2023年陕西省榆林市榆阳区中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省榆林市榆阳区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的立方根为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，该组合体的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  一块含角的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，点为的重心，连接，并延长分别交，于点，，连接，若，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一次函数的图象过点，且随的增大而增大，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D.

7.  如图，是的直径，内接于，，，，则的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  在实数，，，中，最小的一个数是______ ．

10.  如果正边形的一个内角与一个外角的比是：，则______．

11.  我国古代数学名著孙子算经有估算方法：“方五，邪通“斜”七，见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为，由勾股定理得对角线长为，依据孙子算经的方法，则它的对角线的长是______．

12.  如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点和顶点，点、在轴上若点的坐标是，则点的坐标是______ ．

13.  如图，在▱中，，，，点为边上一点，且，点为▱的中心，连接并延长交边于点，过点作于点，交于点，则四边形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共104.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

 

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，在菱形中，点是边上一点，连接，点，是上两点，连接，，，求证：．

19.  本小题分
如图，在中，，，，点是上一点，连接，，求的长度．

20.  本小题分
某商场举办“乐享五一”购物活动时，某品牌电器开展“砸金蛋，领奖品”活动，购买该品牌电器的顾客都有一次砸金蛋的机会，小华和小田两人相约去购买电器，他们两人都购买了该品牌的电器，经商议，砸金蛋的规则为：商家提供了个金蛋，其中两个有奖品，其余两个没有奖品，商家让小华先执锤随机砸一个，小田再从剩余的三个随机选一个砸．
小华砸到有奖品的金蛋的概率为______ ；
请利用树状图或列表法求小华和小田至少有一人领到奖品的概率．

21.  本小题分
青少年是祖国的未来，民族的希望，有效保护、积极促进青少年身心健康成长十分重要某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重均取整数，单位：，并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：

已知组的具体体重为单位：：，，，，，，，
根据以上信息，回答下列问题：
填空： ______ ，所抽取学生体重的中位数是______ ；
所抽取学生平均体重为，小敏的体重是小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
如果该校九年级有名学生，请估算九年级体重高于的学生大约有多少人？

22.  本小题分
“榆林风情”的设计理念来源于榆林的人文历史和社会历史以及地域特点如图，雕塑的“拱形部分”代表着黄土塬和大漠的地貌特征，内容上选取了最能反映榆林历史和社会文化的一些场景在阳光明媚的一天，某综合实践小组带上测量工具去测量该雕塑最高点到地面的距离，如图，首先，某一时刻，甲同学站在雕塑影子末端处，此时甲同学的影子为，甲同学的身高，；乙同学在处手持一个直角三角形纸板，使直角边与水平地面平行，调整自己的位置，使斜边与点在同一条直线上，，，；，，，点，，，在一条水平线上，请你求出该雕塑最高点到地面的距离．

 

23.  本小题分
如图，已知圆柱形水槽的高为，在圆柱形水槽中放入一个正方体铁块，现以一定的速度往水槽中注水，图是圆柱形水槽内水面高度随时间分钟变化的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：
水槽内正方体铁块的边长为______ ；
求所在直线的函数关系式；
该水槽恰好注满水需要多少分钟？

