2018年四川省眉山市中考数学真题及答案

这是一份2018年四川省眉山市中考数学真题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. ( 2分 ) 绝对值为1的实数共有（ ）。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个
【答案】C
【考点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ,
∴绝对值为1的实数有2个，
故答案为:C.
【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此可知 1的绝对值都是1.
2. ( 2分 ) 据相关报道，开展精准扶贫工作以来，我国约有65000000人摆脱贫困，将65000000用科学记数法表示为（ ）。
A.65×106
×108
C.6.5×106
D.6.5×107
【答案】D
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：∵650 000 00=6.5×107 ，
故答案为：D.
【分析】科学计数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案.
3. ( 2分 ) 下列计算正确的是（ ）。
A.(x+y)2=x2+y2
B.(－ xy2）3=－ x3y6
C.x6÷x3=x2
D.=2
【答案】D
【考点】同底数幂的除法，完全平方公式及运用，二次根式的性质与化简，积的乘方
【解析】【解答】解：A.∵(x+y)2=x2+2xy+y2,故错误，A不符合题意；
B.∵(－ xy2）3=－ x3y6,故错误，B不符合题意；
C.∵x6÷x3=x3,故错误， C不符合题意；
D.∵ =2,故正确，D符合题意；
故答案为:D.
【分析】A.根据完全平方和公式即可判断对错；
B. 根据积的乘方公式即可判断对错；
C.根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断对错；
D.根据二次根式性质化简即可判断对错.
4. ( 2分 ) 下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【考点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A.∵圆柱的主视图是长方形或者正方形，故错误，A不符合题意；
B.∵圆锥的主视图是三角形，故正确，B符合题意；
C.∵正方体的主视图是正方形，故错误，C不符合题意；
D.∵三棱柱的主视图是长方形或正方形，故错误，D不符合题意；
故答案为:B.
【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此一一判断即可得出答案.
5. ( 2分 ) 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）。
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
【答案】C
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=45°,∠D=30°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠DBE=45°,
∴∠α=∠D+∠DBE=30°+45°=75°,
故答案为:C.
【分析】根据三角形内角和得∠ABC=45°，由对顶角相等得∠DBE=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.
6. ( 2分 ) 如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）。
A.27°
B.32°
C.36°
D.54°
【答案】A
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=36°，
∴∠POA=54°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠POA=∠B+∠OCB=2∠B=54°，
∴∠B=27°.
故答案为:A.
【分析】根据切线的性质得∠PAO=90°，再由三角形内角和定理得∠POA=54°，根据等腰三角形性质等边对等角得∠B=∠OCB，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和建立等式，从而得出答案.
7. ( 眉山2分 ) 某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（ B ）。
A.众数
B.中位数
C.平均数
D.方差
【答案】B
【考点】中位数
【解析】【解答】解：∵有35个数，将35个成绩从小到大（或从大到小）排列，中位数及中位数之前共有18个数，
∴只要知道自己的成绩和中位数就可以知道自己是够能够进入决赛.
故答案为:B.
【分析】中位数：将一组数据从小到大或从大到小排列，如果是奇数个，则处于中间的那个数；若是偶数个，则处于中间两个数的平均数即为这组数据的中位数；由中位数意义即可得出答案.
8. ( 2分 ) 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则 + 的值是（ ）。
A.
B.－
C.－
D.
【答案】C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，
∴α+β=- ，αβ=- =-3，
∴ + = .
故答案为:C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=- ，αβ=- =-3，再将原式通分变形，代入数值即可得出答案.
9. ( 2分 ) 下列命题为真命题的是（ ）。
A.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
B.相似三角形面积之比等于相似比
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
【答案】A
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A.根据平行线分线段成比例定理即可判断正确，A符合题意；
B.相似三角形面积之比等于相似比的平方，故错误，B不符合题意；
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，C不符合题意；
D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正菱形，故错误，D不符合题意；
故答案为:A.
