2022-2023学年广西钦州市浦北县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广西钦州市浦北县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件为必然事件的是( )
A. 打开电视机，正在播放新闻B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
C. 买一张电影票，座位号是奇数号D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
2.下列函数中，是反比例函数的是( )
A. y=x2B. y=−52xC. y=x2D. y=2x−1
3.一元二次方程2x2−x+3=0的二次项系数和常数项分别是( )
A. 2，−1B. 2，3C. −1，3D. −1，2
4.如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A. 点A与点A′是对称点
B. BO=B′O
C. AB=A′B′
D. ∠ACB=∠C′A′B′
5.如图，OA，OB是⊙O的半径，若∠AOB=50°，则∠ACB的度数是( )
A. 25°
B. 50°
C. 75°
D. 100°
6.如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时(若指针停在边界处，则重新转动转盘)，指针落在红色区域内的概率是
( )
A. 16B. 15C. 13D. 12
7.若m、n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，则m2+4m+n的值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 12
8.一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形，则矩形面积是( )
A. 43cm2B. 9cm2C. 274cm2D. 27cm2
9.已知二次函数y=2(x−3)2+1，可知正确的是( )
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线x=−3
C. 当x<3时，y随x的增大而增大D. 其最小值为1
10.如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD.若CD=8，OE=3，则BD的长为( )
A. 10
B. 2 3
C. 17
D. 2 5
11.已知k1<0A. B.
C. D.
12.如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，AB=2.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，同时点P从AB的中点处出发，在正方形的边上顺时针移动，每秒移动1个单位，则第2022秒时，点P的坐标为( )
A. ( 22, 22)
B. (− 22, 22)
C. (− 22,− 22)
D. ( 22,− 22)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.点P(0,1)关于原点的对称点P′的坐标是______ ．
14.若关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15.在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是______个．
16.已知点A(x1,y1)与点B(x2,y2)都在反比例函数y=2x的图象上，且0”或“=”或“<”)．
17.已知正三角形ABC的边心距为 3cm，则正三角形的边长为______ cm．
18.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降______米，水面宽8米．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解方程：x2+3x+2=0．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．
(2)求点B旋转到点B′的路径长(结果保留π)．
21.(本小题8分)
将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)若随机地抽取一张，则抽到数字恰好为1的概率是______ ；
(2)请你通过列表或画树状图分析：先随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上的数字，求组成的两位数能被4整除的概率．
22.(本小题8分)
果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
(1)如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；
(2)小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．
23.(本小题8分)
如图直线y=2x+b与双曲线y=kx(k为常数，k≠0)在第一象限内交于点A(1,4)，且与x轴、y轴分别交于B、C两点．
①求直线和双曲线的解析式；
②若点P在x轴上，且△BCP的面积等于4，求点P的坐标．
24.(本小题8分)
如图，已知抛物线经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在线段BC上(不与B，C重合)，过点M作MN/​/y轴交抛物线于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．
25.(本小题8分)
如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，CD与⊙O相切于点C．
(1)求证：∠A=∠CDE；
(2)若AB=4，BD=3，求CD的长．
26.(本小题8分)
问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为______；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】B
【解析】解：A、该函数属于正比例函数，故本选项错误；
B、该函数属于反比例函数，故本选项正确；
C、该函数属于二次函数，故本选项错误；
D、该函数是y与x−1成反比例函数关系，故本选项错误；
故选：B．
此题应根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)；
本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y=kx(k为常数，k≠0)或y=kx−1(k为常数，k≠0)．
3.【答案】B
【解析】解：一元二次方程2x2−x+3=0的二次项系数和常数项分别是2，3．
故选：B．
根据一元二次方程的一般形式找出二次项系数和常数项即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，且一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)．
4.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与点A′是对称点，BO=B′O，AB=A′B′，
∴A，B，C正确，
故选：D．
利用中心对称的性质一一判断即可．
本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠AOB和∠ACB都对AB，
∴∠ACB=12∠AOB=12×50°=25°．
