2022-2023学年广西北海市合浦县九年级(下)期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年广西北海市合浦县九年级(下)期中数学试卷(含解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.−2023的相反数是( )
A. −12023B. −2023C. 12023D. 2023
2.如图是由6个相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.单项式−7a3b4的系数分别是( )
A. −7,7B. 7,7C. −7,8D. 7,8
4.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么由这两个不等式组成的不等式组的解集为( )
A. x>1B. x≥−1C. −3−3
5.下面计算正确的是( )
A. 2a2+3a2=5a4B. (a2)3=a5
C. x2⋅x2=2x2D. −0.25xy+14yx=0
6.全民反诈,刻不容缓!陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛,五位评委给出的分数分别为90,80,86,90,94,则这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 80,90B. 90,90C. 86,90D. 90,94
7.已知双曲线y=kx经过点(−3,1),则k的值等于( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
8.关于二次函数y=2(x−4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是( )
A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6
9.某超市过节促销,全场打八折,一种书包标价80元,打折出售后获利15元,设这种书包的成本为x元,则可列方程是( )
A. 80×0.08−15=xB. 80×0.8−x=15
C. 80×8−x=15D. 80−15=x
10.如图,在平面直角坐标中,已知A(1,0),D(3,0),△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心.若AB=1.5,则DE长为( )
A. 4.5B. 6C. 7.5D. 9
11.如图,数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度,信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB,测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米,若从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为α,则信号塔CD的高为( )
A. (15+25sinα)米
B. (15+25⋅sinα)米
C. (15+25tanα)米
D. (15+25⋅tanα)米
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c与反比例函数y=ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本题共6小题,每小题2分,共12分。
13.计算: 32− 8= ______.
14.因式分解:3a2−27= .
15.一个不透明的袋子中装有9个小球,其中6个红球,3个绿球,这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率是 .
16.如图,正方形ABCD的边长为6.则图中阴影部分的面积为______.
17.如图是一把折扇,它完全打开时是一个扇形,张角∠AOB=120°,若OA=20cm,则此时扇形的弧长为______cm(结果保留π).
18.如图所示,A(0,4),点P是x轴上一个动点,将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF,连接OF.则线段OF的最小值是______.
三、解答题:本题共8小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算: 4+(−1)2023+|− 2|.
20.(本小题6分)
用公式法解方程:x2−x−7=0.
21.(本小题10分)
如图,一次函数y=43x+b的图象与y轴交于点B(0,2),与反比例函数y=kx(x−3;
根据数轴上线的条数有2条的部分是x≥−1.
∴这两个不等式组成的不等式组的解集是x≥−1.
故选:B.
5.【答案】D
【解析】解:A、2a2+3a2=5a2,故A不符合题意;
B、(a2)3=a6,故B不符合题意;
C、x2⋅x2=x4,故C不符合题意;
D、−0.25xy+14yx=0,故D符合题意;
故选:D.
利用合并同类项的法则,同底数幂的乘法的法则,幂的乘方的法则对各项进行运算即可.
本题主要考查合并同类项,幂的乘方,同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
6.【答案】B
【解析】解:将数据重新排列为80,86,90,90,94,
所以这组数据的中位数是90,众数为90,
故选:B.
先将数据重新排列,再根据中位数和众数的定义求解可得.
本题主要考查众数和中位数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
7.【答案】D
【解析】解:∵双曲线y=kx经过点(−3,1),
∴k=−3×1=−3;
故选:D.
把点(−3,1)代入函数解析式求解即可.
本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式,属于基础题型,掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的最值.
根据题目中的函数解析式得到该函数有最小值,最小值为6,然后即可判断哪个选项是正确的.
【解答】
解:∵二次函数y=2(x−4)2+6,2>0,
∴该函数图象开口向上,有最小值,当x=4时,y取得最小值6.
9.【答案】B
【解析】解:根据题意得:80×0.8−x=15.
故选:B.
利用利润=售价−进价,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
10.【答案】A
【解析】解:∵A(1,0),D(3,0),
∴OA=1,OD=3
∵△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心,
∴ABDE=OAOD=13,
∵AB=1.5,
∴DE=4.5,
故选:A.
由A(1,0),D(3,0)得出OA=1,OD=3,由位似图形的性质可得ABDE=OAOD=13,即可求出DE长.
本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质,根据题意得出ABDE=OAOD=13是解此题的关键.
11.【答案】D
【解析】解:过点A作AE⊥CD,垂足为E,
则AB=DE=15米,AE=BD=25米,
设CD=x米,
∴CE=CD−DE=(x−15)米,
在Rt△ACE中,∠CAE=α,
∴tanα=CEAE=x−1525,
∴x=15+25⋅tanα,即CD=(15+25⋅tanα)米,
故选:D.
过点A作AE⊥CD,垂足为E,AB=DE=15米,AE=BD=25米,从而求出CE=(x−15)米,然后在Rt△ACE中,利用锐角三角函数的定义,进行计算即可解答.
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
12.【答案】D
【解析】解:∵二次函数的图象开口向下,
∴反比例函数y=ax的图象必在二、四象限,故A、C错误;
∵二次函数的图象经过原点,
∴c=0,
∵对称轴在y轴左侧,
∴a、b符号相同,
∴b0.06x+7500,
解得x>5000,
答:当每年行驶里程大于5000km时,买新能源车的年费用更低.