【分析】A.根据平行线分线段成比例定理即可判断对错；
B.根据相似三角形的性质即可判断对错；
C.根据菱形的判定即可判断对错；
D.根据矩形的性质和三角形中位线定理即可判断对错；
10. ( 2分 ) 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）。
A.8%
B.9%
C.10%
D.11%
【答案】C
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率是x,依题可得：
6000（1-x）2=4860，
∴（1-x）2=0.81，
∴1-x= 0.9,
∴x1=0.1,x2=1.9（舍）,
故答案为:C.
【分析】设平均每次下调的百分率是x,根据题意可列一元二次方程，解之即可得出答案.
11. ( 2分 ) 已知关于x的不等式组 仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）。
A.≤a＜1
B.≤a≤1
C.＜a≤1
D.a＜1
【答案】A
【考点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式②得：x≤1,
∴原不等式组的解集为：2a-3∵不等式组仅有三个整数解，
∴-2≤2a-3≤-1,
∴ ≤a＜1 .
故答案为:A.
【分析】先将不等式组的解集解出来，再根据不等式组仅有三个整数解，得出关于a的不等式组，解之即可得出答案.
12. ( 2分 ) 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，AD∥BC,
∴∠CFB=∠ABF，
又∵CD=2AD，F为CD中点，
∴CF=DF=AD=BC，
∴∠CFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABF，
故①正确.
②延长EF交BC于点G，
∵AD∥BC,
∴∠D=∠FCG,
在△DEF和△CGF中，
∵ ,
∴△DEF≌△CGF（ASA），
∴EF=FG，
又∵BE⊥AD，AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC=90°，
∴△BEG为直角三角形，
又∵F为EG中点，
∴EF=BF，
故②正确.
③由②知△DEF≌△CGF，
∴S△DEF=S△CGF ，
∴S四DEBC=S△BEG ，
又∵F为EG中点，
∴S△BEF=S△BGF ，
∴S△BEG=2S△BEF ，
即S四DEBC=2S△BEF ，
故③正确.
④设∠FEB=x，
由②知EF=BF,
∴∠FBE=∠FEB=x，
∴∠BFE=180°-2x，
又∵∠BED=∠AED=∠EBC=90°，
∴∠DEF=∠CBF=90°-x，
∵CF=BC,
∴∠CFB=∠CBF=90°-x，
又∵∠CFE=∠CFB+∠BFE，
∴∠CFE=90°-x+180°-2x，
=270°-3x，
=3（90°-x），
=3∠DEF.
故④正确.
故答案为:D.
【分析】①根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD=BC，AD∥BC,根据平行线的性质得∠CFB=∠ABF，由中点定义结合已知条件得CF=DF=AD=BC，根据等边对等角得∠CFB=∠CBF，等量代换即可得∠ABF=∠CBF，从而得①正确.
②延长EF交BC于点G，根据平行线的性质得∠D=∠FCG,根据全等三角形的判定ASA得△DEF≌△CGF，再由全等三角形的性质得EF=FG，根据平行线的性质和垂直定义得∠AEB=∠EBC=90°，故△BEG为直角三角形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即知②正确.
③由②知△DEF≌△CGF，根据全等三角形的定义得S△DEF=S△CGF ， S四DEBC=S△BEG ， 又F为EG中点得S△BEF=S△BGF ， 故S△BEG=2S△BEF ， 即S四DEBC=2S△BEF ， 得③正确.
④设∠FEB=x，由②知EF=BF,根据等边对等角得∠FBE=∠FEB=x，由三角形内角和得∠BFE=180°-2x，根据三角形内角和和等边对等角得∠CFB=∠CBF=90°-x，由∠CFE=∠CFB+∠BFE，代入数值化简即可得④正确.
二、填空题
13. ( 1分 ) 分解因式：x3-9x=________ .
【答案】x（x+3）（x-3）
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：原式=x（x+3）（x-3）.
故答案为:x（x+3）（x-3）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
14. ( 1分 ) 已知点A（x1 ， y1)、B(x2 ， y2)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为________.
【答案】y1>y2
【考点】一次函数的性质，比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵y=kx+b图像经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴y随x增大而减少，
又∵x1＜x2 ，
∴y1>y2.
故答案为:y1>y2.
【分析】一次函数图像经过第一、二、四象限，根据一次函数性质可知k<0，b>0，
所以y随x增大而减少，从而得出答案.
