_2018年四川省广元市中考数学真题及答案
展开
这是一份_2018年四川省广元市中考数学真题及答案,共26页。
2018年四川省广元市中考数学真题及答案
一、选择题(每小题3分,共30分)每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题意的.
1.﹣3的绝对值是( )
A.±3 B.﹣3 C.3 D.
2.下列运算中正确的是( )
A.(a2)3=a5 B.(2x+1)(2x﹣1)=2x2﹣1
C.a8a2=a4 D.(a﹣3)2=a2﹣6a+9
3.已知关于x的一元一次方程2(x﹣1)+3a=3的解为4,则a的值是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.﹣3
4.某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3,3,0,4,5.关于这组数据,下列说法错误的是( )
A.众数是3 B.中位数是0 C.平均数3 D.方差是2.8
5.如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图,图上的数字表示该位置上方小正方体的个数,这个立体图形的左视图是( )
A. B.
C. D.
6.一元一次不等式组的最大整数解是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
7.如图,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,点P是的一点,则∠CPD的度数是( )
A.30° B.36° C.45° D.72°
8.小明和小华是同班同学,也是邻居,某日早晨,小明7:40先出发去学校,走了一段后,在途中停下吃了早餐,后来发现上学时间快到了,就跑步到学校;小华离家后直接乘公交汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图.则下列说法中错误的是( )
A.小明吃早餐用时5分钟
B.小华到学校的平均速度是240米/分
C.小明跑步的平均速度是100米/分
D.小华到学校的时间是7:55
9.如图为一次函数y=ax﹣2a与反比例函数y=﹣(a≠0)在同一坐标系中的大致图象,其中较准确的是( )
A. B.
C. D.
10.若用“*”表示一种运算规则,我们规定:a*b=ab﹣a+b,如:3*2=3×2﹣3+2=5.以下说法中错误的是( )
A.不等式(﹣2)*(3﹣x)<2的解集是x<3
B.函数y=(x+2)*x的图象与x轴有两个交点
C.在实数范围内,无论a取何值,代数式a*(a+1)的值总为正数
D.方程(x﹣2)*3=5的解是x=5
二、填空题(每小题3分,共15分)把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上.
11.某物体质量为325000克,用科学记数法表示为 克.
12.一个多边形的每一个外角都是18°,这个多边形的边数为 .
13.如图,∠A=22°,∠E=30°,AC∥EF,则∠1的度数为 .
14.如图是一块测环形玉片的残片,作外圆的弦AB与内圆相切于点C,量得AB=8cm、点C与的中点D的距离CD=2cm.则此圆环形士片的外圆半径为 cm.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点A为原点建立平面直角坐标系,使AB在x轴正半轴上,点D是AC边上的一个动点,DE∥AB交BC于E,DF⊥AB于F,EG⊥AB于G.以下结论:
①△AFD∽△DCE∽△EGB;
②当D为AC的中点时,△AFD≌△DCE;
③点C的坐标为(3.2,2.4);
④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面,点B的对应点B1的坐标为(1.6,4.8);
⑤矩形DEGF的最大面积为3.在这此结论中正确的有 (只填序号)
三、解答题(共75分)要求写出必安的解答步骤或证明过程.
16.(6分)计算: +(sin75°﹣2018)0﹣(﹣)﹣2﹣4cos30°.
17.(7分)先化简,再求值:÷(﹣),其中a=+2.
18.(7分)如图,在菱形ABCD中,过B作BE⊥AD于E,过B作BF⊥CD于F.
求证:AE=CF.
19.(8分)为了提高学生的身体素质,某班级决定开展球类活动,要求每个学生必须在篮球、足球、排球、兵乓球、羽毛球中选择一项参加训练(只选择一项),根据学生的报名情况制成如下统计表:
项目
篮球
足球
排球
乒乓球
羽毛球
报名人数
12
8
4
a
10
占总人数的百分比
24%
b
(1)该班学生的总人数为 人;
(2)由表中的数据可知:a= ,b= ;
(3)报名参加排球训练的四个人为两男(分别记为A、B)两女(分别记为C、D),现要随机在这4人中选2人参加学校组织的校级训练,请用列表或树状图的方法求出刚好选中一男一女的概率.
