2021北京房山高二（上）期末数学（教师版）

2021北京房山高二（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知点，，则线段的中点坐标为　　

A． B． C． D．

2．圆心为，半径为5的圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

3．已知直线和互相平行，则　　

A． B． C．或 D．或

4．下列双曲线中以为渐近线的是　　

A． B． C． D．

5．在的展开式中，的系数为　　

A．5 B． C．10 D．

6．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为　　

A． B． C． D．

7．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则　　

A． B． C．2 D．4

8．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为　　

A． B． C． D．

9．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为　　

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

10．如图，在正方体中，点，分别是棱，上的动点．给出下面四个命题：

①直线与直线平行；

②若直线与直线共面，则直线与直线相交；

③直线到平面的距离为定值；

④直线与直线所成角的最大值是．

其中，真命题的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有　　种．（用数字作答）

12．设随机变量的分布列为：

则　　；随机变量的数学期望　　．

13．某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如表所示．

从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为　　；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为　　．

14．设抛物线的焦点为，点，在抛物线上．则抛物线的准线方程为 　　；　　．

15．已知曲线．给出下列四个命题：

①曲线过坐标原点；

②若，则是圆，其半径为；

③若，则是椭圆，其焦点在轴上；

④若，则是双曲线，其渐近线方程为．

其中所有真命题的序号是　　．

三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（12分）已知直线过点，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程．

条件①：直线经过直线与的交点；

条件②：直线与圆相切；

条件③：直线与坐标轴围成的三角形的面积为3．

17．（12分）已知点在抛物线上，过点且斜率为2的直线与抛物线的另一个交点为．

（Ⅰ）求的值和抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）求弦长．

18．（12分）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求：

（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；

（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；

（Ⅲ）第二次摸到红球的概率．

19．（13分）某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如表：

（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在，且未使用这款的概率；

（Ⅱ）从被抽取的年龄在，且使用这款的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用表示这2人中年龄在，的人数，求随机变量的分布列及数学期望；

（Ⅲ）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款的居民赠送1张5元的代金券．若某区预计有6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券．

20．（13分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，为中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

21．（13分）已知椭圆的离心率为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】直接利用中点坐标公式求解即可．

【解答】解：点，，

线段的中点坐标：，，即，．

故选：．

【点评】本题考查中点坐标公式的应用，考查计算能力．

2．【分析】根据圆心坐标与半径写出圆标准方程即可．

【解答】解：根据题意得：所求圆方程为．

故选：．

【点评】此题考查了圆的标准方程，根据圆心与半径正确写出圆的标准方程是解本题的关键．

3．【分析】利用两条直线平行的充要条件列式求解即可．

【解答】解：因为直线和互相平行，

所以，解得或3．

故选：．

【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．

4．【分析】利用双曲线的方程，求解双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可．

【解答】解：的渐近线方程为：．即，所以正确；

的渐近线方程为：，所以不正确；

的渐近线方程为：，所以不正确；

的渐近线方程为：，所以不正确；

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．

5．【分析】由二项展开式的通项公式，即可求得的系数．

【解答】解：的展开式的通项为，

所以的系数为．

故选：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．

6．【分析】由题意利用相互独立事件的概率，次独立实验中恰好发生次的概率，计算求得结果．

【解答】解：某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，

3位患者是否会被治愈是相互独立的，

则恰有1位患者被治愈的概率为．

故选：．

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，次独立实验中恰好发生次的概率，属于基础题．

7．【分析】求出椭圆的焦点坐标，然后利用已知条件列出方程，求解即可．

【解答】解：椭圆的焦点，，

双曲线与椭圆有相同的焦点，

可得，所以，

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．

8．【分析】设动点，设，，则利用中点坐标公式可得与坐标之间的关系，再利用点在圆上，即可得到和的关系，即为点的轨迹方程．

【解答】解：设线段的中点，，，则，，

则有，解得，

又点在圆上，

所以有，即，

所以线段的中点的轨迹方程为．

故选：．

【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹方程的方法：直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．

9．【分析】由直线系方程可知直线过定点，再说明定点在圆内，可得直线与圆的位置关系．

【解答】解：由直线，得，

可知直线过定点，

化圆为，知圆心，半径为2，

，则在圆内，

直线与圆的位置关系为相交．

故选：．

【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，是基础题．

10．【分析】根据空间直线和直线，直线和平面位置关系分别进行判断即可．

【解答】解：如图1，当与重合时，与重合时，直线与直线是异面直线，此时不可能平行，故①错误．

如图2，当与重合时，与重合时，四边形为矩形，故直线与直线平行，此时直线与直线相交错误．故②错误．

因为平面平面，而平面，故平面，所以直线到平面的距离为定值（正方体的棱长），故③正确．

建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，设，，，，1，，其中，，

而，1，，故，，，，0，，

设直线与直线所成角为，

则，，

若直线与直线不平行，则，．故，，

故直线与直线所成角的最大值是，所以④正确．

故正确的是③④，

故选：．

【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，结合空间平行和垂直的位置关系是解决本题的关键，是中档题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】根据题意，这个一共排列问题，由排列数公式直接计算可得答案．

