2021年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟试卷（二）解析版

这是一份2021年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟试卷（二）解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的算术平方根是（ ）
A．B．±C．D．
2．（3分）如图，这是一个由2个大小不一样的圆柱组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
4．（3分）如图，点A是y关于x的函数图象上一点，当点A沿图象运动，横坐标增加4时，相应的纵坐标（ ）
A．减少1B．减少2C．增加1D．减少3
5．（3分）计算的结果是（ ）
A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4
6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，则线段DF的长度为（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（ ）
A．7B．6C．4D．8
8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．6C．8D．12
10．（3分）抛物线y＝x2+bx+2的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．1≤t＜5B．t≥1C．5＜t＜10D．1≤t＜10
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在，3.14，，﹣3，中，无理数有 个．
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长分别为 ．
13．（3分）如图，点A，B为反比例函数y＝在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若B点的横坐标是A点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣2，则k的值为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣1）2021﹣+﹣2cs30°．
16．（5分）计算：（﹣）÷．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，请利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使∠DBC＝35°（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．
求证：ME＝NE．
19．（7分）教育部日前发出通知，进一步加强中小学生睡眠管理工作，为保证中小学生享有充足的睡眠时间，必须切实减轻学生课业负担．某中学为调查本校学生平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题．
（1）所调查学生平均每天做作业所用时间的中位数是 小时，并补全条形统计图；
（2）求所调查学生平均每天做作业所用时间的平均数；
（3）若该校共有1200名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生平均每天做作业时间少于3小时的学生共有多少名？
20．（7分）如图，已知雕塑底座AB为12.8米，小军及其小组成员想利用所学知识测量塑像的高度BE，测量方法如下：在地面上的点C处测得塑像顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝7.2米，从点D测得塑像底端B的仰角为45°，已知点A、B、E在同一条垂直于地面的直线上，点C、D、A在一条直线上．请你根据以上信息，求塑像的高度BE．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
21．（7分）某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称：手账本），已知档案袋10元/个，手账本15元/本，经了解，厂家有两种优惠方案：方案一，购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过20个时，每个都按九折优惠，超过20个时，超过部分每个按七折优惠；方案二，档案袋和手账本都按原价的八折优惠．若该公司购买x个档案袋，10本手账本．
（1）请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式；（2）若该公司决定购买档案袋30个，请你通过计算，在两种方案中，帮助该公司选择所花总费用较少的一种．
22．（7分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校团委将举办文艺演出．小明和小亮计划结伴参加该文艺演出．小明想参加唱红歌节目，小亮想参加朗诵节目．他们想通过做游戏来决定参加哪个节目，于是小明设计了一个游戏，如图，分别把转盘A，B分成4等份和5等份，并在每一份内标上数字．游戏规则是：小明转动A转盘，同时小亮转动B转盘，当两个转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，则按照小明的想法参加唱红歌节目；当数字之积为偶数时，则按照小亮的想法参加朗诵节目．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）求A转盘停止后，指针指向奇数的概率；
（2）请利用画树状图或列表的方法，分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，并说明这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）如果tanB＝，⊙O的直径是5，求AE的长．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点B（1，3）和点A（4，0），过点B作直线BC∥x轴，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D．连接OB，是否存在点P，使得以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出对应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题探究：
（1）如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为 ；（2）如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；
问题解决：
（3）某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）
2021年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的算术平方根是（ ）
A．B．±C．D．
【分析】利用算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴的算术的平方根是．
故选：D．
2．（3分）如图，这是一个由2个大小不一样的圆柱组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看可得两个同心圆．
故选：B．