15. ( 1分 ) 已知关于x的分式方程 －2= 有一个正数解，则k的取值范围为________.
【答案】k<6且k≠3
【考点】分式方程的解及检验，解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-3得：
x-2（x-3）=k，
解得：x=6-k.
又∵分式方程的解为正数，
∴6-k>0且6-k≠3，
∴k<6且k≠3.
故答案为:k<6且k≠3.
【分析】分式方程两边同时乘以最简公分母x-3，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出方程的根，又分式方程的解为正数，由此得6-k>0且6-k≠3，解之即可得出答案.
16. ( 1分 ) 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.
【答案】.
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：依题可得：
∠BAB′=∠B′AC′=45°,△ABC≌△AB′C′，
又∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴AB=2 ,
∴S阴=S扇ABB′-S△ABC+S△AB′C′-S扇ACC′，
=S扇ABB′-S扇ACC′，
= ，
=π- ，
= .
故答案为: .
【分析】根据旋转的性质得∠BAB′=∠B′AC′=45°,△ABC≌△AB′C′，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB=2 ,所以S阴=S扇ABB′-S△ABC+S△AB′C′-S扇ACC′ =S扇ABB′-S扇ACC′，代入扇形圆心角的度数和半径即可得出答案.
17. ( 1分 ) 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
【答案】2
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE交CF于点G（如图），
∵四边形BCEF是边长为1的正方形，
∴BE=CF= ，BE⊥CF，
∴BG=EG=CG=FG= ,
又∵BF∥AC，
∴△BFO∽△ACO，
∴ ,
∴CO=3FO，
∴FO=OG= CG= ，
在Rt△BGO中，
∴tan∠BOG= =2,
又∵∠AOD=∠BOG,
∴tan∠AOD=2.
故答案为:2.
【分析】连接BE交CF于点G（如图），根据勾股定理得BE=CF= ，再由正方形的性质得BE⊥CF，BG=EG=CG=FG= ,又根据相似三角形的判定得△BFO∽△ACO，由相似三角形的性质得 ,从而得FO=OG= CG= ，在Rt△BGO中根据正切的定义得tan∠BOG= =2,根据对顶角相等从而得出答案.
18. ( 1分 ) 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为（－10,0），对角线AC和OB相交于点D且AC·OB=160.若反比例函数y= (x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E,则S△OCE∶S△OAB=________ .
【答案】1:5
【考点】反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【解答】解：作CG⊥AO,BH⊥AO,
∵BO·AC=160，
∴S菱形= ·BO·AC=80，
∴S△OAC= S菱形=40，
∴ ·AO·CG=40，
∵A（-10,0），
∴OA=10,
∴CG=8,
在Rt△OGE中，
∴OG=6，AG=4,
∴C（-6,8），
∵△BAH≌△COG，
∴BH=CG=8,AH=OG=6,
∴B（-16,8），
∵D为BO的中点，
∴D（-8,4），
又∵D在反比例函数上，
∴k=-8×4=-32，
∵C（-6,8），
∴E（a，8），
又∵E在反比例函数上，
∴8a=-32,
∴a=-4,
∴E（-4，8），
∴CE=2，
∴S△OCE= ·CE·CG= ×2×8=8，
S△OAB= ·OA·BH= ×10×8=40,
∴S△OCE：S△OAB=8:40=1:5.
故答案为:1:5.
【分析】解：作CG⊥AO,BH⊥AO,根据菱形和三角形的面积公式可得S△OAC= S菱形=40，从而得OA=10,CG=8,在Rt△OGE中，根据勾股定理得OG=6，AG=4,即C（-6,8），根据全等三角形的性质和中点坐标公式可得B（-16,8），D（-8,4），将D代入反比例函数解析式可得k，
设E（a，8），将点E坐标代入反比例函数解析式，可得E（-4，8）；根据三角形面积公式分别求得S△OCE和S△OAB ， 从而得S△OCE：S△OAB.
三、解答题（一）
19. ( 5分 ) 计算：（π-2)°+4cs30°－ －（－ ）－2.
【答案】解：原式= ，
=-3.
【考点】实数的运算
【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式化简，负整数指数幂一一化简计算即可得出答案.