20.(8分)某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售.已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元,购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元
(1)求购进甲、乙两种报纸的单价;
(2)已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元.销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份,若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元,问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份?
21.(8分)如图,雨后初睛,李老师在公园散步,看见积水水面上出现梯步上方树的倒影,于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度,他的方法是:测得树顶的仰角∠1、测量点A到水面平台的垂直高度AB、看到倒影顶端的视线与水面交点C到AB的水半距离BC.再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF,根据以下数据进行计算,
如图,AB=2米,BC=1米,EF=4米,∠l=60°,∠2=45°.已知线段ON和线段OD关于直线OB对称.(以下结果保留根号)
(1)求梯步的高度MO;
(2)求树高MN.
22.(9分)如图,矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内,BC与x轴平行,AB=1,点C的坐标为(6,2),E是AD的中点;反比例函数y1=(x>0)图象经过点C和点E,过点B的直线y2=ax+b与反比例函数图象交于点F,点F的纵坐标为4.
(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标;
(2)求直线BF的解析式;
(3)直接写出y1>y2时,自变量x的取值范围.
23.(10分)如图1,D是⊙O的直径BC上的一点,过D作DE⊥BC交⊙O于E、N,F是⊙O上的一点,过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P,连结CF交PD于M,∠C=P.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,DM=1,求PM的长;
(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF、BM;在线段DN上有一点H,并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似,求DH的长度.
24.(12分)已知抛物线的顶点为(2,﹣4)并经过点(﹣2,4),点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为﹣,抛物线交y轴于点N.如图1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的一点,△ANP为等腰三角形,求点P的坐标;
(3)如图2,点B为直线y=﹣2上的一个动点,过点B的直线l与AB垂直
①求证:直线l与抛物线总有两个交点;
②设直线1与抛物线交于点C、D(点C在左侧),分别过点C、D作直线y=﹣2的垂线,垂足分别为E、F.求EF的长.
2018年四川省广元市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题意的.
1.﹣3的绝对值是( )
A.±3 B.﹣3 C.3 D.
【分析】根据绝对值的定义回答即可.
【解答】解:﹣3的绝对值是3.
故选:C.
【点评】本题主要考查了绝对值得定义,一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0是解答此题的关键.
2.下列运算中正确的是( )
A.(a2)3=a5 B.(2x+1)(2x﹣1)=2x2﹣1
C.a8a2=a4 D.(a﹣3)2=a2﹣6a+9
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式分别求出每个式子的值,再判断即可.
【解答】解:A、结果是a6,故本选项不符合题意;
B、结果是4x2﹣1,故本选项不符合题意;
C、结果是a10,故本选项不符合题意;
D、结果是a2﹣6a+9,故本选项符合题意;
故选:D.
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式等知识点,能正确求出每个式子的值是解此题的关键.
3.已知关于x的一元一次方程2(x﹣1)+3a=3的解为4,则a的值是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.﹣3
【分析】将x=4代入方程中即可求出a的值.
【解答】解:将x=4代入2(x﹣1)+3a=3,
∴2×3+3a=3,
∴a=﹣1,
故选:A.
【点评】本题考查一元一次方程的解,解题的关键是熟练运用一元一次方程的解的定义,本题属于基础题型.
4.某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3,3,0,4,5.关于这组数据,下列说法错误的是( )
A.众数是3 B.中位数是0 C.平均数3 D.方差是2.8
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法,逐一判断即可.
【解答】解:将数据重新排列为0,3,3,4,5,
则这组数的众数为3,中位数为3,平均数为=3,方差为×[(0﹣3)2+2×(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]=2.8,
故选:B.
