人教版数学七下培优提升训练专题5.10平行线的性质与判定大题（压轴篇）（解析版）

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一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）已知，．

(1)如图1，求证：
(2)如图2，点E位平面内一点，连接、，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作线段，连接，且，，过点B作交于点G，若，，，且的面积为36时，求线段的长．
2．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级阶段练习）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，
， ，
，
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，求的度数；
(3)深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且，．若，求度数．（用含n的代数式表示）
3．（2021·福建·福州十八中七年级期中）如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．
(1)求证：；
(2)如图2所示，点M、N在，之间，且位于E，F的异侧，连，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段上，点N在直线的下方，点P是直线上一点（在E的左侧），连接，，，若，，则请直接写出与之间的数量．
4．（2021·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）请作答：
(1)图，图均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．
①如图，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；
②如图，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点在，两点之间运动时，若，的角平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．
5．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
6．（2022·河北·武邑武罗学校七年级期末）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
7．（2022·江苏·江阴市周庄中学七年级阶段练习）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
8．（2022·山东日照·七年级期末）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到．求证：．
解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作，
则有（______）．
∵，
∴（______）．
∴（______）．
∴,
又∵
∴．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
（2）已知：直线，点A，B在直线m上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分，DE平分，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图2，当点D在点C的左侧时，若，，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求的度数；

②如图3，当点D在点C的右侧时，设，，请直接写出的度数（用含有，的式子表示）．
9．（2022·山西忻州·七年级期末）如图1，，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若，，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若，EF平分，，求的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作交CD于点I．当FH平分时，请直接写出的度数．
10．（2022·江苏宿迁·七年级期中）如图1，被直线所截，点E是线段上一点，过点E作，连接．
(1)与平行吗？为什么？
(2)将线段沿着直线进行平移，平移后得到的对应线段记为线段，连接；
①当线段在E点下方时，如图2，若，求的度数．
②在整个平移的过程中，当时，求的度数．
11．（2021·江苏无锡·七年级期中）如图①，已知直线ab，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求证：ABCO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
12．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图①，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，.
(1)请说明；
(2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．
①.如图②，当时，则的度数_____________；
②.在整个运动中，当时，_____________．
13．（2022·广东广州·七年级期末）如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，．
(1)求证：；
(2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系；
(3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：，）．
(1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，若，则_________．
(2)如图2，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，试判断此时与的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，使得，此时和满足什么关系？请说明理由．
(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，恰好与直线重合，求t的值（用含的式子表示）．
15．（2022·黑龙江·哈尔滨市第七中学校七年级阶段练习）如图1，，直线外有一点，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数．
16．（2022·河北·高阳县教育局教研室七年级期末）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
17．（2022·北京市第一六一中学七年级期末）如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，．
图1
图2
(1)求证：；
(2)当点G在点F的右侧时，
①依据题意在图1中补全图形；
②若，则α＝ 度；
(3)当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
18．（2022·北京市第十九中学七年级期中）如图，直线，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当时，作等边，平分，交直线a于点M，平分，交直线b于点N，将绕点B转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得，的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出与之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
19．（2022·北京·测试·编辑教研五七年级阶段练习）已知直线，点E，F分别在直线上，．点P是直线上的动点（不与E重合），连接，和的平分线所在直线交于点H．
(1)如图1，若，点P在射线上．则当时，
；
(2)如图2，若，点P在射线上．
①补全图形；
②探究与的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若，直接写出与的数量关系（用含α的式子表示）．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
21．（2021·山东·德州市第五中学七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
22．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，平分，将绕点按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中：
(1)如图，，当______时，，当______时，；
(2)如图，，当顶点在内部时（不包含边界），边、分别交、的延长线于点、，
①此时的度数范围是______．
②与度数的和是否变化？若不变，求出与的度数和；若变化，请说明理由：______．
(3)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点，则与有什么关系______．
(4)如图，将绕点按逆时针方向旋转过程中，边与射线有交点，边与射线有交点、请在备用图中画出其他可能位置，并写出与的关系______．
23．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级阶段练习）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，在中，，可知，所以为2倍角三角形．
(1)在中，，则为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线被直线EF所截交点分别为E、F，，与的平分线交于点G，若是6倍角三角形，求．
(3)图中平分，平分，问是几倍角三角形，为什么？
(4)在中，，若既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数．
24．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）如图1，直线，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若，．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，时，求∠CDE的度数.
25．（2022·浙江·义乌市稠州中学七年级期中）如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
26．（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：_________，_________．
(2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，
①请直接写出__________，________（结果用含n的代数式表示）；
②若恰好是的倍，求n的值．
(3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则_______
②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
27．（2022·浙江·义乌市稠州中学七年级阶段练习）如图1，已知，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；
(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）
28．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点．
(1)如图，平分，若，求的度数．
(2)如图，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论．
29．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
30．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）如图，已知 ，的平分线与的平分线相交于点．
(1)如图，求证：
(ⅰ)；
(ⅱ)．
(2)如图，，，则与之间的关系为______；
(3)当，且时，直接写出的度数用含、的式子表示．
若，E为AB，CD之间一点，则有