2022北京房山高一（下）期中数学（教师版）

2022北京房山高一（下）期中

数    学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（1）将转化为弧度为  

（A）           （B）          （C）          （D）

（2）若且，则角所在的象限是

（A）第一象限        （B）第二象限      （C）第三象限     （D）第四象限

（3）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过

点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是

（A），，                

（B），，

（C），，                 

（D），，

（4）已知半径为的扇形的面积为，则扇形的圆心角为

（A）             （B）           （C）            （D）

（5）函数是 

（A）周期为的奇函数    （B）周期为的奇函数

（C）周期为的偶函数   （D）周期为的偶函数

（6）已知向量，，若，则

（A） （B） （C） （D）

（7）若角的终边经过点，将角的终边绕原点O逆时针旋转与角的终边重合，则

（A） （B） （C） （D）

（8）设，是非零向量，则“”是“与共线”的

（A）充分不必要条件     （B）必要不充分条件

（C）充要条件      （D）既不充分也不必要条件

（9）已知角与都是任意角，若满足，则称与 “广义互余”．已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是

（A） （B）

（C） （D）

（10）对于函数，给出下列四个命题：

①该函数的值域为；

②当且仅当时，该函数取得最大值；

③该函数是以为最小正周期的周期函数；

④当且仅当时，.

上述命题中真命题的个数为

（A） （B） （C） （D）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）已知，则与角终边相同的最小正角是_____．

（12）函数的零点的个数是_____．

（13）若，且，则的取值范围是_____．

（14）已知是平行四边形对角线的交点，若，其中，则 _____．

（15）已知向量，，规定，之间的一种运算.若向量，运算，则向量_____.

（16）已知△为等腰直角三角形，且.给出下列结论：

①；②|；

③；④．

其中正确结论的序号为________．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分。

（17）（本小题满分分）

已知向量，，其中，，求：

（Ⅰ）和|的值；

（Ⅱ）与的夹角的余弦值．

（18）（本小题满分分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数的最大值，并写出取得最大值时，自变量的集合；

（Ⅲ）说明由余弦曲线经过怎样的变换,可以得到该函数的图象.

（19）（本小题满分分）

 已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

（20）（本小题满分分）

已知函数的图象过点.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调增区间；

（Ⅲ），总成立．求实数的取值范围.

（21）（本小题满分分）

如图，是半径为的圆的直径，点为圆周上一点，且，点为圆周上一动点.

(I)求的值；

(II)求的最大值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）    （12）  （13）       （14）     （15）  

（16）①②④

此题评分有2，3，5三个等级，其中只填对一个编号给2分，填对两个编号，给3分，填对三个编号，给5分.

三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分。

（17）（本小题满分分）

解：（Ⅰ）因为，

所以＝(－2)×(－1)＋1×2＝4，

所以＝5＋5＋2×(2＋2)＝18，

所以＝3.                                     ..........................9分

（Ⅱ）.                        ..........................14分

（18）（本小题满分分）

解：（Ⅰ）函数的最小正周期为；              ..........................4分

（Ⅱ）当，即时，有最大值，

此时自变量的集合为；              ..........................9分

（Ⅲ）先将图象上所有点向左平移个单位长度，

得到函数图象，再将函数

图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，

得到的图象.                   ..........................14分

（19）（本小题满分分）

  解：（Ⅰ） 因为sin α＝，

       所以.

因为<α<，所以.

所以.

所以.                               ..........................9分

（Ⅱ）原式=

=.                 ..........................14分

（20）（本小题满分分）

解：（Ⅰ）因为，

所以＋φ＝2kπ＋，.

因为0<φ<π，所以φ=.                               ........................4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： y＝

由2kπ－≤2x+≤2kπ＋，.

得：kπ－≤x≤kπ＋，.

所以函数的单调增区间为.     .................9分

（Ⅲ） 由，总成立，

      得 的最小值.

     因为，所以.

     所以当时，取得最小值.

     所以的取值范围是.                    ...........................14分

（21）（本小题满分分）

解法1：（I）因为是单位圆的直径，

所以,.

又因为，

所以.

所以

                  .                    ...........................6分

(II) 因为，                       

因为，

要使最大，则需最大，

而 为 在上的投影，    

当点与点重合时，最大，    

      此时 ，

所以的最大值为.                        ...........................14分      

解法2：（I）以圆心为原点，直径为轴建立平面直角坐标系，

      则.

      所以.

      所以. ................6分

（II）设，其中，

则.

                    .

    因为，

    所以当时，的最大值为.          ...........................14分