高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后测评，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第三章　3.1　3.1.1A组·素养自测一、选择题1．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( D )A．(0，＋∞)  B．(0,2)C．(1，＋∞)  D．(0,1)[解析]　因为方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以>2，故0<k<1.2．椭圆＋＝1的焦距为( C )A．4  B．5 C．6  D．9[解析]　因为椭圆的方程为＋＝1，所以a2＝25，b2＝16，因此c2＝a2－b2＝9，所以c＝3，所以焦距为2c＝6.故选C.3．(2023·南京模拟)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是( B )A.＋＝1  B．＋＝1C.＋＝1  D．＋＝1[解析]　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.4．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的( A )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　将曲线C的方程化为＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．5．(多选)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( BD )A．(4,0)  B．(0,5)C．(－4,0)  D．(0，－5)[解析]　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则知m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－4,0)或(4,0)．二、填空题6．椭圆＋＝1的焦距是_16__，焦点坐标是_(－8,0)，(8,0)__.[解析]　由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8.所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)．7．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为 ＋＝1　.[解析]　如图，当P在y轴上时，△PF1F2的面积最大，所以×8b＝12，所以b＝3.又因为c＝4，所以a2＝b2＋c2＝25.所以椭圆的标准方程为＋＝1.8．若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为 2　.[解析]　由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc＝1，因为a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，所以a≥，故长轴长的最小值为2，答案为2.三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)ac＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析]　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又＝，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程．[解析]　设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P的轨迹方程为＋＝1.B组·素养提升一、选择题1．椭圆＋＝1(0<m<3)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为( C )A．6  B．4mC．12  D．4[解析]　∵过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，∴四边形AF1CF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|CF1|＋|CF2|＝4a.∵椭圆＋＝1(0<m<3)，∴a＝3，∴四边形AF1CF2的周长为12.故选C.2．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( A )A．60°　 B．30°　C．120°　 D．150°[解析]　由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝64，因为|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，因为0°＜∠F1PF2＜180°，所以∠F1PF2＝60°.3．(多选)直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以为( AB )A．－1  B．1 C．－  D．[解析]　椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b＝1.故选AB.4．(2023·湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为( D )A．5  B．10 C．2  D．  4[解析]　设M(m，n)，m，n＞0，则m∈(0,6)，n∈(0，2)，椭圆C：＋＝1的a＝6，b＝2，c＝4.设F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，|F1F2|＝2c＝8，因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|＞6，|MF2|＜6，△MF1F2为等腰三角形，只能|MF1|＝2c＝8，则|MF2|＝4，由勾股定理得|MF2|2＝(4－m)2＋n2＝16，又＋＝1，联立并消去n得m2－18m＋45＝0，且m∈(0,6)，解得m＝3，则n＝.则△MF1F2的面积为×8×＝4.故选D.二、填空题5．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝_2__，∠F1PF2的大小为_120°__.[解析]　由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝－.故∠F1PF2＝120°.6．若椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，则k的值为 －1或－　.[解析]　椭圆方程可化为＋＝1.因为椭圆的一个焦点(0，)在y轴上，所以即即k的值为－1或－.7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为_15__.[解析]　由椭圆的方程可得a＝5，b＝4，c＝3.∴F1(－3,0)，F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋＝15，∴|PM|＋|PF1|的最大值为15.三、解答题8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－.(1)求椭圆C的方程；(2)求点P的坐标．[解析]　(1)由椭圆的定义得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴a＝2.在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，∴4c2＝15，∴c＝，b2＝a2－c2＝4－＝，故椭圆C的方程为＋4y2＝1.(2)设点P(m，n)，由题意可知m＞0，∵S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 120°＝×(2＋)×(2－)×＝×2c×|n|，∴n＝±.将点P的坐标代入椭圆的方程可得＋＝1，解得m＝，故点P的坐标为或.9.如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]　如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝.故点M的轨迹方程为＋＝1.