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差,解题的关键是牢记概念及公式.
5.如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图,图上的数字表示该位置上方小正方体的个数,这个立体图形的左视图是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【解答】解:根据该几何体中小正方体的分布知,其左视图共2列,第1列有1个正方形,第2列有3个正方形,
故选:B.
【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图.
6.一元一次不等式组的最大整数解是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【分析】求出不等式组的解集,即可求出正最大整数解;
【解答】解:,
由①得到:2x+6﹣4≥0,
∴x≥﹣1,
由②得到:x+1>3x﹣3,
∴x<2,
∴﹣1≤x<2,
∴最大整数解是1,
故选:C.
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解,解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法,属于中考常考题型.
7.如图,⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,点P是的一点,则∠CPD的度数是( )
A.30° B.36° C.45° D.72°
【分析】连接OC,OD.求出∠COD的度数,再根据圆周角定理即可解决问题;
【解答】解:如图,连接OC,OD.
∵ABCDE是正五边形,
∴∠COD==72°,
∴∠CPD=∠COD=36°,
故选:B.
【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
8.小明和小华是同班同学,也是邻居,某日早晨,小明7:40先出发去学校,走了一段后,在途中停下吃了早餐,后来发现上学时间快到了,就跑步到学校;小华离家后直接乘公交汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图.则下列说法中错误的是( )
A.小明吃早餐用时5分钟
B.小华到学校的平均速度是240米/分
C.小明跑步的平均速度是100米/分
D.小华到学校的时间是7:55
【分析】根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得.
【解答】解:A、小明吃早餐用时13﹣8=5分钟,此选项正确;
B、小华到学校的平均速度是1200÷(13﹣8)=240(米/分),此选项正确;
C、小明跑步的平均速度是(1200﹣500)÷(20﹣13)=100(米/分),此选项正确;
D、小华到学校的时间是7:53,此选项错误;
故选:D.
【点评】本题考查了函数图象,读懂函数图象,从图象中获取必要的信息是解决本题的关键.
9.如图为一次函数y=ax﹣2a与反比例函数y=﹣(a≠0)在同一坐标系中的大致图象,其中较准确的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据题意列出方程组,根据一元二次方程解的情况判断..
【解答】解:ax﹣2a=﹣,
则x﹣2=﹣,
整理得,x2﹣2x+1=0,
△=0,
∴一次函数y=ax﹣2a与反比例函数y=﹣只有一个公共点,
故选:B.
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的图象和性质,函数图象的交点的求法是解题的关键.
10.若用“*”表示一种运算规则,我们规定:a*b=ab﹣a+b,如:3*2=3×2﹣3+2=5.以下说法中错误的是( )
A.不等式(﹣2)*(3﹣x)<2的解集是x<3
B.函数y=(x+2)*x的图象与x轴有两个交点
C.在实数范围内,无论a取何值,代数式a*(a+1)的值总为正数
D.方程(x﹣2)*3=5的解是x=5
【分析】根据题目中的新规定和二次函数的性质、不等式的性质,可以判断各个选项中的结论是否正确,本题得以解决.
【解答】解:∵a*b=ab﹣a+b,
∴(﹣2)*(3﹣x)=(﹣2)×(3﹣x)﹣(﹣2)+(3﹣x)=x﹣1,
∵(﹣2)*(3﹣x)<2,
∴x﹣1<2,解得x<3,故选项A正确;
∵y=(x+2)*x=(x+2)x﹣(x+2)+x=x2+2x﹣2,
∴当y=0时,x2+2x﹣2=0,解得,x1=﹣1+,x2=﹣1﹣,故选项B正确;
∵a*(a+1)=a(a+1)﹣a+(a+1)=a2+a+1=(a+)2+>0,
∴在实数范围内,无论a取何值,代数式a*(a+1)的值总为正数,故选项C正确;
∵(x﹣2)*3=5,
∴(x﹣2)×3﹣(x﹣2)+3=5,
解得,x=3,故选项D错误;
故选:D.