20. ( 5分 ) 先化简，再求值：（ － ）÷ ，其中x满足x2－2x－2=0.
【答案】解：原式= ，
= ，
= ，
∵x2-2x-2=0，
∴x2=2x+2，
∴ = .
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先将分式按照减法法则、除法法则化简计算，再将方程x2-2x-2=0转化为x2=2x+2，将此代入化简之后的分式即可得出答案.
21. ( 10分 ) 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）①作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1 ， 并写出点C1的坐标；
②作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2 ， 并写出点C2的坐标；
（2）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2），请直接写出直线l的函数解析式.
【答案】（1）解：如图所示， C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）
（2）解：∵A（2,4），A3（-4，-2），
∴直线l的函数解析式：y=-x.
【考点】作图﹣轴对称，作图﹣平移，关于原点对称的坐标特征
【解析】【分析】（1）①利用正方形网格特征和平移的性质写出A、B、C对应点A1、B1、C1的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到△A1B1C1.
②根据关于原点对称的点的特征得出A2、B2、C2的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到△A2B2C2.
（2）根据A与A3的点的特征得出直线l解析式.
22. ( 5分 ) 知识改变世界，科技改变生活。导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈ ,cs53°≈ ，tan53°≈ )
【答案】解：过点B作BD⊥ AC，
依题可得：
∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），
∵BD⊥ AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°,
在Rt△DCB中，
∴tan∠CBD= ,
即tan53°= ，
设CD=4x，BD=3x，
∴BC=5x，
又∵AC=13，
∴AD=13-4x，
在Rt△DBA中，
∴tan∠BAD=tan60°= ,
即： ,
解得：x=4- ,
∴BC=5x=5（4- ）=20-5 （千米）.
答：B、C两地的距离为20-5 千米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点B作BD⊥ AC，根据三角形内角和结合已知条件得∠ABD=30°，∠CBD=53°,在Rt△DCB中，根据正切定义得tan∠CBD= ,即tan53°= ，由此设CD=4x，BD=3x，根据勾股定理得BC=5x，则AD=13-4x；在Rt△DBA中，根据正切定义得tan∠BAD=tan60°= ,代入数值解方程得x=4- ,又BC=5x从而求出B、C两地距离.
23. (眉山 8分 ) 为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图.
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中m=________，n=________；
（2）若该校学生共有1000人，则该校参加羽毛球活动的人数约为________人；
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率.
【答案】（1）16；20
（2）150
（3）解：依题可得：

∴从4人中选出两名同学的所有情况有12种，而一男一女的情况有6种，
∴从4人中选出两名同学恰好选出一男一女的概率 P= = .
答：恰好选出一男一女的概率为 .
【考点】用样本估计总体，统计表，扇形统计图，列表法与树状图法
【解析】【解答】 解：（1）由统计表和扇形统计图可得：
足球的人数为6人，百分比为15%，
∴总人数为6÷15%=40（人），
∴m=40×40%=16（人），
n%=8÷40=20%.
故答案为：16,20.
（ 2 ）参加羽毛球活动的百分比为：6÷40=15%，
∴该校参加羽毛球活动的人数为：1000×15%=150（人）.
答：该校参加羽毛球活动的人数约为150人.
故答案为：150.
【分析】（1）由统计表和扇形统计图的数据根据总数=频数÷频率可得总人数，再根据频数=总数×频率求出m，根据频率=频数÷总数求出n.
（2）根据频率=频数÷总数求除参加羽毛球活动的百分比，再用总人数×羽毛球的百分比即得该校参加羽毛球活动的人数.
（3）根据题意列出树状图，由图可知从4人中选出两名同学的所有情况有12种，而一男一女的情况有6种，再根据概率公式即可求出恰好选出一男一女的概率.
24. ( 10分 ) 传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
【答案】（1）解：当0≤x≤6时，y=34x，
∴34×6=204<280，
∴20x+80=280，
∴x=10.
答：李明第10天生产的粽子数量为280只.