故选：A．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6.【答案】C
【解析】解：指针落在红色区域内的概率是120360=13，
故选：C．
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．
7.【答案】C
【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，
∴m+n=−3，mn=−9，
∵m是x2+3x−9=0的一个根，
∴m2+3m−9=0，
∴m2+3m=9，
∴m2+4m+n=m2+3m+m+n=9+(m+n)=9−3=6．
故选：C．
由于m、n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2+3m−9=0，即m2+3m=9，那么m2+4m+n=m2+3m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1、x2之间的关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
8.【答案】C
【解析】解：设矩形的宽为x cm，长为3x cm，
由题意得：x+3=3x，
解得x=32，
∴矩形的宽为32cm，长为92cm，
∴这个矩形面积为32×92=274(cm2)．
故选：C．
设矩形的宽为x cm，长为3x cm，由题意得关于x的方程，解得x的值，再根据矩形的面积公式计算即可．
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程并熟练掌握相关运算法则与公式是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A、∵二次函数y=2(x−3)2+1中，a=2>0，∴其图象的开口向上，故本选项错误；
B、∵二次函数的解析式是y=2(x−3)2+1，∴其图象的对称轴是直线x=3，故本选项错误；
C、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x=3，∴当x<3时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵由函数解析式可知其顶点坐标为(3,1)，∴其最小值为1，故本选项正确．
故选：D．
根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：
连接OD，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD=8，
∴CE=DE=4，∠OED=∠DEB=90°，
∵OE=3，
∴OD= OE2+DE2= 32+42=5，
∴OB=OD=5，
∴BE=OB−OE=5−3=2，
由勾股定理，得BD= BE2+DE2= 22+42= 20=2 5，
故选：D．
连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD，求出BE，再根据勾股定理求出BD即可．
本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
11.【答案】A
【解析】【解答】
解：∵k1<0∴直线过二、三、四象限；双曲线位于一、三象限．
故选：A．
【分析】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
根据反比例函数的图象性质及一次函数的图象性质可作出判断．
12.【答案】C
【解析】解：根据题意可知：正方形旋转6次回到原位，P点经过8秒回到原位，
∵2022÷6=337，2022÷8=，
此时正方形回到原位，点P走6个单位，
所以点P位于第三象限，在BC的中点处，
∵BC=AB=2．
∴OB=OC= 2，
∴P(− 22,− 22).
故选：C．
根据题意可得正方形旋转6次回到原位，P点经过8秒回到原位，2022÷6=337，2022÷8=，此时正方形回到原位，点P走6个单位，所以点P位于第三象限，在BC的中点处，根据勾股定理和三角形中位线定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化−旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
13.【答案】(0,−1)
【解析】解：P(0,1)关于原点的对称点P′的坐标为(0,−1)，
故答案为：(0,−1)．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
14.【答案】m<1
【解析】解：根据题意得Δ=22−4m>0，
解得m<1．
故答案为m<1．
利用判别式的意义得到Δ=22−4m>0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
15.【答案】9
【解析】解：由题意可得，
30×0.3=9(个)，
即袋子中白球的个数最有可能是9个，
故答案为：9．
分析：
根据白球出现的频率和球的总数，可以计算出白球的个数．
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
16.【答案】>
【解析】解：∵反比例函数y=2x中k=2>0，
∴在同一个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(x1,y1)与点B(x2,y2)都在反比例函数y=2x的图象上，且0∴y1>y2，
故答案为：>．
由反比例函数y=2x可知，在同一个象限内，y随x的增大而减小即可得答案．
本题考查反比例函数的增减性，掌握k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小是解题的关键．
17.【答案】6
【解析】解：如图所示：连接BO，
由题意可得，OD⊥BC，OD= 3cm，∠OBD=30°，
故BO=2DO=2 3(cm)，
∴BD= OB2−OD2=3，
∴BC=2BD=2×3=6，
故答案为：6．
直接利用正三角形的性质得出BO=2DO=2 3cm，然后利用勾股定理求得BD，从而求得边长．
此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正三角形的性质是解题关键．
18.【答案】149
【解析】解：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，
由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为(0,2)，
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，
把A点坐标(−3,0)代入抛物线解析式得，
9a+2=0，
解得：a=−29，
所以抛物线解析式为y=−29x2+2，
当x=4时，y=−29×16+2=−149，
∴水面下降149米，
故答案为：149．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x=4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知，建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
19.【答案】解：分解因式得：(x+1)(x+2)=0，
可得x+1=0或x+2=0，
解得：x1=−1，x2=−2．
【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图；
各点坐标：A′(4,0),B′(3,3),C′(1,3)．
(2)由图可知：OB= 32+32=3 2，
∴BB′=π⋅OB=3 2π.