【解析】(1)根据表中的信息,可以计算出新能源车的每千米行驶费用;
(2)①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息,可以列出相应的分式方程,然后求解即可,注意分式方程要检验;
②根据题意,可以列出相应的不等式,然后求解即可.
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程和不等式.
25.【答案】
(1)证明:如图,连接OF,
∵PF=PG,
∴∠PFG=∠PGF,
∵∠BGE=∠PGF,
∴∠PFG=∠BGE,
∵OF=OB,
∴∠OFB=∠OBF,
∵CD⊥AB,
∴∠BGE+∠OBF=90°,
∴∠PFG+∠OFB=90°,
∵OF是⊙O半径,
∴PF为⊙O切线;
(2)解:如图,连接AF,过点P作PM⊥FG,垂足为M,
∵AB是⊙O直径,
∴∠AFB=90°,
∴AB2=AF2+BF2,
∵OB=10,
∴AB=20,
∵BF=16,
∴AF=12,
在Rt△ABF中,tanB=34,csB=45,
在Rt△BEG中,GE8=34,8GB=45,
∴GE=6,GB=10,
∵BF=16,
∴FG=6,
∵PM⊥FG,PF=PG,
∴MG=12FG=3,
∵∠BGE=∠PFM,∠PMF=∠BEG=90°,
∴△PFM∽△BGE,
∴FMGE=PFGB,即36=PF10,
解得:PF=5,
∴PF的长为5.
【解析】(1)连接OF,由CD⊥AB,PF=PG,OF=OB得到∠PFG+∠OFB=90°,即可证明;
(2)连接AF,过点P作PM⊥FG,垂足为M,由OB=10,BF=16,求得AF的长度,继而利用三角函数求得tanB=34,csB=45,求出GE,GB,再利用△PFM∽△BGE,即可求出PF的长.
本题考查了切线的判定方法,利用等角之间的转化,能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键,能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键.
26.【答案】解:(1)根据表格可得出A(−1,0),B(3,0),C(0,3),
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3),
将C(0,3)代入,得:3=a(0+1)(0−3),
解得:a=−1,
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3=−(x−1)2+4,
∴该抛物线解析式为y=−x2+2x+3,顶点坐标为M(1,4);
(2)如图1,将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2),连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′,
过点C作CP′//BC′,交对称轴于点P′,连接AQ′,
∵A、B关于直线x=1对称,
∴AQ′=BQ′,
∵CP′//BC′,P′Q′//CC′,
∴四边形CC′Q′P′是平行四边形,
∴CP′=C′Q′,Q′P′=CC′=1,
在Rt△BOC′中,BC′= OC′2+OB2= 22+32= 13,
∴AQ′+Q′P′+P′C=BQ′+C′Q′+Q′P′=BC′+Q′P′= 13+1,
此时,C′、Q′、B三点共线,BQ′+C′Q′的值最小,
∴AQ+QP+PC的最小值为 13+1;
(3)线段EF的长为定值1.
如图2,连接BE,
设D(t,−t2+2t+3),且t>3,
∵EF⊥x轴,
∴DF=−(−t2+2t+3)=t2−2t−3,
∵F(t,0),
∴BF=OF−OB=t−3,AF=t−(−1)=t+1,
∵四边形ABED是圆内接四边形,
∴∠DAF+∠BED=180°,
∵∠BEF+∠BED=180°,
∴∠DAF=∠BEF,
∵∠AFD=∠EFB=90°,
∴△AFD∽△EFB,
∴EFBF=AFDF,
∴EFt−3=t+1t2−2t−3,
∴EF=(t+1)(t−3)t2−2t−3=t2−2t−3t2−2t−3=1,
∴线段EF的长为定值1.
【解析】(1)运用待定系数法即可求出抛物线解析式,再运用配方法求出顶点坐标;
(2)如图1,将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0,2),连接BC′交抛物线对称轴x=1于点Q′,过点C作CP′//BC′,交对称轴于点P′,连接AQ′,此时,C′、Q′、B三点共线,BQ′+C′Q′的值最小,运用勾股定理即可求出答案;
(3)如图2,连接BE,设D(t,−t2+2t+3),且t>3,可得DF=t2−2t−3,BF=t−3,AF=t+1,运用圆内接四边形的性质可得∠DAF=∠BEF,进而证明△AFD∽△EFB,利用EFBF=AFDF,即可求得答案.
本题是二次函数与圆的综合题,主要考查了待定系数法求抛物线解析式,配方法,轴对称的应用,平行四边形的判定与性质,勾股定理,圆内接四边形性质,相似三角形的判定和性质等,属于中考数学压轴题,综合性强,难度大;第(2)小题难度不小,解决该问时,利用轴对称加平移找出AQ+QP+PC最小时点P、Q的位置是解题关键.第(3)小题运用圆内接四边形性质得出△AFD∽△EFB是解题关键.组别
成绩范围
频数
A
60~70
2
B
70~80
m
C
80~90
9
D
90~100
n
燃油车
油箱容积:40升
油价:9元/升
续航里程:a千米
每千米行驶费用:40×9a元
新能源车
电池电量:60千瓦时
电价:0.6元/千瓦时
续航里程:a千米
每千米行驶费用:_____元
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
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