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、非负数的性质、解一元一次方程、解一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,可以判断各个选项中的说法是否正确.
二、填空题(每小题3分,共15分)把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上.
11.某物体质量为325000克,用科学记数法表示为 3.25×105 克.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:某物体质量为325000克,用科学记数法表示为3.25×105克.
故答案为:3.25×105.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
12.一个多边形的每一个外角都是18°,这个多边形的边数为 二十 .
【分析】根据多边形的外角和为360°,求出多边形的边数即可.
【解答】解:设正多边形的边数为n,
由题意得,n×18°=360°,
解得:n=20.
故答案为:二十.
【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.
13.如图,∠A=22°,∠E=30°,AC∥EF,则∠1的度数为 52° .
【分析】依据∠E=30°,AC∥EF,即可得到∠AGH=∠E=30°,再根据∠1是△AGH的外角,即可得出∠1=∠A+∠AGH=52°.
【解答】解:如图,∵∠E=30°,AC∥EF,
∴∠AGH=∠E=30°,
又∵∠1是△AGH的外角,
∴∠1=∠A+∠AGH=22°+30°=52°,
故答案为:52°.
【点评】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
14.如图是一块测环形玉片的残片,作外圆的弦AB与内圆相切于点C,量得AB=8cm、点C与的中点D的距离CD=2cm.则此圆环形士片的外圆半径为 5 cm.
【分析】根据垂径定理求得AC=4cm,然后根据勾股定理即可求得半径.
【解答】解:如图,连接OA,
∵CD=2cm,AB=8cm,
∵CD⊥AB,
∴OD⊥AB,
∴AC=AB=4cm,
∴设半径为r,则OD=r﹣2,
根据题意得:r2=(r﹣2)2+42,
解得:r=5.
∴这个玉片的外圆半径长为5cm.
故答案为:5.
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形是本题的关键.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点A为原点建立平面直角坐标系,使AB在x轴正半轴上,点D是AC边上的一个动点,DE∥AB交BC于E,DF⊥AB于F,EG⊥AB于G.以下结论:
①△AFD∽△DCE∽△EGB;
②当D为AC的中点时,△AFD≌△DCE;
③点C的坐标为(3.2,2.4);
④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面,点B的对应点B1的坐标为(1.6,4.8);
⑤矩形DEGF的最大面积为3.在这此结论中正确的有 ①③⑤ (只填序号)
【分析】①正确,根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断;
②错误.根据斜边不相等即可判断;
③正确.求出点C坐标即可判断;
④错误.求出点B1即可判断;
⑤正确.首先证明四边形DEGF是矩形,推出DF=EG,DE=FG,设DF=EG=x,构建二次函数,利用二次函数的性质即可判断;
【解答】解:如图,作CH⊥AB于H.
∵DF⊥AB于F,EG⊥AB于G,
∴∠AFD=∠DCE=∠EGB=90°,
∵DE∥AB,
∴∠CDE=∠DAF,∠CED=∠EBG,
∴△AFD∽△DCE∽△EGB;故①正确;
当AD=CD时,∵DE>CD,
∴DE>AD,
∴△AFD与△DCE不全等,故②错误,
在Rt△ACB中,∵AC=4,BC=3,
∴AB=5,CH===2.4,
∴AH==3.2,
∴C(3.2,2.4),故③正确,
将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面,点B的对应点B1,设B1为(m,n),
则有=3.2,m=1.4,
=2.4,n=4.8,
∴B1(1.4,4.8),故④错误;
∵DF⊥AB于F,EG⊥AB于G,
∴DF∥EG,
∵DE∥AB,
∴四边形DEGF是平行四边形,
∵∠DFG=90°,
∴四边形DEGF是矩形,
∴DF=EG,DE=FG,设DF=EG=x,则AFx,BG=x,
∴DE=FG=5﹣x﹣x=5﹣x,
∵S矩形DEGF=x(5﹣x)=﹣x2+5x,
∵﹣<0,
∴S的最大值==3,故⑤正确,
综上所述,正确的有:①③⑤,
故答案为①③⑤.
