2021北京房山高一（上）期中数学（教师版）

2021北京房山高一（上）期中

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．（5分）设集合，1，，，，则中元素的个数为　　

A．0 B．2 C．3 D．4

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）已知，，，则下列命题中的真命题是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，，则 D．若，，则

4．（5分）方程组的解集是　　

A． B． C． D．，

5．（5分）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

那么函数一定存在零点的区间是　　

A． B． C． D．

6．（5分）不等式的解集为　　

A．，， B． 

C． D．

7．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

8．（5分）设函数的定义域为，，则“在区间，上单调递增”是“在区间，上的最大值为（1）”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（5分）已知函数，若，则等于　　

A．2 B． C． D．2或

10．（5分）某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满．公司欲提高客房档次，并提高租金．如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高　　元时，每天客房的租金总收入最高．

A．22 B．20 C．18 D．16

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）已知区间，，则　　．

12．（5分）已知关于的不等式的解集是，则　　，　　．

13．（5分）拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费为元，且，其中，表示不小于的最小整数．即，，，则从甲地到乙地通话5.5分钟的电话费为 　　．

14．（5分）已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②是偶函数；③在上是减函数，则的一个解析式是 　　．

15．（5分）如果非空数集满足：①；②若，有，那么称是“互倒集”．给出以下数集：①；②；③，，；其中“互倒集”的是 　　（请在横线上写出所有正确答案的序号）

三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。

16．（15分）已知方程的两个实数根为，，求下列各式的值：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

17．（15分）已知函数．

（Ⅰ）若（4），求函数的零点；

（Ⅱ）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

18．（15分）已知函数的定义域为集合，集合．

（Ⅰ）求集合与；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

19．（15分）某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似地表示为．

（Ⅰ）写出自变量的取值范围；

（Ⅱ）为使每吨平均处理成本最低（如处理500吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为，该厂每月垃圾处理量应为多少吨？

20．（15分）已知函数．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）证明：函数在上是增函数；

（Ⅲ）求函数，，的值域．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．【分析】由集合并集的定义求解即可．

【解答】解：因为集合，1，，，，

则，1，2，，

所以中元素的个数为4个．

故选：．

【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集的求解，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题．

2．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．

【解答】解：原命题为：，，

原命题为全称命题，

其否定为存在性命题，且不等号须改变，

原命题的否定为：，．

故选：．

【点评】本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：（1）“若，则”的否定为“若，则”；（2）全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；（3）切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题．本题考查第二种形式，属简单题．

3．【分析】直接利用不等式的性质和赋值法的应用求出结果．

【解答】解：对于：当时，，故错误；

对于：当时，，故错误；

对于和：由于，且，故，故错误，正确；

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

4．【分析】直接利用二元一次方程组的解法的应用求出结果．

【解答】解：方程组，

解得：，

故解集为．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

5．【分析】利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．

【解答】解：由于（2），（3），

根据函数零点的存在定理可知故函数在区间内一定有零点，其他区间不好判断．

故选：．

【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．

6．【分析】解不等式，求出不等式的解集即可．

【解答】解：，

或，

或，

故不等式的解集是，，，

故选：．

【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是基础题．

7．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．

【解答】解：，对应关系不同；

，定义域不同；

与表示同一函数；

中，，解得，

中，，解得或，两函数定义域不同．

故选：．

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．

8．【分析】根据充分、必要条件的定义，判断命题的真假性即可．

【解答】解：若函数在，上单调递增，

则函数在，上的最大值为（1），

若，则函数在，上的最大值为（1），

但函数在，上不单调，

故选：．

【点评】本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．

9．【分析】根据题意，由函数的解析式，分析与两种情况讨论，求出的值，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，

当时，，解可得，

当时，，解可得或（舍，

综合可得：或2；

故选：．

【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数解析式的应用，属于基础题．

10．【分析】先设宾馆客房租金每间日租金提高元，客房租金总收入为，则根据如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间，可得每天客房出租数为，从而可建立与的关系式，再通过二次函数，利用配方法求解最大值．

【解答】解：设客房日租金每间提高元，则根据如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间，可得每天客房出租数为，

由，且，得．

设客房租金总收入元，

，

当时，．

即将客房每间日租金提高20元时，客房租金总收入最高，为每天8000元．

故选：．

【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，构建函数模型，考查配方法求二次函数的最大值，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】由集合交集的定义求解即可．

【解答】解：因为区间，，

则．

故答案为：．

【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．

12．【分析】由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系列方程组求出、的值．

【解答】解：不等式的解集为，

所以1和2是对应方程的实数根，

由根与系数的关系知，，

解得，，

故答案为：，．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法应用问题和根与系数的关系应用问题，是基础题．

13．【分析】先利用是大于或等于的最小整数求出，再直接代入即可求出结论．

【解答】解：由是大于或等于的最小整数可得．

所以．

故答案为：4.24．

【点评】本题涉及到了对新定义的考查，解决本题的关键在于对是大于或等于的最小整数的理解和应用．

14．【分析】由常见函数的奇偶性与单调性即可求解．

【解答】解：同时满足三个条件的函数可以为，，等，答案不唯一．

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，属于基础题．

15．【分析】由互倒集的定义知，需判断集合满足三个条件：非空数集、、若，有．依次判断即可．

【解答】解：对于①，

当时，，

故不是互倒集；

对于②；

△，

是非空数集，

且，

若，即，

则，

故，故是互倒集；

对于③，，，，

若，，易知，，故是互倒集；

故答案为：②③．

【点评】本题考查了新定义的应用及学习应用能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。

16．【分析】由一元二次方程及韦达定理，逐一分析即可．

【解答】解：由，根据韦达定理，

得，，

，

，

，

【点评】本题考查一元二次方程及韦达定理，属于容易题．

17．【分析】（Ⅰ）依题意可得，进而函数，令，即可求得零点；

（Ⅱ）由对一切实数恒成立，则△恒成立，由此可得的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数为二次函数，且（4），

函数关于对称，则，即，

，

令，解得或，

函数的零点为1或3；

（Ⅱ）对一切实数恒成立，

△，解得，

实数的取值范围为．

【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．

18．【分析】（1）先求出集合，然后结合集合补集运算即可求解；

结合集合的数轴表示及集合的包含关系可求．

【解答】解：由得，

所以，，，；

，，，

若，则，

解得，

所以实数的取值范围，．

【点评】本题主要考查了集合的补集运算及集合的包含关系的应用，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）直接由题意可得自变量的取值范围；

（Ⅱ）写出每吨平均处理成本，利用基本不等式求最值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，；

（Ⅱ），

每吨平均处理成本

，

当且仅当，即吨时，上式等号成立．

该厂每月处理垃圾应为400吨．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．

20．【分析】先判断函数的定义域，然后检验与的关系即可判断；

先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；

结合函数的单调性即可求解函数的最大与最小值．

【解答】解：为奇函数，理由如下：

，

，

所以为奇函数；

证明：设，

则，

所以，

所以函数在上是增函数；

解：由及奇函数对称区间上单调性一致知，函数在，上单调递增，

所以，当时，函数取得最小值，

当时，函数取得最大值，

所以函数的值域，．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及利用函数单调性求解函数最值，属于中档题．