2022-2023学年广西玉林市博白县博学中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年广西玉林市博白县博学中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知与是位似图形，位似比是：，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

5.  长城总长约为米，下列关于的精确程度说法正确的是(    )

A. 精确到十分位 B. 精确到个位 C. 精确到十万位 D. 以上说法都不对

6.  如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  九章算术中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又会差钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，的内接四边形，是的直径，过点的切线与的延长线交于点，，则下列命题为假命题的是(    )

A. 若，则
B. 若，则是等边三角形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若弦平分半径，则半径平分弦
 

12.  如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与轴交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，则以下结论：
无论取何值，恒小于；
可由向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到；
当时，随着的增大，的值先增大后减小；
四边形的面积为．
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若二次根式有意义，则的取值范围是________．

14.  因式分解：______．

15.  如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有排，其中第排共有个座位含左、右区域，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是______．

 

16.  如图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼底部处的俯角是，已知甲楼的高是，则乙楼的高是______结果保留根号
 

17.  甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离米与甲出发的时间秒之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是          米．
 

18.  如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，，则点的坐标为____．
 

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
化简：．

21.  本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．
画出向左平移个单位后的图形，并写出点的坐标．
画出绕顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标．
在的条件下，求到所经过的路径长．

22.  本小题分
如图，在▱中，平分且交于点，连接，，，．
求证：四边形是矩形；
连接交于点，求的面积．

23.  本小题分
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
补全条形统计图；
已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．

24.  本小题分
蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．
昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用元批发青菜和西兰花共市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？

今天因进价不变，老王仍用元批发青菜和西兰花共市斤．但在运输中青菜损坏了，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？精确到元
 

25.  本小题分
如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径及的长．

26.  本小题分
如图，抛物线：与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点，已知对称轴．
 

求抛物线的解析式；

将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内包括的边界，求的取值范围；

设点是抛物线上任一点，点在直线：上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，的绝对值等于．
故选：．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的化简的法则，单项式除以单项式的法则，幂的乘方法则，完全平方公式对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，单项式除以单项式，幂的乘方，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B.该图是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，位似比是：，
与相似比是：，
与的面积比是：．
故选：．
利用为位似的性质得到与相似比是：，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换：位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；位似比等于相似比．也考查了相似三角形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：，由于位于十万位上，所以精确到十万位．
故选：．
根据精确度的定义作答．
本题主要考查了精确度，一个近似数，最后一位是哪一位，就叫精确到哪一位．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得的度数，由邻补角关系求出度数，观察作图过程可得平分，利用角平分线定义而可得的度数．
【解答】
解：，，
，
，
观察作图过程可知：
平分，
，
的度数为，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了列表法与树状图法有关知识，概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有种路径，且获得食物的有种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
它有种路径，
获得食物的有种路径，
获得食物的概率是，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数，随的增大而减小，
该正比例函数图象经过第二、四象限，且．
二次函数的图象开口方向向下，且与轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有选项．
故选：．
根据正比例函数图象的性质确定，则二次函数的图象开口方向向下，且与轴交于负半轴．
本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知是解题的突破口．
 

9.【答案】 

【解析】解：延长到，连接，如图：

，，，
，
，
，
故选：．
延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案．
本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
 

10.【答案】 

【解析】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意，
可列方程组为．
故选：．
利用每人出钱，会多钱；每人出钱，又会差钱，分别列出等式即可获得答案．
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意正确列出等式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，
为等边三角形，
，
是的切线，
，
，，
，
，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、四边形是的内接四边形，，
，
，
为等边三角形，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、连接，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为菱形，本选项说法是真命题，不符合题意；
D、弦平分半径，但半径不一定平分弦，本选项说法是假命题，符合题意；
故选：．
根据切线的性质得到，根据同角的余角相等得到，得到，判断选项A；根据圆内接四边形的性质、等边三角形的判定定理判断选项B；根据等边三角形的性质、菱形的判定定理判断；根据垂径定理判断．
本题考查的是命题的真假判断，掌握切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、菱形的判定定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
无论取何值，总是负数；
故正确；
抛物线：与：交于点，
当时，，
即，
解得：；
，
可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
故正确；
，
随着的增大，的值减小；
故错误；
设与交于点，
当时，，
解得：或，
点，
当时，，
解得：或，
点，
，，
当时，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
四边形的面积．
故正确．
故选：．
由非负数的性质，即可证得，即可得无论取何值，总是负数；
由抛物线：与：交于点，可求得的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
由，可得随着的增大，的值减小；
首先求得点，，，的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．
此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
根据被开数即可求解．
【解答】
解：若二次根式有意义，
则，
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：
当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
 

