求与的夹角.

【详解】（1）

（2）由与垂直，可得，则

则，又，则

即与的夹角为

18．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式：

（1）；（2）．

根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明．

【答案】，证明见详解.

【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可.

【详解】猜想

证明：由诱导公式可得，

所以

19．如图，某渔船在海上处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛可躲避恶劣天气，在小岛的正北方向有一航标灯距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达处，测得，海里.

（1）求处距离航标灯的距离；

（2）求的值.

【答案】（1）海里；（2）.

【分析】(1)利用余弦定理,即可求解.

（2）利用正弦定理，即可求解.

【详解】解析：（1）∵，，，

∴由余弦定理得，∴海里，

（2），由正弦定理得，

∴.

20．已知函数.

(1)把f（x）表示为的形式，并写出函数的振幅和初始相位；

(2)求函数的单调递增区间；

(3)记函数在上的值域为A，若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)振幅为，初始相位为；

(2)， Z；

(3)

【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式恒等变形即可求解；

（2）利用整体法求函数的单调递增区间；

（3）利用函数单调性求出的值域，再利用集合之间的关系求解即可.

【详解】（1）,

由此可知的振幅为，初始相位为；

（2）令，Z，

解得，Z，

则函数的单调递增区间为， Z；

（3）因为，所以，

因为函数在区间上单调递增，在上单调递减，

所以，，

所以的值域为，

又因为，所以，

解得，

即实数a的取值范围为.

21．定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为．

(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合；

(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；

(3)已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3)

【分析】（1）写出解析式，解方程即可；

（2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论；

（3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围．

【详解】（1）由题意，，，

，

又，所以或，即所求集合为；

（2）由题意，则，

时，，

时，，

作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，，

由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，

所以的范围是；

（3）由题意，其中，，

易知时，，

，

，同理，

，

，

时，函数是增函数，因此，

从而，即．

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，．