高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理综合训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理综合训练题，共5页。
1．下列说法正确的个数是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可组成表示该平面所有向量的一个基；②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面所有向量的基；③零向量不能作为基向量．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知非零向量a，b不共线，则下列各组向量中，可作为平面内所有向量的一个基的是( )
A．{a＋b，a－b} B．{a－b，b－a}
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b，2a＋b)) D．{2a－2b，a－b}
3．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,8)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(5,8)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,8)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,8)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(5,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up6(→))
4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内所有向量的一组基，则实数λ的取值范围是________．
5．如图，C，D是△AOB中边AB的三等分点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝e1，eq \(OB,\s\up6(→))＝e2，以{e1，e2}为基来表示eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，则eq \(OC,\s\up6(→))＝________，eq \(OD,\s\up6(→))＝________.
6．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b将eq \(MN,\s\up6(→))、eq \(NP,\s\up6(→))、eq \(PM,\s\up6(→))表示出来．
[提能力]
7．[多选题]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，F为AE的中点，则( )
A.eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(BF,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
8．在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→)).若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.
9．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BM,\s\up6(→))＋yeq \(BN,\s\up6(→))，求x，y的值．
[战疑难]
10．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．若PQ过△ABO的重心G，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OP,\s\up6(→))＝ma，eq \(OQ,\s\up6(→))＝nb，求证：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3.
课时作业19 平面向量基本定理
1．解析：因为一个平面内的基不唯一，即可以有无数对不共线向量组成该平面的基，所以说法①不正确，说法②正确；因为零向量与任一向量都共线，所以它不能作为基中的向量，说法③正确．故选C.
答案：C
2．解析：a－b＝－(b－a)，选项B中的两个向量共线；2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))＝2a＋b，选项C中的两个向量共线；2a－2b＝2(a－b)，选项D中的两个向量共线．只有选项A中的两个向量不共线，可作为一个基．故选A.
答案：A
3．解析：∵eq \(AF,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AE,\s\up13(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up13(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→)))＝eq \f(5,8)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,8)eq \(AC,\s\up13(→)).
答案：D
4．解析：由题意知a与b不共线，即对任意k∈R，a≠kb，
得λ≠4.
答案：λ≠4
5．解析：eq \(OC,\s\up13(→))＝eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up13(→))
＝e1＋eq \f(1,3)(e2－e1)
＝eq \f(2,3)e1＋eq \f(1,3)e2
eq \(OD,\s\up13(→))＝eq \(OC,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→))＝eq \(OC,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up13(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)e1＋\f(1,3)e2))＋eq \f(1,3)(e2－e1)
＝eq \f(1,3)e1＋eq \f(2,3)e2
答案：eq \f(2,3)e1＋eq \f(1,3)e2 eq \f(1,3)e1＋eq \f(2,3)e2
6．解析：eq \(NP,\s\up13(→))＝eq \(AP,\s\up13(→))－eq \(AN,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up13(→))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b，
eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \(CN,\s\up13(→))－eq \(CM,\s\up13(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up13(→))－eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up13(→))
＝－eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)(a－b)＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，
eq \(PM,\s\up13(→))＝－eq \(MP,\s\up13(→))＝－(eq \(MN,\s\up13(→))＋eq \(NP,\s\up13(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)．
7．解析：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC
∴eq \(BC,\s\up13(→))＝eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \(DC,\s\up13(→))
＝－eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up13(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→))，A对；
∵eq \(BC,\s\up13(→))＝3eq \(EC,\s\up13(→))
∴eq \(BE,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up13(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up13(→))
∴eq \(AE,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BE,\s\up13(→))
＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)\(AB,\s\up13(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up13(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up13(→))
又F为AE的中点，
∴eq \(AF,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up13(→))，B对；
∴eq \(BF,\s\up13(→))＝eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(AF,\s\up13(→))＝－eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up13(→))
＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up13(→))，C对；
∴eq \(CF,\s\up13(→))＝eq \(CB,\s\up13(→))＋eq \(BF,\s\up13(→))＝eq \(BF,\s\up13(→))－eq \(BC,\s\up13(→))
＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up13(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\(AB,\s\up13(→))＋\(AD,\s\up13(→))))
＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up13(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up13(→))，D错．故选A、B、C.
答案：ABC
8．解析：∵eq \(AM,\s\up13(→))＝2eq \(MC,\s\up13(→))，∴eq \(AM,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up13(→)).
∵eq \(BN,\s\up13(→))＝eq \(NC,\s\up13(→))，∴eq \(AN,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→)))，
∴eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \(AN,\s\up13(→))－eq \(AM,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→)))－eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up13(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up13(→)).
又∵eq \(MN,\s\up13(→))＝xeq \(AB,\s\up13(→))＋yeq \(AC,\s\up13(→))，∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,2) －eq \f(1,6)
9．解析：(1)由eq \(AM,\s\up13(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up13(→))可知M，B，C三点共线，
如图，令eq \(BM,\s\up13(→))＝λeq \(BC,\s\up13(→))⇒eq \(AM,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BM,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋λeq \(BC,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋λ(eq \(AC,\s\up13(→))－eq \(AB,\s\up13(→)))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up13(→))＋λeq \(AC,\s\up13(→))⇒λ＝eq \f(1,4)，
所以eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(1,4)，即面积之比为14.
(2)由eq \(BO,\s\up13(→))＝xeq \(BM,\s\up13(→))＋yeq \(BN,\s\up13(→))⇒eq \(BO,\s\up13(→))＝xeq \(BM,\s\up13(→))＋eq \f(y,2)eq \(BA,\s\up13(→))，
eq \(BO,\s\up13(→))＝eq \f(x,4)eq \(BC,\s\up13(→))＋yeq \(BN,\s\up13(→))，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))
10．证明：因为M是AB边的中点，所以eq \(OM,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OB,\s\up13(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b)．因为G是△ABO的重心，
所以eq \(OG,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得eq \(PG,\s\up13(→))∥eq \(GQ,\s\up13(→))，
所以有且只有一个实数λ，使eq \(PG,\s\up13(→))＝λeq \(GQ,\s\up13(→)).
而eq \(PG,\s\up13(→))＝eq \(OG,\s\up13(→))－eq \(OP,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－ma＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b，
eq \(GQ,\s\up13(→))＝eq \(OQ,\s\up13(→))－eq \(OG,\s\up13(→))＝nb－eq \f(1,3)(a＋b)＝－eq \f(1,3)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)))b，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b
＝λeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)))b)).
又因为a，b不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m＝－\f(1,3)λ，,\f(1,3)＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,3)))，))
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3.