高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 向量的数乘运算同步练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 向量的数乘运算同步练习题，共4页。
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
2．点C在线段AB上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→)) D．－eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))
3.
如图，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BD,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．a＋eq \f(3,4)b
B.eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b
C.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b
D.eq \f(1,4)a＋eq \f(3,4)b
4．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果eq \(OA,\s\up6(→))＝3e1，eq \(OB,\s\up6(→))＝3e2，则eq \(OD,\s\up6(→))＝( )
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C.eq \f(2,3)e1＋eq \f(1,3)e2 D.eq \f(1,3)e1＋eq \f(2,3)e2
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AO,\s\up6(→))，则λ＝________.
6．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知eq \(AM,\s\up6(→))＝c，eq \(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(AD,\s\up6(→)).
[提能力]
7．[多选题]△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正确的是( )
A.eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→)) B.eq \(CG,\s\up6(→))＝2eq \(GF,\s\up6(→))
C.eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up6(→)) D.eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
8．在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AN,\s\up6(→))＝3eq \(NC,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．
9．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足eq \(AB,\s\up6(→))＝e＋2f，eq \(BC,\s\up6(→))＝－4e－f，eq \(CD,\s\up6(→))＝－5e－3f.
(1)用e、f表示eq \(AD,\s\up6(→))；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
[战疑难]
10．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
课时作业17 向量的数乘运算
1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．解析：∵eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up13(→))，∴eq \(BC,\s\up13(→))＝－eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up13(→))，∴eq \(AC,\s\up13(→))＝－eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up13(→)).故选D.
答案：D
3．解析：eq \(AD,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BD,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up13(→))－eq \(AB,\s\up13(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up13(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(3,4)b.
答案：D
4．解析：∵eq \(AB,\s\up13(→))＝eq \(OB,\s\up13(→))－eq \(OA,\s\up13(→))＝3(e2－e1)，∴eq \(AD,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up13(→))＝2(e2－e1)，
∴eq \(OD,\s\up13(→))＝eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→))＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.故选A.
答案：A
5．解析：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AD,\s\up13(→))＝eq \(AC,\s\up13(→))＝2eq \(AO,\s\up13(→))，∴λ＝2.
答案：2
6．解析：设eq \(AB,\s\up13(→))＝a，eq \(AD,\s\up13(→))＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，∴eq \(BN,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)b，eq \(DM,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)a.
在△ADM和△ABN中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up13(→))＋\(DM,\s\up13(→))＝\(AM,\s\up13(→))，,\(AB,\s\up13(→))＋\(BN,\s\up13(→))＝\(AN,\s\up13(→))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)a＝c，①,a＋\f(1,2)b＝d，②))
①×2－②，得b＝eq \f(2,3)(2c－d)，
②×2－①，得a＝eq \f(2,3)(2d－c)．
∴eq \(AB,\s\up13(→))＝－eq \f(2,3)c＋eq \f(4,3)d，eq \(AD,\s\up13(→))＝eq \f(4,3)c－eq \f(2,3)d.
7．解析：选项A中，∵G是△ABC的重心，∴BG＝eq \f(2,3)BE，∴eq \(BG,\s\up13(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up13(→))；选项B中，CG＝2GF，∴eq \(CG,\s\up13(→))＝2eq \(GF,\s\up13(→))；选项C中，DG＝eq \f(1,2)AG，∴eq \(DG,\s\up13(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up13(→))，∴C不正确；选项D中，eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up13(→))＋eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up13(→))＝eq \(DG,\s\up13(→))＋eq \(GC,\s\up13(→))＝eq \(DC,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up13(→)).故选A、B、D.
答案：ABD
8．解析：如图，eq \(MN,\s\up13(→))＝eq \(MB,\s\up13(→))＋eq \(BA,\s\up13(→))＋eq \(AN,\s\up13(→))＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up13(→))＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)(a＋b)＝eq \f(1,4)(b－a)．
答案：eq \f(1,4)(b－a)
9．解析：(1)eq \(AD,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(BC,\s\up13(→))＋eq \(CD,\s\up13(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为eq \(AD,\s\up13(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq \(BC,\s\up13(→))，
所以eq \(AD,\s\up13(→))与eq \(BC,\s\up13(→))方向相同，且eq \(AD,\s\up13(→))的长度为eq \(BC,\s\up13(→))的长度的2倍，
即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
10．解析：∵eq \(OB,\s\up13(→))＋eq \(OC,\s\up13(→))－2eq \(OA,\s\up13(→))＝eq \(OB,\s\up13(→))－eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OC,\s\up13(→))－eq \(OA,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→))，eq \(OB,\s\up13(→))－eq \(OC,\s\up13(→))＝eq \(CB,\s\up13(→))＝eq \(AB,\s\up13(→))－eq \(AC,\s\up13(→))，∴|eq \(AB,\s\up13(→))＋eq \(AC,\s\up13(→))|＝|eq \(AB,\s\up13(→))－eq \(AC,\s\up13(→))|，∴eq \(AB,\s\up13(→))⊥eq \(AC,\s\up13(→)).∴△ABC为直角三角形(由于AB不一定等于AC，因此△ABC不一定为等腰直角三角形)．
答案：D