【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、二次函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会构建二次函数,解决最值问题,属于中考压轴题.
三、解答题(共75分)要求写出必安的解答步骤或证明过程.
16.(6分)计算: +(sin75°﹣2018)0﹣(﹣)﹣2﹣4cos30°.
【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案.
【解答】解:原式=2+1﹣(﹣3)2﹣4×
=2+1﹣9﹣2
=﹣8
【点评】本题考查实数的运算,解题的关键是熟练运用有关运算性质,本题属于基础题型.
17.(7分)先化简,再求值:÷(﹣),其中a=+2.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将a的值代入计算即可求出值.
【解答】解:÷(﹣),
=÷,
=÷,
=•,
=.
当a=+2时,原式==1+2.
【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.(7分)如图,在菱形ABCD中,过B作BE⊥AD于E,过B作BF⊥CD于F.
求证:AE=CF.
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可.
【解答】证明:∵菱形ABCD,
∴BA=BC,∠A=∠C,
∵BE⊥AD,BF⊥CD,
∴∠BEA=∠BFC=90°,
在△ABE与△CBF中
,
∴△ABE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF.
【点评】此题考查菱形的性质,关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答.
19.(8分)为了提高学生的身体素质,某班级决定开展球类活动,要求每个学生必须在篮球、足球、排球、兵乓球、羽毛球中选择一项参加训练(只选择一项),根据学生的报名情况制成如下统计表:
项目
篮球
足球
排球
乒乓球
羽毛球
报名人数
12
8
4
a
10
占总人数的百分比
24%
b
(1)该班学生的总人数为 50 人;
(2)由表中的数据可知:a= 16 ,b= 24% ;
(3)报名参加排球训练的四个人为两男(分别记为A、B)两女(分别记为C、D),现要随机在这4人中选2人参加学校组织的校级训练,请用列表或树状图的方法求出刚好选中一男一女的概率.
【分析】(1)用篮球的人数除以其所占百分比即可得总人数;
(2)根据各项目的人数之和等于总人数可求得a的值,用羽毛球的人数除以总人数可得b的值;
(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)该班学生的总人数为12÷24%=50(人),
故答案为:50;
(2)a=50﹣(12+8+4+10)=16,
则b=×100%=20%,
故答案为:16,24%;
(3)画树状图如下:
由树状图知,共有12种等可能结果,其中刚好选中一男一女的有8种结果,
∴刚好选中一男一女的概率为=.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
20.(8分)某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售.已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元,购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元
(1)求购进甲、乙两种报纸的单价;
(2)已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元.销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份,若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元,问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份?
【分析】(1)设甲、乙两种报纸的单价分别是x元、y元,根据购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元,购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元
列出方程组,解方程组即可;
(2)设该销售处每天购进甲种报纸a份,根据销售这两种报纸的总利润不低于300元列出不等式,求解即可.
【解答】解:(1)设甲、乙两种报纸的单价分别是x元、y元,根据题意得
,解得.
答:甲、乙两种报纸的单价分别是0.6元、0.8元;
(2)设该销售处每天购进甲种报纸a份,根据题意,得
(1﹣0.6)a+(1.5﹣0.8)(600﹣a)≥300,
解得a≤400.
答:该销售处每天最多购进甲种报纸400份.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的等量关系与不等关系.
21.(8分)如图,雨后初睛,李老师在公园散步,看见积水水面上出现梯步上方树的倒影,于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度,他的方法是:测得树顶的仰角∠1、测量点A到水面平台的垂直高度AB、看到倒影顶端的视线与水面交点C到AB的水半距离BC.再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF,根据以下数据进行计算,
如图,AB=2米,BC=1米,EF=4米,∠l=60°,∠2=45°.已知线段ON和线段OD关于直线OB对称.(以下结果保留根号)
(1)求梯步的高度MO;
(2)求树高MN.