24.  本小题分
如图，在中，以为直径作，分别交，于点，，，过点作的切线，连接，．
求证：；
若的直径为，，，求的长．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴，直线与轴交于点．
求抛物线的函数表达式；
点在直线上，且，点，是抛物线上的动点，点在点的左侧，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
问题提出：如图，在中，将线段向左平移到的位置，点，的对应点分别是，，连接，交于点，若，，则 ______ ；
问题探究：如图，在等边中，点是右侧平面上一点，连接，，，以点为旋转中心将顺时针旋转，得到，连接，若，，求线段的最小值；
问题解决：如图，要在一块空地上规划出一个四边形景观湖，连接，根据规划要求米，与所夹锐角为考虑游客安全问题的同时达到美观的效果，现要沿和修建绿化带宽度忽略不计为节省费用要使绿化带的总长最短，问的长度是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的立方根为．
故选：．
直接根据立方根的定义解答即可．
本题考查的是立方根，熟知立方根的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该组合体从正面看应该看到的是上面一个等腰三角形，下面是一个矩形，且等腰三角形的底边长小于矩形在水平方向的边长，
故选项C正确，
故选：．
根据几何体的三视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形，对每个选项分别判断、解答．
本题主要考查了几何体的三视图，掌握几何体的主视图、左视图和俯视图，是分别从几何体的正面、左面和上面看物体而得到的图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
．
，，
．
直尺的对边互相平行，
．
故选：．
根据平角的定义得到，再根据三角形外角性质得到，最后根据平行线的性质即可解答．
本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质等知识点，熟记“两直线平行，内错角相等”及三角形外角的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A错误，该选项不符合题意；
，故B错误，该选项不符合题意；
，故C错误，该选项不符合题意；
，故D正确，该选项符合题意，
故选：．
根据同底数幂除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，逐一计算即可解答．
本题考查了同底数幂除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，熟知相应计算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点为的重心，
点为的中点，点为的中点，
为的中位线，
，
，
，
故选：．
根据点为的重心，可知点为的中点，点为的中点，即可求解．
本题考查了三角形重心的概念，知道重心是中线的交点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得．
故选：．
由随的增大而增大，根据一次函数的性质得；再由于一次函数的图象过点，则，然后解方程，求出满足条件的的值．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数的性质，解决本题的关键是掌握一次函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
；
，
弧弧，
，
，
的半径．
故选：．
连接，根据圆周角相等，得弧弧，可得，再根据勾股定理即可求出的半径．
本题考查圆的性质，勾股定理等；熟练掌握圆周角、弧、弦之间的关系式解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于两盏警示灯、距离水面都是米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即，
解得，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：米．
故选：．
已知抛物线上距水面高为米的、两点，可知、两点纵坐标为，把代入抛物线解析式，可求、两点的横坐标，根据抛物线的对称性求长．
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，注意利用函数对称的性质来解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
所以最小的一个数为；
故答案为：．
根据“正数负数”、“负数比较大小，绝对值大的反而小”即可判断．
本题考查实数的大小比较，属于基础题，理解实数大小比较的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设外角为，则其内角为，
则，
解得：，
外角为，
正边形外角和为，
，
故答案为：．
设外角为，则其内角为，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．
本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，正方形边长为的对角线长为，
故答案为：．
根据题意先将边长乘以七再除以五即可．
本题主要考查了正方形的性质，读懂题意是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入得：
，
又是矩形对角线的交点，在轴上，
，
又反比例函数的图象经过点，
，
点的坐标是．
故答案为：．
把代入解析式求出值，然后利用中点解题求出点的纵坐标，代入解析式求出坐标解题．
本题考查反比例函数的图象，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，，，
≌，
，
在中，由，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
的面积为，
在中，，，
，，
可得到的面积为，
四边形的面积为
故答案为：．
由平行四边形的性质，可得，在中，由，，可得到，从而可得，进而得到四边形是矩形，即，在中，，，可得到的面积为，在中，，可得到的面积为，从而可得到四边形的面积为．
本题主要考查了平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，作辅助线构造矩形，利用矩形的对边相等得出结论是解决问题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先化简二次根式、去绝对值和计算平方差公式，然后合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】解：，，，
解得，
在数轴上表示不等式的解集，如图，
 

【解析】先解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
 

16.【答案】解：



． 

【解析】先化简小括号内的式子，将括号外的除法转为乘法，然后约分即可．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
 

17.【答案】解：点如图所示：

理由如下：
，
，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】过点作直线的垂线交于一点，点即为所求．
本题考查了作图，掌握过一点作直线的垂线，根据三角形相似得出结论是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即． 

【解析】证明≌，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，
，
，，，
，
，
，
故CD的长度是． 

【解析】先根据，求出，再利用三角比解直角三角形，求出线段的长度，再根据，最后利用线段的和差求解即可．
本题主要考查了利用三角比解直角三角形，能根据特殊三角函数值求出角度是解答此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意可知：小华砸金蛋共有种可能性，其中中奖的情况数为，则小华砸到有奖品的金蛋的概率为．
故答案为．
设有奖品的用，表示，设有奖品的用，表示，画出树状图如下：

