2022-2023学年上海市奉贤中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市奉贤中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知扇形的半径为10，圆心角为，则扇形的弧长为______．

【答案】20

【分析】根据弧长公式计算.

【详解】弧长；

故答案为：20.

2．已知向量，方向相反，且，，则在方向上的数量投影为______.

【答案】-4

【分析】根据给定条件，利用在方向上的数量投影的定义直接计算作答.

【详解】因向量，方向相反，且，，则，

所以，在方向上的数量投影是.

故答案为：

3．在平面直角坐标系xOy中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的圆交于点，则______．

【答案】/

【分析】利用诱导公式，结合三角函数定义求值作答.

【详解】依题意，，

所以.

故答案为：

4．函数，的增区间为______．

【答案】（开闭均可）

【分析】由，求得的范围，令，即可求得函数的单调增区间.

【详解】由，可得，

令，

解得，

即函数在的单调增区间为.

故答案为：.（开闭均可）

5．函数的最小正周期为______．

【答案】

【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求出周期作答.

【详解】函数，

所以所求最小正周期为.

故答案为：

6．已知向量，，若，则m＝______．

【答案】1

【分析】根据向量的坐标运算可得向量，，再利用模长公式整理即可计算出.

【详解】根据题意可知，,,

所以，

由可得，

整理可得，解得.

故答案为：1

7．函数在上的值域为______．

【答案】

【分析】根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答.

【详解】，则，于是，

所以所求值域为.

故答案为：

8．在中，若，，，则______．

【答案】或

【分析】根据正弦定理即可求解.

【详解】根据正弦定理可得：，解得

，且，或

故答案为：或

9．函数的部分图象如图所示，则______．

【答案】/

【分析】由图象可知，即可推出．进而根据图象可推得，即可得出，进而可得出答案.

【详解】由题图知，，则，解得．

设的最小正周期为T，易知，所以.

因为，所以，解得，

当且仅当时，符合题意，此时．

故答案为：.

10．在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________

【答案】

【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.

【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，

则，设，，

则，

当时，

故答案为：.

11．已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：

①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是__________.

【答案】①③

【分析】根据题目分析出图像的运动情况，画出简图，可以得到一个周期为6，可以判断①正确：根据运动情况完成一个周期，顶点的轨迹是两段曲线，不是半圆，可以判断②错误；利用弧长公式可以判断③正确；利用面积公式可以判断④错误.

【详解】如下图：

沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：

第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，

得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，

为半径的一段圆弧，

即顶点由原点沿运动至位置；

第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置，

得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，

为半行的一段圆弧，

即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期.

对于①，，

所以一个周期，故①正确：

对于②，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，

不是半圆，故②错误；

对于③，由已知，

的㧓长，

的弧长，

完成一个周期，顶点的轨迹长度为，

故③正确；

如图④，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形

，扇形与的面积和，

，

，

等边边长为，

完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是：

，

故④错误.

故答案为：①③.

12．已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是______．

【答案】/

【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值．

【详解】如图，

设，，

若对任意实数，都有，成立，

则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，

在上的射影最长为，

．

设，则，，

，

，

则当时，有最大值为．

故答案为：.

二、单选题

13．已知向量，，若与同向共线，则（    ）

A．3 B． C．或3 D．0或3

【答案】A

【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得.

【详解】因为向量，，

由，可得或，

当时，，，，满足题意，

当时，，，，不满足题意，

所以.

故选：A.

14．已知，其中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦两角差公式将展开，根据已知等式对应系数相等可得，从而得，再根据以及的取值情况，即可求得的值.

【详解】因为，

所以，则，即

又，所以或，由，可知，所以.

故选：C.

15．在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要

【答案】A

【分析】根据三角函数线，充分与必要条件概念即可求解.

【详解】因为为的内角，所以，

又，由单位圆中三角函数线，可得，

所以是钝角三角形，则充分性成立；

反过来，若是钝角三角形，则不一定是钝角，所以必要性不成立，

所以“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件，

故选：.

16．在直角坐标系中，如果不同的两点都在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作同一组），函数，关于原点的中心对称点的组数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由于图象关于原点对称后对应解析式是，因此只要研究函数和的图象的交点个数即可．

【详解】由于是奇函数，因此图象关于原点对称后对应解析式是，

由题意的中心对称点的组数就是函数与的图象交点个数（原点除外），作出它们的图象，如图，

，，而在是是增函数，

它们在上只有一个交点，

∴函数，关于原点的中心对称点的组数为1.

故选：B.

【点睛】本题考查新定义问题，考查创新意识，解题关键是把新定义中的中心对称点组数转化为函数图象交点个数，从而由数形结合思想可求解．

三、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)3；

(2)1.

【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用齐次式法求值作答.

（2）利用二倍角公式变形，再利用齐次式法求值作答.

【详解】（1）由，得，

所以.

（2）由（1）知，，

.

18．已知、是同一平面内的两个向量，其中，．

(1)求与的夹角；

(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用数量积求夹角；

（2）夹角为锐角即，并且不平行于 ，运用数量积求解.

【详解】（1） ；

（2）因为与得夹角为锐角，，并且与不平行，

其中， 解得，并且；

；

综上，，.

19．已知，，函数，．

(1)求函数的对称轴方程；

(2)将函数按照的方向平移后得到的函数是奇函数，求最小时的．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用坐标法计算数量积，求得得解析式后再对解析式作恒等变换；

（2）按照图像平移的规则求解.

【详解】（1）， ；

对称轴为 ，即 ；

（2）先将向下平移2个单位，得到，再将向左平移个单位得到奇函数 ，

，欲使得最小，则，即；

综上，得对称轴方程为 ，.

20．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，.

(1)求的长；

(2)设，写出与的函数关系式；

(3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？

【答案】(1)75m

(2)

(3)证明见解析，时，最大值为

【分析】(1)利用两角和的正切公式结合条件即得；

(2)利用两角和的正切公式即可求出结果；

(3)利用函数单调性定义即可进行证明；再结合基本不等式求出结果.

【详解】（1）设，

则，

由，

解得m；

（2）设，则，

所以.

（3）任取，且，

，

所以命题成立.

因为，所以，即为锐角，

令，则，

所以，

所以，

当且仅当时，即，

所以时，最大,最大值为.

21．已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．

(1)若，求函数的“平衡”数对；

(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；

(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)是

(3)

【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；

(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；

(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.

【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,,

即,即对于任意实数恒成立,

只有,,故函数的“平衡”数对为,

（2）若,则,

,

要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,

此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.

（3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有

则

均为函数的“平衡”数对，

，函数单调递增，

即的取范围为