【分析】(1)如图,作EH⊥OB于H.则四边形MOHE是矩形.解Rt△EHF求出EH即可解决问题;
(2)设ON=OD=m.作AK⊥ON于K.则四边形AKOB是矩形,AK=BO,OK=AB=2,想办法构建方程求出m即可解决问题;
【解答】解:(1)如图,作EH⊥OB于H.则四边形MOHE是矩形.
∴OM=EH,
∵∠EHF=90°,EF=4,∠2=45°,
∴EH=FH=OM=4米.
(2)设ON=OD=m.作AK⊥ON于K.则四边形AKOB是矩形,AK=BO,OK=AB=2
∵AB∥OD,
∴=,
∴=,
∴OC=,
∴AK=OB=+1,NK=m﹣2,
在Rt△AKN中,∵∠1=60°,
∴NK=AK,
∴m﹣2=(+1),
∴m=(14+8)米,
∴MN=ON﹣OM=14+8﹣4=(14+4)米.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,轴对称的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
22.(9分)如图,矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内,BC与x轴平行,AB=1,点C的坐标为(6,2),E是AD的中点;反比例函数y1=(x>0)图象经过点C和点E,过点B的直线y2=ax+b与反比例函数图象交于点F,点F的纵坐标为4.
(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标;
(2)求直线BF的解析式;
(3)直接写出y1>y2时,自变量x的取值范围.
【分析】(1)把C点的坐标代入,即可求出反比例函数的解析式,再求出E点的坐标即可;
(2)求出B、F的坐标,再求出解析式即可;
(3)先求出两函数的交点坐标,即可得出答案.)
【解答】解:(1)∵反比例函数y1=(x>0)图象经过点C,C点的坐标为(6,2),
∴k=6×2=12,
即反比例函数的解析式是y1=,
∵矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内,BC与x轴平行,AB=1,点C的坐标为(6,2),
∴点E的纵坐标是2+1=3,
把y=3代入y1=得:x=4,
即点E的坐标为(4,3);
(2)∵过点B的直线y2=ax+b与反比例函数图象交于点F,点F的纵坐标为4,
把y=4代入y1=得:4=,
解得:x=3,
即F点的坐标为(3,4),
∵E(4,3),C(6,2),E为矩形ABCD的边AD的中点,
∴AE=DE=6﹣4=2,
∴B点的横坐标为4﹣2=2,
即点B的坐标为(2,2),
把B、F点的坐标代入直线y2=ax+b得:,
解得:a=2,b=﹣2,
即直线BF的解析式是y=2x﹣2;
(3)∵反比例函数在第一象限,F(3,4),
∴当y1>y2时,自变量x的取值范围是0<x<3.
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、函数的图象、用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式、矩形的性质等知识点,能正确求出两函数的解析式是解此题的关键.
23.(10分)如图1,D是⊙O的直径BC上的一点,过D作DE⊥BC交⊙O于E、N,F是⊙O上的一点,过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P,连结CF交PD于M,∠C=P.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,DM=1,求PM的长;
(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF、BM;在线段DN上有一点H,并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似,求DH的长度.
【分析】(1)如图1中,作PH⊥FM于H.想办法证明∠PFH=∠PMH,∠C=∠OFC,再根据等角的余角相等即可解决问题;
(2)解直角三角形求出AD,PD即可解决问题;
(3)分两种情形①当△CDH∽△BFM时,=.
②当△CDH∽△MFB时,=,分别构建方程即可解决问题;
【解答】(1)证明:如图1中,作PH⊥FM于H.