共有种等可能的结果其中至少有一人领到奖品的情况有种．
至少有一人领到奖品的概率为．
由题意可知：小华砸金蛋共有种可能性，其中中奖的情况数为，然后根据概率公式求解即可；
设有奖品的用，表示，设有奖品的用，表示；然后画出树状图确定所有情况数和其中至少有一人领到奖品的情况数，然后运用概率公式求解即可．
本题主要考查了运用概率公式求概率、用树状图求概率等知识点，灵活运用相关求概率的方法是解答本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：调查的总人数为人，
，
一共调查了人，
中位数是第人的体重，
又组人，组人，组人，
中位数在组，
组的具体体重为单位：：，，，，，，，，
中位数为，
故答案为：，；
不正确．
因为小敏的体重是高于中位数，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
，
答：估计九年级体重高于的学生大约有人．
利用组的人数除以对应的百分数，求出总人数，然后用总人数减去其余各组人数即可求出的值，根据中位数的定义求解即可；
根据中位数判断即可；
用总人数乘以高于所占的百分比即可求解．
本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布表能清楚地表示出每组的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】解：过点作于点，则，．

由题意可得，，，
∽，
，即，
．
，
由题意可得，，，
∽，
，即．
．
解得．
该雕塑最高点到地面的距离为． 

【解析】过点作于点，则∽，可以求出，再证∽得到解得的长．
本题考查相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：两个一次函数图象交点坐标为，故水槽内正方体铁块的边长为．
故答案为：．
设所在直线的函数关系式为．
将，代入．
，
解得．
所在直线的函数关系式为．
令，则，
解得．
该水槽恰好注满水需要分钟．
由函数图象，即可解答；
设所在直线的函数解析式为，将，代入函数，即可解答；
将代入函数解析式即可解答．
本题考查了一次函数的应用，熟练运用待定系数法求一次函数是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，即，
，
，
点是的中点，
，即，
是的切线，
，即，
，
；
解：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
的直径为，
，
在中，，
． 

【解析】根据，易得，，，由点是的中点，可得，由是的切线，可得，即可证明；
由，可得，，证得，可得四边形是平行四边形，，根据勾股定理得，可得．
本题考查了切线的性质，圆的基本性质、平行四边形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：把点，代入，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
将抛物线化为顶点式为：，
点在直线上，
垂直于轴，
以点、、、为顶点的四边形是菱形，
当为边时，要使，即轴，
点、是抛物线上的动点，点在点的左侧，
此时不存在、使得以点、、、顶点的四边形是菱形，
当为对角线时，
点在轴上方时，过的中点作轴的平行线，与抛物线的交点分别是、．
，
，即，
，解得，，
，，
点在轴下方时，过的中点作轴的平行线，与抛物
线的交点分别是、，
，
，
解得，，
，，
综上，存在点、使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点、的坐标分别是、或、．
 

【解析】将，代入函数，根据待定系数法，即可解答；
分类讨论，即分成当为边时或当为对角线时，再将为对角线时的情况，分为点在轴上方时或点在轴下方时，逐一解答即可．
本题考查了求二次函数的解析式，菱形的性质，本题难度较大，能正确地分类讨论以及画出正确的图形是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
，
，
，
．
故答案为：；
如图，连接．

以点为旋转中心将顺时针旋转，得到．
，，
是等边三角形，
．
为等边三角形，
，，
，
≌，
．
当，，三点共线时，有最小值，
，
的最小值为．
如图，以点为旋转中心将逆时针旋转，得到，连接、，设与交于点，则，，

是等边三角形，
，
，
，
与所夹锐角为，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由图可得，
长的最小值是的长，即当点、、三点共线时的长最小，
米，
的长度的最小值是米．
先根据平移的性质，得到，，再根据平行的性质求出度数，根据内角和求出，即可求得度数；
根据旋转的性质，先证、是等边三角形，进而可证得≌，则，当，，三点共线时，有最小值，即可得到答案；
根据旋转的性质，先证是等边三角形，再证得四边形是平行四边形，则，那么，由图可得，长的最小值是的长，即当点、、三点共线时的长最小．
本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形、平行四边形的判定及性质、以及两点之间线段最短的应用、旋转的性质等，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键．