3．（3分）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到∠BOC的度数，再根据角平分线即可得出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝80°，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠BOC＝140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠3＝140°÷2＝70°．
故选：D．
4．（3分）如图，点A是y关于x的函数图象上一点，当点A沿图象运动，横坐标增加4时，相应的纵坐标（ ）
A．减少1B．减少2C．增加1D．减少3
【分析】由函数图象可知A点坐标，再将A点横坐标增加4，找出此时对应点的坐标，比较A点前后的纵坐标即可．
【解答】解：由函数图象可知A点坐标为（﹣2，4），当A点横坐标增加4时，对应点坐标为（2，1），
纵坐标增加1﹣4＝﹣3，即减少3．
故选：D．
5．（3分）计算的结果是（ ）
A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4
【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝m2n6÷n2
＝m2n4．
故选：C．
6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，则线段DF的长度为（ ）
A．2B．2C．4﹣2D．
【分析】根据已知的条件可证明△BDF≌△ADC，即可推出DF＝CD解决问题．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴BD＝AD，
∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，
∴∠AFE＝∠C，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD，
∵AB＝BC＝4，
∴BD＝，
∴DF＝CD＝4﹣，
故选：C．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（ ）
A．7B．6C．4D．8
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝3x+2经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝3x+2的直线解析式，从而可得直线y＝3x+2要向下平移6个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，
在直线y＝3x+2中，
当x＝0时，y＝2，
∴C点坐标为（0，2），
又∵OA＝4，
∴B（4，2），
当y＝3x+2经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分；
∵AC，BO是矩形OABC的对角线，
∴OD＝BD，
∵O（0，0），B（4，2），
∴D（2，1），
将直线l向下平移m个单位，
则平移后直线的解析式为y＝3x+2﹣m，
∵D（2，1），
∴1＝3×2+2﹣m，
解得m＝7，
故选：A．
8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝3，OB＝5，进而利用勾股定理得出AB的长，利用三角形中位线得出OE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC，
∵∠OCD＝90°，
∴∠BAO＝90°，
∴AB＝，
∵E是BC边的中点，OA＝OC，
∴2OE＝AB，
∴OE＝2，
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】连接OA，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠ABC，证明△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质得出OA＝AB＝4，则可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠C＝＝30°，
∴∠BOA＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
则⊙O的半径为4．
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝x2+bx+2的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．1≤t＜5B．t≥1C．5＜t＜10D．1≤t＜10
【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出b＝﹣2，则可把关于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2﹣2x+2﹣t（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围与x轴有交点（如图），结合图象和判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（2﹣t）≥0且x＝4时，y＞0，即16﹣8+2﹣t＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+2的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，解得b＝﹣2，
关于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0变形为x2﹣2x+2﹣t＝0，
把关于x的一元二次方程x2+bx+2﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2﹣2x+2﹣t（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围与x轴有交点（如图），
∴△＝（﹣2）2﹣4（2﹣t）≥0且x＝4时，y＞0，即16﹣8+2﹣t＞0，
解得1≤t＜10．
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）在，3.14，，﹣3，中，无理数有 2 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：3.14是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，，共2个．
故答案为：2．
12．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长分别为 2 ．
【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝4×＝2，
故答案为：2．
13．（3分）如图，点A，B为反比例函数y＝在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若B点的横坐标是A点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣2，则k的值为 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设B（t，），则可表示出A（2t，），由三角形中位线定理，EM＝OD＝t，EN＝OC＝，然后根据三角形面积公式得到关于k的方程，解此方程即可．
【解答】解：设B（t，），
∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，B点的横坐标是A点横坐标的一半，
∴A（2t，），
根据三角形中位线定理，EM＝OD＝t，EN＝OC＝，
∴阴影部分的面积＝EM•BE+＝+＝k﹣2，