15.【答案】个 

【解析】

【分析】
本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化性质规律．
根据题意可得前区最后一排座位数为：，所以前区座位数为：，后区的座位数为：，进而可得该礼堂的座位总数．
【解答】
解：因为前区一共有排，其中第排共有个座位含左、右区域，
往后每排增加两个座位，
所以前区最后一排座位数为：，
所以前区座位数为：，
以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，
所以后区的座位数为：，
所以该礼堂的座位总数是个．
故答案为：个．  

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
则，
又，
在中，
，
解得：，
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的图象，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．
根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程甲所走的路程即可得出答案．
【解答】
解：根据题意得，甲的速度为：米秒，
设乙的速度为米秒，则，
解得：米秒，
则乙的速度为米秒，
乙到终点时所用的时间为：秒，
此时甲走的路程是：米，
甲距终点的距离是米．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出、、的坐标进而得出点的规律是解题的关键．根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出、、的坐标，得出规律，进而求出点的坐标．
【解答】
解：如图，作轴于点，

设，则，
，．
点在双曲线上，
，
解得，或舍去，
，
点的坐标为；
作轴于点，设，则，
，．
点在双曲线上，
，
解得，或舍去，
，
点的坐标为；
同理可得点的坐标为即；
以此类推，
点的坐标为，
点的坐标为．
故答案为．  

19.【答案】解：原式

． 

【解析】先分别计算幂、三角函数值、二次根式，然后算加减法．
本题考查了实数的运算，熟练掌握三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
 

20.【答案】解：


． 

【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分解因式后约分即可．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是关键．
 

21.【答案】解：如图即为所求， ；

如图即为所求，；
由勾股定理得：，
到所经过的路径长为． 

【解析】利用平移的性质，找到点、、，依次连接即可；
根据旋转的性质，分别作出点、；
利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握平移、旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
 是以的直角三角形，
，
四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
的面积． 

【解析】根据平行四边形的性质和矩形的判定解答即可；
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
 

23.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：设批发青菜市斤，西兰花市斤；
根据题意得：，
解得：，
即批发青菜市斤，西兰花市斤，
元；
答：当天售完后老王一共能赚元钱；

设给青菜定售价为元市斤；
根据题意得：，
解得：；
答：给青菜定售价为不低于元市斤． 

【解析】设批发青菜市斤，西兰花市斤，根据题意列出方程组，解方程组求出青菜和西兰花的重量，即可得出老王一共能赚的钱；
设给青菜定售价为元；根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用；根据题意列出一元一次不等式、二元一次方程组是解决问题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，作，垂足为，连接，

，是的中点，
，
，
，
又，
，
即是的平分线，
点在上，与相切于点，
，且是的半径，
，是的半径，
是的切线；
解：如图，在中，，，，
可设，，
，
，
则，，
设的半径为，则，
∽，
，
即，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】作，垂足为，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得，再通过导角得出是的平分线，再利用角平分线的性质可得，从而证明结论；
根据，，可得，，设的半径为，则，利用∽，可得的值，再利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线的对称轴，，

抛物线过点
当时，．
又抛物线过点，


抛物线的解析式为：；
，，
直线解析式为，
，
顶点坐标为
对于直线：，当时，；将抛物线向下平移个单位长度，
当时，抛物线顶点落在上；
当时，抛物线顶点落在上，
将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内包括的边界，
则；
设，，
当点在轴上方时，过点作垂直于，交与点，过点作垂直于的延长线于点，如图所示：
，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
则，，
在和中，，
≌，
，
，根据点坐标可得，且，
，
解得：或，
或．
当点在轴下方时，过点作垂直于于点，过点作垂直于的延长线于点，
同理可得≌，
，
，，
则，
解得或．
或
综上可得，符合条件的点的坐标是，，和 

【解析】利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
先求出直线解析式为，再求出抛物线顶点坐标，得出当时，；结合抛物线顶点坐标即可得出结果；
设，，由勾股定理得出，，，过点作垂直于，交与点，过点作垂直于的延长线于点，由证明≌，得出，，则，，得出方程，解方程即可．
本题是二次函数综合题目，考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．