∵PD⊥AC,
∴∠PHM=∠CDM=90°,
∵∠PMH=∠DMC,
∴∠C=∠MPH,
∵∠C=∠FPM,
∴∠HPF=∠HPM,
∵∠HFP+∠HPF=90°,∠HMP+∠HPM=90°,
∴∠PFH=∠PMH,
∵OF=OC,
∴∠C=∠OFC,
∵∠C+∠CDM=∠C+∠PMF=∠C+∠PFH=90°,
∴∠OFC+∠PFC=90°,
∴∠OFP=90°,
∴直线PA是⊙O的切线.
(2)解:如图1中,∵∠A=30°,∠AFO=90°,
∴∠AOF=60°,
∵∠AOF=∠OFC+∠OCF,∠OFC=∠OCF,
∴∠C=30°,
∵⊙O的半径为4,DM=1,
∴OA=2OF=8,CD=DM=,
∴OD=OC﹣CD=4﹣,
∴AD=OA+OD=8+4﹣=12﹣,
在Rt△ADP中,
DP=AD•tan30°=(12﹣)×=4﹣1,
∴PM=PD﹣DM=4﹣2.
(3)如图2中,
由(2)可知:BF=BC=4,FM=BF=4,CM=2DM=2,CD=,
∴FM=FC﹣CM=4﹣2,
①当△CDH∽△BFM时,=,
∴=,
∴DH=
②当△CDH∽△MFB时,=,
∴=,
∴DH=,
∵DN==,
∴DH<DN,符合题意,
综上所述,满足条件的DH的值为或.
【点评】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
24.(12分)已知抛物线的顶点为(2,﹣4)并经过点(﹣2,4),点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为﹣,抛物线交y轴于点N.如图1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的一点,△ANP为等腰三角形,求点P的坐标;
(3)如图2,点B为直线y=﹣2上的一个动点,过点B的直线l与AB垂直
①求证:直线l与抛物线总有两个交点;
②设直线1与抛物线交于点C、D(点C在左侧),分别过点C、D作直线y=﹣2的垂线,垂足分别为E、F.求EF的长.
【分析】(1)由题意设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣4,把(﹣2,4)代入求出a即可解决问题;
(2)利用勾股定理求出AN的长,分三种情形分别求解即可解决问题;
(3)①设B(m,﹣2),则直线AB的解析式为y=x+,由直线l⊥AB,推出直线l的解析式为y=(2m﹣4)x﹣2m2+4m﹣2,由,消去y得到:∴x2+4(1﹣m)x+4(m2﹣2m)=0,只要证明△>0即可;
②设C(x1,y1),D(x2,y2),由①可知:EF=x2﹣x1,求出方程的两根即可解决问题;
【解答】(1)解:由题意设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣4,把(﹣2,4)代入得到a=,
∴抛物线的解析式为y=(x﹣2)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣2.
(2)解:由题意:A(2,﹣1.5),N(0,﹣2).
∴AN==,
当PA=AN时,可得P1(2,﹣),P3(2,﹣﹣).
当NA=NP时,可得P2(2,﹣),
当PN=PA时,设P4(2,a),则有(a+)2=22+(a+2)2,
解得a=﹣,
∴P4(2,﹣),
综上所述,满足条件的点OP坐标为P1(2,﹣),P2(2,﹣),P3(2,﹣﹣),P4(2,﹣);
(3)①证明:如图2中,
设B(m,﹣2),则直线AB的解析式为y=x+,
∵直线l⊥AB,
∴直线l的解析式为y=(2m﹣4)x﹣2m2+4m﹣2,
由,消去y得到:∴x2+4(1﹣m)x+4(m2﹣2m)=0,
∴△=[4(1﹣m)]2﹣4•1•4(m2﹣2m)=16>0,
∴直线l与抛物线有两个交点.
②设C(x1,y1),D(x2,y2),
由①可知:EF=x2﹣x1,
∵x2+4(1﹣m)x+4(m2﹣2m)=0,
∴x==,
∴x2=,x1=,
∴EF=x2﹣x1=4.
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的根 判别式等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,学会构建一次函数,利用方程组解决问题,属于中考压轴题.