【解答】解：根据题意，电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，

则有种不同的顺序，

故答案为：24．

【点评】本题考查排列数公式的应用，注意区分排列组合的定义，属于基础题．

12．【分析】根据分布列的性质即可求出的值，由此即可求出期望．

【解答】解：由离散型随机变量的分布列的性质可得：，

解得，

则，

故答案为：．

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质以及期望，考查了学生的运算能力，属于基础题．

13．【分析】由频数统计表得：这个班级一共有40名学生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，由此能求出从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率；这个班有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，由此能求出抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率．

【解答】解：由频数统计表得：

这个班级一共有：名学生，

其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，

从这个班级中随机抽取一名学生，

则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为．

由频数统计表得：

这个班有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，

抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为．

故答案为：，．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．【分析】由抛物线方程即可求出和准线方程，再由抛物线的定义即可求出．

【解答】解：由抛物线的方程可得，准线方程为：，

则由抛物线的定义可得：，

故答案为：；5．

【点评】本题考查了抛物线的方程与定义，考查了学生对抛物线定义的理解能力，属于基础题．

15．【分析】①中，代入原点坐标验证即可；

②中，根据圆的标准方程判断即可；

③中，根据椭圆的标准方程判断即可；

④中，根据双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．

【解答】解：对于①，因为，时，，曲线不过坐标原点，①错误；

对于②，当时，曲线为表示圆，其半径为，所以②错误；

对于③，当时，曲线表示椭圆，且焦点在轴上，所以③正确；

对于④，当时，曲线表示双曲线，其渐近线方程为，

得，所以，其渐近线方程为，所以④正确．

综上知，所有真命题的序号是③④．

故答案为：③④．

【点评】本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．

三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】若选择条件①，联立直线方程求交点，再求斜率，利用直线方程的斜截式得答案；

若选择条件②，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求斜率，再由直线方程的斜截式得答案；

若选择条件③，设出直线方程，求出直线在轴上的截距，由三角形面积求得直线的斜率，再由直线方程的斜截式得答案．

【解答】解：选择条件①：

解方程组，得，

则直线的斜率为，

直线的方程为，即．

选择条件②：

设直线的方程为（显然直线的斜率存在），即．

圆的圆心为，半径为．

直线与圆相切，

，解得．

直线的方程为，即．

选择条件③：

设直线的方程为（显然直线不与坐标轴平行），

令，得．

则．

解得．

直线的方程为，即．

【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．

17．【分析】（Ⅰ）由点在抛物线上，求解．得到抛物线的方程，焦点坐标．

（Ⅱ）直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，求出坐标，然后求解距离即可．

【解答】解：（Ⅰ）由点在抛物线上，得．

所以抛物线的方程为，焦点坐标为．

（Ⅱ）直线的方程为，即，

解方程组得或

所以点的坐标为．

所以．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

18．【分析】先设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，

（Ⅰ）由袋中球的总数和红球的数目，结合古典概型公式计算可得答案，

（Ⅱ）根据题意，计算的值，由条件概率公式计算可得答案，

（Ⅲ）根据题意，计算、的值，相加即可得答案．

【解答】解：根据题意，设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，

则事件：第一次摸到白球．

（Ⅰ）袋中有10个球，第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，

所以，

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，，前两次都摸到红球的概率，

则；

（Ⅲ），则（A），，

则（B）；

所以第二次摸到红球的概率．

【点评】本题考查古典概型和条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．

19．【分析】（Ⅰ）用频率估计概率即可求解；（Ⅱ）写出的可能取值，求出对应的概率，由此可以求解；（Ⅲ）求出对应的频率再乘以总体，即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在，且未使用这款的共有人，

所以，随机抽取1名顾客，

估计该顾客年龄在，且未使用这款的概率为；

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，

则，，，

所以的分布列为：

故的数学期望为；

（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有人，

所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为：张．

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了用频率估计概率的数学以及学生的运算能力，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）证明，，．以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，计算，，推出，，然后证明平面．

（Ⅱ）求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：因为平面，，平面，

所以，．

因为底面为正方形，所以．

如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，

，0，，，2，，，2，，

因为，0，，2，，，2，，2，，

所以，，

又，

平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）因为为中点，所以，1，，．

设平面的法向量为，

则即

令，则．

由（Ⅰ）知，为平面的法向量，

所以，

由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

21．【分析】（Ⅰ）通过离心率为，经过点，求出，，求出，得到椭圆方程．

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程周长方程组，利用韦达定理以及判别式，结合斜率的数量积，推出的关系，求解直线系方程推出结果．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，验证求解即可．

【解答】（Ⅰ）解：由椭圆离心率为，且经过点，

可知．

所以．

所以．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得．

△．

设，，，，则．

因为以线段为直径的圆经过点，

所以．所以．

，

，

由，整理得．

解得或（都满足△．

所以或．

因为直线不过点，

所以直线过定点．

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

则，，，，．

，

解得或（舍．

综上直线过定点．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，直线系方程的应用，是难题．