数学必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式课后复习题

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1．sin 20°·cs 70°＋sin 10°·sin 50°的值为( )
A．－eq \f(1,4) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
2．cs 23°－cs 67°＋2eq \r(2)sin 4°cs 26°＝( )
A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
3．化简eq \f(cs α－cs 3α,sin 3α－sin α)的结果为( )
A．tan α B．tan 2α
C.eq \f(1,tan α) D.eq \f(1,tan 2α)
4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的值域是( )
A．[－2,2] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
5．cs 20°＋cs 100°＋cs 140°＝________.
6．已知sin(α＋β)·sin (β－α)＝m，则cs2α－cs2β的值为________．
[提能力]
7．在△ABC中，B＝eq \f(π,4)，则sin A·sin C的最大值是( )
A.eq \f(1＋\r(2),4) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2＋\r(2),4)
8．设直角三角形中两锐角为A和B，则cs Acs B的取值范围是________．
9．已知在△ABC中，cs A＋cs B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形．
[战疑难]
10．已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tan eq \f(A,2)＋eq \f(2cs\f(A,2),sin\f(A,2)＋cs\f(B－C,2))，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论．
课时作业31 积化和差与和差化积公式
1．解析：sin 20°·cs 70°＋sin 10°·sin 50°
＝eq \f(1,2)(sin 90°－sin 50°)－eq \f(1,2)(cs 60°－cs 40°)
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)cs 40°＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)sin 50°＝eq \f(1,4).故选B.
答案：B
2．解析：cs 23°－cs 67°＋2eq \r(2)sin 4°cs 26°
＝2sin 45°sin 22°＋eq \r(2)(sin 30°－sin 22°)
＝eq \r(2)sin 22°＋eq \f(\r(2),2)－eq \r(2)sin 22°＝eq \f(\r(2),2).故选B.
答案：B
3．解析：eq \f(cs α－cs 3α,sin 3α－sin α)＝eq \f(－2sin\f(α＋3α,2)sin\f(α－3α,2),2cs\f(3α＋α,2)sin\f(3α－α,2))
＝eq \f(－2sin 2αsin－α,2cs 2αsin α)＝tan 2α.故选B.
答案：B
4．解析：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－sin x
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3).∴y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
答案：B
5．解析：原式＝2cseq \f(20°＋100°,2)cseq \f(20°－100°,2)＋cs 140°
＝2cs 60°·cs 40°＋cs(180°－40°)
＝cs 40°－cs 40°＝0.
答案：0
6．解析：sin(α＋β)·sin(β－α)＝eq \f(cs 2α－cs 2β,2)
＝eq \f(2cs2α－1－2cs2β－1,2)＝cs2α－cs2β＝m.
答案：m
7．解析：sin Asin C＝sin Asin(π－A－B)
＝sin Asin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－A))＝sin Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs A＋\f(\r(2),2)sin A))
＝eq \f(\r(2),4)sin 2A－eq \f(\r(2),4)cs 2A＋eq \f(\r(2),4)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,4)))＋eq \f(\r(2),4).
∵0∴当2A－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)时，sin Asin C取得最大值eq \f(2＋\r(2),4).
答案：D
8．解析：由已知可得A＋B＝C＝eq \f(π,2)，则cs Acs B＝eq \f(1,2)[cs (A－B)＋cs (A＋B)]＝eq \f(1,2)cs (A－B)．
又因为A－B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以eq \f(1,2)cs (A－B)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
9．证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin (A＋B)＝cs A＋cs B.
利用和差化积公式，得cs A＋cs B＝2cseq \f(A＋B,2)cseq \f(A－B,2)，
又∵sin (A＋B)＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A＋B,2)，∴2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A＋B,2)＝2cseq \f(A＋B,2)cseq \f(A－B,2)，显然cseq \f(A＋B,2)≠0，
故sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(A－B,2)，两边平方，得sin2eq \f(A＋B,2)＝cs2eq \f(A－B,2)，
即eq \f(1－csA＋B,2)＝eq \f(1＋csA－B,2)，
∴cs (A＋B)＋cs (A－B)＝0，
∴2cs Acs B＝0，即cs A＝0或cs B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形．
10．解析：∵A，B，C是△ABC的三个内角
∴A＋B＋C＝π
则eq \f(A,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(B＋C,2)
∴y＝taneq \f(A,2)＋eq \f(2cs\f(A,2),sin\f(A,2)＋cs\f(B－C,2))
＝taneq \f(A,2)＋eq \f(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B＋C,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B＋C,2)))＋cs\f(B－C,2))
＝taneq \f(A,2)＋eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(B,2)cs\f(C,2)＋cs\f(B,2)sin\f(C,2))),2cs\f(B,2)cs\f(C,2))
＝taneq \f(A,2)＋taneq \f(B,2)＋taneq \f(C,2).
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化．