【解析】(1)根据关于原点对称的点的坐标，可得答案；
(2)根据弧长公式，可得答案．
本题考查了旋转变换，利用关于原点对称的点的坐标是解题关键，又利用了弧长公式．
21.【答案】(1)13；
(2)解：(解法一)画树状图得：

由树状图可得，所有等可能的结果有6种，其中组成的两位数能被4整除的有2种，
∴P(能被4整除的两位数)=26=13；
(解法二)列表法得：
由列表法可得，所有等可能的结果有6种，其中组成的两位数能被4整除的有2种，
∴P(能被4整除的两位数)=26=13．
【解析】解：(1)P(抽到数字恰好为1)=13，
故答案为：13；
(2)见答案．
【分析】
(1)利用一般列举法计算即可；
(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解(1)设田丰每次价格下调的百分率为x．
由题意，得15(1−x)2=9.6．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：田丰每次价格下调的百分率是20%．
(2)小李选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920(元)，
方案二所需费用为：9.6×3000−400×3=27600(元)．
∵25920<27600，
∴小李选择方案一购买更优惠．
【解析】(1)设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；
(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
23.【答案】解：(1)把A(1,4)代入双曲线y=kx(k为常数，k≠0)，可得k=1×4=4，
∴双曲线的解析式为y=4x；
把A(1,4)代入直线y=2x+b，可得b=2，
∴直线的解析式为y=2x+2；
(2)设P点的坐标为(x,0)，
在y=2x+2中，令y=0，则x=−1；令x=0，则y=2，
∴B(−1,0)，C(0,2)，
∴BO=1，CO=2，
∵△BCP的面积等于4，
∴12BP×CO=4，即12|x−(−1)|×2=4，
解得x=3或−5，
∴P点的坐标为(3,0)或(−5,0)．
【解析】(1)把A(1,4)代入双曲线以及直线y=x+b，分别可得k，b的值；
(2)先根据直线解析式得到BO=1，CO=2，再根据△BCP的面积等于4，即可得到P的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式．
24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,3)代入解析式得，a(0+1)(0−3)=3，
解得：a=−1．
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3．
(2)设线段BC的解析式为y=kx+b，
把点B(3,0)，C(0,3)代入得，3k+b=0b=3，
解得：k=−1b=3，
∴线段BC的解析式为：y=−x+3，
∵点M的横坐标为m，MN/​/y轴，
∴M(m,−m+3)，N(m,−m2+2m+3)，
∴MN=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m(0【解析】(1)根据题意，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，将点C代入求解即可；
(2)求出直线BC的解析式，求出M、N的坐标，即可求解．
此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式；解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．
25.【答案】(1)证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
∵DE⊥AE，
∴∠E=90°，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠EDC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO，
∴∠A=∠CDE．
(2)解：∵AB=4，BD=3，
∴OC=OB=12AB=2，
∴OD=2+3=5，
∴CD= OD2−OC2= 52−22= 21．
【解析】(1)连接OC，根据三角形的内角和得到∠EDC+∠ECD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，得到∠OCD=90°，于是得到结论；
(2)根据已知条件得到OC=OB=12AB=2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等．
26.【答案】BC=DC+EC
【解析】解：问题：BC=DC+EC，
理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
故答案为：BC=DC+EC；
探索：BD2+CD2=2AD2，
理由如下：连接CE，
由(1)得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠DCE=90°，
∴CE2+CD2=ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，
又∵AD=AE，
∴BD2+CD2=2AD2．
问题：证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
探索：连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
第1次
第2次
1
2
3
1
21
31
2
12
32
3
13
23