2021北京丰台高一（上）期中数学（B）（教师版）

2021北京丰台高一（上）期中

数    学（B）

注意事项：

1．答题前，务必先将答题纸上的学校、年级、班级、姓名用黑色字迹签字笔填写清楚.

2．本次练习所有答题均在答题纸上完成.

3．请严格按照答题纸上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习、草稿纸上答题无效.

4．本练习共150分.练习时间120分钟.

第I部分（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设集合，则下列关系中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知命题：“，方程有实根”，则为（    ）

A. ，方程无实根

B. ，方程无实根

C. ，方程有实根

D. ，方程有实根

3. 下列函数中，是偶函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知均为正实数，且，那么的最小值为（    ）

A. 12 B. 9 C. 6 D. 3

6. “”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知下列四组函数：①，；②，；③，；④，其中与是同一个函数的组号为（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

9. 若关于的不等式解集为，则的取值范围是（    ）

A. 或 B.

C.  D.

10. 定义在R上的函数满足如下两个条件：①对，都有；②对，当时，都有.若，则（    ）

A.  B.

C.  D. 无法确定与大小关系

第II部分（非选择题共110分）

二、填空题:每小题5分，共25分.

11. 已知幂函数的图象经过点(2,4)，则_______．

12. _______.

13. ，，若，则的值为_______．

14. 已知奇函数定义域为,且在上的图象如下图.则_______；根据图象,写出满足函数值时的取值集合_______.

15. 设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.

现有三组函数：

①，；

②，；

③,

其中具有性质P的是______．（填上所有满足条件的组号）

三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知集合，集合.

（1）求；

（2）求；

（3）求．

17. 已知函数且，，函数的图象经过点.

（1）写出函数的解析式；

（2）在同一个坐标下用描点法作出函数的图象，并求出当函数值时，自变量的取值范围；

（3）当时，用表示中的最小者，记（例如，），求函数的值域.（请直接写出结果）

18. 已知二次函数.

（1）求函数单调区间和最小值；

（2）若函数满足         （ 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知），求的取值范围.（注意：只选一个，若两个都选，按选择①给分）

条件①：在区间上是单调函数；

条件②：，函数值恒成立.

19. 已知二次函数，.

（1）若函数只有一个零点，求的值；

（2）解关于的不等式

20. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，水价包括自来水价格和污水处理价格，即水价为两者价格之和.计费方法如下表：

（1）若某户居民本月缴纳的水费为48元，则此户居民本月的用水量是多少；

（2）试建立居民缴纳水费（单位：元）与居民用水量（单位：吨）的函数解析式.（用分段函数形式表示）

21. 已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；（不需证明）

（2）判断在区间（0,1）上的单调性，并用单调性定义证明；

（3）写出函数的值域.

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题4分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设集合，则下列关系中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合、集合与集合关系逐一判断即可得解.

【详解】解：因为，

所以，，所以C正确，ABD错误.

故选：C.

2. 已知命题：“，方程有实根”，则为（    ）

A. ，方程无实根

B. ，方程无实根

C. ，方程有实根

D. ，方程有实根

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称命题的否定为特称命题，以及全称命题的否定形式，即得解

【详解】根据全称命题的否定为特称命题，以及全称命题的否定形式，可得为

，方程无实根

故选：B

3. 下列函数中，是偶函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本初等函数的奇偶性判断可得；

【详解】解：对于A：为定义域上的奇函数；

对于B：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

对于C：定义域为，且，故为偶函数；

对于D：为定义在上的奇函数；

故选：C

4. 若，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用特殊值判断A、B，根据指数函数的性质判断C，根据幂函数的性质判断D；

【详解】解：因为，对于A，当，时，满足，但是，故A错误；

对于B：当时，，故B错误；

对于C：因为在定义域上单调递减，因为，所以，故C错误；

对于D：因在定义域上单调递增，因为，所以，故D正确；

故选：D

5. 已知均为正实数，且，那么的最小值为（    ）

A. 12 B. 9 C. 6 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，，且，所以，当且仅当时取等号，

故选：C

6. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】求出两个条件对应的集合即可判断.

【详解】由可解得或，由解得，

因为，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

7. 已知，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性，即可求出结果.

【详解】因为，所以；

又函数是上的增函数，所以.

故选：A.

8. 已知下列四组函数：①，；②，；③，；④，其中与是同一个函数的组号为（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的对应法则、定义域相同为相同函数，判断各项函数是否相同即可.

【详解】①且定义域，显然与定义域不同，不合要求；

②与的对应法则不同，不合要求；

③且定义域，且定义域，不合要求；

④等价于与的对应法则、定义域都相同，符合要求.

故选：D

9. 若关于的不等式解集为，则的取值范围是（    ）

A. 或 B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意分和两种情况讨论，当时，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：因为关于的不等式解集为，

当时，即，显然不成立；

当时，解得；

故选：B

10. 定义在R上的函数满足如下两个条件：①对，都有；②对，当时，都有.若，则（    ）

A.  B.

C.  D. 无法确定与的大小关系

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据已知条件得到函数偶函数，且时，函数为减函数，时，函数为增函数，再根据即可得到.

【详解】因为对，都有，所以函数为偶函数，

因为对，当时，都有，

所以时，函数为减函数.

又因为函数为偶函数，所以时，函数为增函数.

所以，则

故选：B

第II部分（非选择题共110分）

二、填空题:每小题5分，共25分.

11. 已知幂函数的图象经过点(2,4)，则_______．

【答案】

【解析】

【分析】由幂函数所过的点可得，即可求.

