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    2021_2022学年新教材高中数学第2章平面向量及其应用微专题1平面向量数量积的综合应用学案含解析北师大版必修第二册

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    高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理学案及答案

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理学案及答案,共4页。
    微专题1 平面向量数量积的综合应用向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点平面向量数量积的计算向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体常与三角函数交汇命题重视数形结合与转化化归思想的考查主要培养数学运算、直观想象等核心素养. 类型1 数量积的计算【例1 (1)如图在梯形ABCDABCDCD2BAD·2··________(2)ABC已知的夹角是90°||2||1MBC上的一点λμ(λμR)·0的值为________(1)12 (2) [(1)因为·2·所以···所以··.因为ABCDCD2BAD所以2||||||cos 化简得||2.··()||2·(2)22×2cos 12.(2)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系A(00)B(02)C(10)所以(02)(10)(12).M(xy)(xy)所以·(xy)·(12)x2y0所以x2yλμ(xy)λ(02)μ(10)(μ2λ)所以xμy2λ所以.]平面向量数量积的运算方法(1)当已知向量的模和夹角时可利用定义法求解a·b|a||b|cos θ(θab的夹角).(2)当已知向量的坐标时可利用坐标法求解即若a(x1y1)b(x2y2)a·bx1x2y1y2. 类型2 求模【例2 已知平面向量ab的夹角为|a||b|2ABC2a2b2a6bDBC中点||________2 [因为()(2a2b2a6b)2a2b所以||24(ab)24(a22a·bb2)4×(32×2××cos 4)4||2.]求向量的模的方法(1)公式法:利用|a|(a±b)2|a|2±2a·b|b|2把向量模的运算化为数量积运算;(2)几何法:利用向量的几何意义即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量然后求解. 类型3 求夹角【例3 已知正方形ABCDE在边BC且满足2设向量的夹角为θcos θ________ [因为2所以EBC的中点.设正方形的边长为2||||2·()·()||2||2·×2222=-2所以cos θ=-.]求平面向量的夹角的方法(1)定义法:由向量数量积的定义知cos θ其中两个向量的夹角θ的范围为[0π]求解时应求出三个量:a·b|a||b|或者找出这三个量之间的关系;(2)坐标法:若a(x1y1)b(x2y2)cos θ 类型4 垂直问题【例4 ABC是边长为2的等边三角形已知向量ab满足2a2ab则下列结论正确的是(  )A|b|1     BabCa·b1     D(4ab)D [b|b|||2A错;·2×2×cos 60°2即-2a·b2a·b=-1BC都错;(4ab(4abb4a·bb2=-440(4ab)故选D.]两向量垂直的应用aba·b0|ab||ab|(其中a0b0). 类型5 数量积的综合问题【例5】 已知向量m(sin  α2cos α)n(sin  αcos α)其中αR.(1)mnα(2)|mn|sin α的值.[] (1)mnm·n0即-sin  α(sin  α2)cos2α0sinα可得α2kπα2kπkZ.(2)|mn|(mn)22(2sin  α2)2(2cos α)224sin 2α48sin  α4cos2α288sinα2可得sin  α.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时先运用向量相关知识得到三角函数的关系式然后求解. (2)当给出用三角函数表示的向量坐标要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时其解题思路是经过向量的运算利用三角函数在定义域内的有界性求解.

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