高中数学5.1 向量的数量积课后作业题

这是一份高中数学5.1 向量的数量积课后作业题，共4页。
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|＝( )
A．7 B．6
C．5 D．4
3．已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3eq \r(3)
4．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，则a在b方向上的投影为________．
5．已知|a|＝4，|b|＝3，且a与b不共线．若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k的值为________．
6．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；
(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；
(3)如图，已知在▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq \f(π,3)，求对角线AC和BD的长．
[提能力]
7．[多选题]关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是( )
A．若a∥b且b∥c，则a∥c
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D．(a·b)·c＝a·(b·c)
8．已知平面内三个向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.
9．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
[战疑难]
10．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝4，A是线段EF的中点，EF＝2.若eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为60°，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝________.
课时作业21 向量的数量积
1．解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
答案：B
2．解析：|3a－b|＝ eq \r(3a－b2)
＝ eq \r(9|a|2＋|b|2－6a·b)
＝ eq \r(9＋25－6×5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \r(49)＝7.
答案：A
3．解析：a·b＝|a||b|cs 135°＝－12eq \r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案：C
4．解析：向量a在b方向上的投影为|a|cs θ＝3×cseq \f(π,3)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
5．解析：∵|a|＝4，|b|＝3，且a与b不共线，向量a＋kb与a－kb互相垂直，∴(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝16－9k2＝0，解得k＝±eq \f(4,3).
答案：±eq \f(4,3)
6．解析：(1)a·b＝|a||b|cseq \f(π,3)＝5×5×eq \f(1,2)＝eq \f(25,2)，
∴|a＋b|＝ eq \r(a＋b2)＝ eq \r(|a|2＋2a·b＋|b|2)
＝ eq \r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq \r(3)，
|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(|a|2＋|b|2－2a·b)＝eq \r(25)＝5，
|3a＋b|＝eq \r(3a＋b2)＝eq \r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq \r(325)＝5eq \r(13).
(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.
(3)设eq \(AB,\s\up13(→))＝a，eq \(AD,\s\up13(→))＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝eq \f(π,3).
∴a·b＝|a||b|cs θ＝eq \f(3,2).
又∵eq \(AC,\s\up13(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up13(→))＝a－b，
∴|eq \(AC,\s\up13(→))|＝eq \r(\(AC,\s\up13(→))\(2,\s\up13( )) )＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝eq \r(13)，
|eq \(DB,\s\up13(→))|＝eq \r(\(DB,\s\up13(→))\(2,\s\up13( )) )＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(7).
∴AC＝eq \r(13)，BD＝eq \r(7).
7．解析：A中，若b＝0，因为0与任意向量平行，所以a不一定与c平行，A错；
B中，向量数量积满足分配律，正确；
C中，向量数量积不满足消去律，C错；
D中，(a·b)·c是以c为方向的向量，a·(b·c)是以a为方向的向量，D错．
故选ACD.
答案：ACD
8．解析：当a，b，c共线时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝5，
当a，b，c两两夹角为eq \f(2π,3)时．
|a＋b＋c|＝ eq \r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)
＝ eq \r(1＋1＋9＋2×1×1×cs \f(2π,3)＋2×1×3×cs \f(2π,3)＋2×1×3×cs\f(2π,3))
＝eq \r(11－1－3－3)＝2.
答案：5或2
9．解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cs θ＝－1，
∴cs θ＝－eq \f(1,2)，∴θ＝eq \f(2π,3).
(2)易知a·b＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝eq \f(4,7).
10．解析：eq \(BE,\s\up13(→))·eq \(CF,\s\up13(→))＝(eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(AE,\s\up13(→)))·(eq \(CA,\s\up13(→))＋eq \(AF,\s\up13(→)))＝eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(CA,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(AF,\s\up13(→))＋eq \(AE,\s\up13(→))·eq \(CA,\s\up13(→))＋eq \(AE,\s\up13(→))·eq \(AF,\s\up13(→)).
∵∠BAC＝90°，∴eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(CA,\s\up13(→))＝0.
又A是线段EF的中点，∴eq \(AE,\s\up13(→))＝－eq \(AF,\s\up13(→))，
∴eq \(BE,\s\up13(→))·eq \(CF,\s\up13(→))＝eq \(BA,\s\up13(→))·eq \(AF,\s\up13(→))－eq \(AF,\s\up13(→))·eq \(CA,\s\up13(→))－eq \(AF,\s\up13(→))2＝eq \(BC,\s\up13(→))·eq \(AF,\s\up13(→))－1＝4×1×cs 60°－1＝1.
答案：1