【详解】由题设，，可得.

故答案为：

12. _______.

【答案】5

【解析】

【分析】应用有理数指数幂的运算性质化简求值即可.

【详解】.

故答案为：5

13. ，，若，则的值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据，可得或再根据集合元素的互异性，即可求出结果.

【详解】因为，所以或即

当时，，不满足集合元素的互异性；

所以

故答案为：.

14. 已知奇函数的定义域为,且在上的图象如下图.则_______；根据图象,写出满足函数值时的取值集合_______.

【答案】    ①.     ②. 或

【解析】

【分析】根据函数的图像得到，再根据奇函数的性质得到.根据函数图像得到当时，函数为增函数，且，从而得到当时，函数为增函数，且，再根据单调性解不等式即可.

【详解】根据图像可知，因为函数为奇函数，

所以.

由图像知：当时，函数为增函数，且，

所以当时，函数为增函数，且，

若，则的取值集合为或.

故答案为：，或.

15. 设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.

现有三组函数：

①，；

②，；

③,

其中具有性质P的是______．（填上所有满足条件的组号）

【答案】①②③

【解析】

【分析】根据题意，对给定的①②③中的函数，结合零点的存在定理和判定是否有非零的实数解，即可求解.

【详解】对于①中，函数，可得，

当时，，符合题意；

对于②中，函数，可得，

设，则，即，

所以存在，使得，即；

对于③中，函数，可得，

则，符合题意.

故答案为：①②③.

三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知集合，集合.

（1）求；

（2）求；

（3）求．

【答案】（1）或.   

（2）.   

（3）或

【解析】

【分析】根据交集、并集、补集的定义计算可得；

【小问1详解】

解：因为，所以或；

【小问2详解】

解：因为，所以，所以，又. 

所以；

【小问3详解】

解：因为或，，

所以或；

17. 已知函数且，，函数的图象经过点.

（1）写出函数的解析式；

（2）在同一个坐标下用描点法作出函数的图象，并求出当函数值时，自变量的取值范围；

（3）当时，用表示中的最小者，记（例如，），求函数的值域.（请直接写出结果）

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由题设，结合已知求参数a，写出解析式.

（2）在坐标轴上分别对、描4个点，结合单调性即可画出函数图象，再利用指数函数的单调性求的取值范围；

（3）由（2）所得图象，结合画出的图象，即可确定值域.

【小问1详解】

∵的图象经过点，

∴，解得，又，则

∴.

【小问2详解】

因为，即,故 ，                       

又在区间上单调递增,

∴故的取值范围是

【小问3详解】

由（2）所得函数图象，结合的定义，可得在图象如下：

∴由图知：的值域为.

18. 已知二次函数.

（1）求函数的单调区间和最小值；

（2）若函数满足         （ 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知），求的取值范围.（注意：只选一个，若两个都选，按选择①给分）

条件①：在区间上是单调函数；

条件②：，函数值恒成立.

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，最小值为.   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的性质判断单调区间，结合开口方向确定最小值即可.

（2）根据所选的条件，①：讨论的单调性，结合（1）得到区间的包含关系求a的范围；②：根据函数不等式求自变量范围，再结合恒成立确定区间包含关系求a的范围；

【小问1详解】

∵的对称轴为

∴在上单调递减，在上单调递增，又开口向上，

∴当时，有最小值且 .

【小问2详解】

选①：在上单调，分两种情况，

1、在上递增，即，可得

2、在上递减，即，可得，则.

综上，或.

选②：由得：，解得，

由恒成立，即

∴，解得.

19. 已知二次函数，.

（1）若函数只有一个零点，求的值；

（2）解关于的不等式

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可.

（2）根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.

【小问1详解】

函数有一个零点，则，        

即，，

所以 .

【小问2详解】

不等式，所以，

①当时，不等式的解集为，

②当时，不等式的解集为，

③当时，不等式的解集为.

综上所述 ：

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

20. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，水价包括自来水价格和污水处理价格，即水价为两者价格之和.计费方法如下表：

（1）若某户居民本月缴纳的水费为48元，则此户居民本月的用水量是多少；

（2）试建立居民缴纳水费（单位：元）与居民用水量（单位：吨）的函数解析式.（用分段函数形式表示）

【答案】（1）吨   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意分别求出用水12吨和用水18吨所需的水费，从而可得出答案；

（2）根据计费方法表求出各段的函数解析式，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：由题知不超过12吨，水费单价3元；超过12吨，但不超过18吨的部分水费单价为6元；超过18吨的部分水费单价为9元，      

所以用水12吨共36元，用水18吨共元，

所以缴费48元超12吨但不足18吨，用水量为吨;

【小问2详解】

当时，；                   

当时，；     

当时，.       

所以.

21. 已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；（不需证明）

（2）判断在区间（0,1）上的单调性，并用单调性定义证明；

（3）写出函数的值域.

【答案】（1）奇函数.   

（2）在上单调递增，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）由函数的奇偶性的定义即可；

（2）根据函数的单调性即可判断并证明；

（3）分和讨论，运用基本不等式可求得值域.

【小问1详解】

解：函数是奇函数.

因为，定义域为R，关于原点对称，且，

故函数是奇函数.

【小问2详解】

解：在上单调递增.            

证明：
 

.                    

因为所以，所以，

又因为，所以

所以在上单调递增.

【小问3详解】

解：因为，所以.                           

当时，，所以

当时，，

所以

所以函数的值域为.