（2）解：①当0≤x≤6时，
p=2，
∴W=34x·（4-2）=68x，
当10≤x≤20时，设p=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
②当6∴W=（20x+80）·（4-2）=40x+160，
③当10≤x≤20时，
∴W =（20x+80）·（4- -1）=-2x2+52x+240,
综上所述， ，
当0 x 6时，W的最大值为x=6时，68×6=408（元），
当6当10∴当x=13时，W的最大值为578元.
综上所述，第13天的利润最大，最大利润是578元.
【考点】一次函数的实际应用，二次函数的最值
【解析】【分析】（1）因为34×6=204<280，所以将y=280代入y=20x+80，解方程即可得出答案.
（2）根据图像求得p与x的函数关系式，再由订购价-成本价=利润，分情况讨论：得到W与x的函数关系式，再根据一次函数和二次函数的性质即可求得最值.
四、解答题（二）
25. ( 15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）证明：∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM为等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2a= .
（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由（1）知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形等边对角得 ∠ABC=∠ACB,由等腰三角形三线合一的性质得AM⊥BC，根据等角的余角相等得∠MAB=∠EBC；根据等腰三角形的判定可得△NBM为等腰直角三角形，由角的运算和等量代换得∠NBE=∠ABN,即BN平分∠ABE.
（2）由平行四边形的性质设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，根据全等三角形的判定SAS得△ABN≌△DBN中，全等三角形的性质得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，根据勾股定理代入数值得（2a+a）2+a2=1，解方程，由BC=2a得出答案。
（3）根据相似三角形的判定两边对应成比例及夹角相等得证.
26. ( 15分 ) 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，
∵A（0，3)、B（1，0）在抛物线上，
对称轴为：x=2，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3.
（2）解：如图①，设P（m，m2-4m+3）,
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
又∵AC∥x轴
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AO=AE=3，
∴E（3,3），
过点P作PQ∥y轴交AE于点Q，
∴Q（m，3）,
又∵S四AOPE=S△AOP+S△APE,
∴S四AOPE= ·OA·XP+ ·AE·【3-（m2-4m+3）】，
= ×3×m+ ×3×（-m2+4m），
=- m2+ m,
=- （m- ）2+ ,
∴当m= 时，四边形AOPE面积最大，最大值为 .
（3）解：存在，理由如下：
过定P作直线MN∥x轴，
∵△POF是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠FPO=90°,PO=PF,
∴∠FPN+∠OPM=90°,
又∵∠MOP+∠OPM=90°,
∴∠FPN=∠MOP,
在△MOP和△NPF中，
∵ ,
∴△MOP≌△NPF（AAS），
∴MO=NP,MP=NF,
设P（m,n）,
∴MP=NF=m,MO=NP= ,
∵PM+PN=2,
∴m+ =2,
∴ =2-m，
即n=2-m或n=m-2，
∴P（m,2-m）或P（m,m-2）,
∵点P在二次函数解析式上，
①将P（m,2-m）代入得：m2-4m+3=2-m,
即m2-3m+1=0,
解得：m1= ,m2= ,
∴P1（ ， ），P2（ ， ），
②将P（m,m-2）代入得：m2-4m+3=m-2,
即m2-5m+5=0,
解得：m1= ,m2= ,
∴P3（ ， ），P3（ ， ），
综上所述：P点的坐标为 ：P1（ ， ），P2（ ， ），
P3（ ， ），P3（ ， ）.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得一个三元一次方程组，解之即可得出抛物线解析式.
（2）如图①，设P（m，m2-4m+3）,根据角平分线定义和平行线性质知△AOE是等腰直角三角形，从而得E（3,3）；过点P作PQ∥y轴交AE于点Q，根据S四AOPE=S△AOP+S△APE得一个关于m的二次函数，由二次函数性质可求得最大值.
(3)存在，理由如下：过定P作直线MN∥x轴，设P（m,n）,由等腰直角三角形的性质和同角的余角相等得∠FPN=∠MOP,根据全等三角形的判定AAS得△MOP≌△NPF，由全等三角形的性质得MP=NF=m,MO=NP= ,根据PM+PN=2得n=2-m或n=m-2，即P（m,2-m）或P（m,m-2）,分别将点P坐标代入二次函数解析式，解方程即可得P点坐标.