∴•+•t＝k﹣2．
解得，k＝，
故答案为．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为 ．
【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小．
【解答】解：在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．
∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，
∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，
∴＝，∠BAM＝∠HAN，
∴△BAM∽△HAN，
∴∠AHN＝∠B＝90°，
∵∠AHB＝45°，
∴∠NHC＝45°，
∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．
当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小，
∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，
∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，
∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，
∴∠CTJ＝90°，
∴CJ＝＝＝，
故答案为．
三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）
15．（5分）计算：（﹣1）2021﹣+﹣2cs30°．
【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（﹣1）2021﹣+﹣2cs30°
＝﹣1﹣4+2﹣2×
＝﹣5+2﹣
＝﹣5+．
16．（5分）计算：（﹣）÷．
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，最后算乘法即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，请利用尺规作图法在边AC上求作一点D，使∠DBC＝35°（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，然后作∠ABC的平分线交AC于D．
【解答】解：如图，点D为所作．
18．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．
求证：ME＝NE．
【分析】先证四边形AMEN是平行四边形，由菱形的性质可得AB＝AD，可得AM＝AN，可证四边形AMEN是菱形，可得ME＝NE．
【解答】证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵BM＝DN，
∴AB﹣BM＝AD﹣DN，
∴AM＝AN，
∴四边形AMEN是菱形，
∴ME＝NE．
19．（7分）教育部日前发出通知，进一步加强中小学生睡眠管理工作，为保证中小学生享有充足的睡眠时间，必须切实减轻学生课业负担．某中学为调查本校学生平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题．
（1）所调查学生平均每天做作业所用时间的中位数是 3 小时，并补全条形统计图；
（2）求所调查学生平均每天做作业所用时间的平均数；
（3）若该校共有1200名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生平均每天做作业时间少于3小时的学生共有多少名？
【分析】（1）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数做作业所用时间的中位数；根据总人数是50人，减去其他各项人数即可得出平均每天做作业时间为4小时的人数，即可补全条形统计图；
（2）理由加权平均数公式计算即可；
（3）根据以上调查结果即可估计该校全体学生每天做作业时间少于3小时的学生人数．
【解答】解：（1）由题意可知，把50名同学生平均每天做作业时间从小到大排列，排在中间的两个数均为3，所以所调查学生平均每天做作业所用时间的中位数是 3小时；
被调查了50名同学平均每天做作业时为4小时的人数为：50﹣6﹣12﹣16﹣8＝8（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：3；
（2）1200×＝432（人）．
答：该校全体学生平均每天做作业时间少于3小时的学生约有432名．
20．（7分）如图，已知雕塑底座AB为12.8米，小军及其小组成员想利用所学知识测量塑像的高度BE，测量方法如下：在地面上的点C处测得塑像顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝7.2米，从点D测得塑像底端B的仰角为45°，已知点A、B、E在同一条垂直于地面的直线上，点C、D、A在一条直线上．请你根据以上信息，求塑像的高度BE．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】由等腰直角三角形的性质得出AD＝AB＝12.8米，解直角三角形求出AE＝20•tan60°＝20（米），则可求出BE．
【解答】解：由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝12.8米，
∵CD＝7.2米，
∴AC＝AD+CD＝12.8+7.2＝20（米），
在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝20米，
∴AE＝20•tan60°＝20（米），
∵AB＝12.8米，
∴BE＝AE﹣AB＝（20﹣12.8）米，
∵≈1.73，
∴BE≈1.73×20﹣12.8＝21.8米．
即塑像BE的高度为21.8米．
21．（7分）某公司计划从厂家采购一批“秦岭四宝国潮档案袋”（以下简称：档案袋）和“秦岭四宝国潮手账本”（以下简称：手账本），已知档案袋10元/个，手账本15元/本，经了解，厂家有两种优惠方案：方案一，购买手账本没有优惠，购买档案袋不超过20个时，每个都按九折优惠，超过20个时，超过部分每个按七折优惠；方案二，档案袋和手账本都按原价的八折优惠．若该公司购买x个档案袋，10本手账本．
（1）请分别求两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式；（2）若该公司决定购买档案袋30个，请你通过计算，在两种方案中，帮助该公司选择所花总费用较少的一种．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出两种方案下该公司购买档案袋和手账本所需的总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式；
（2）将x＝30代入（1）中相应的函数解析式，求出两种方案下的花费情况，然后比较大小，即可得到选择哪个方案所花总费用较少．
【解答】解：（1）由题意可得，
方案一：当0＜x≤20时，y＝10x×0.9+15×10＝9x+150，
当x＞20时，y＝10×0.7（x﹣20）+10×0.9×20+15×10＝7x+190，
即y＝；
方案二：y＝（10x+15×10）×0.8＝8x+120；
（2）当x＝30时，
方案一的花费为：7×30+190＝400（元），
方案二的花费为：8×30+120＝360（元），
∵400＞360，
∴在两种方案中，选择方案二．
22．（7分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校团委将举办文艺演出．小明和小亮计划结伴参加该文艺演出．小明想参加唱红歌节目，小亮想参加朗诵节目．他们想通过做游戏来决定参加哪个节目，于是小明设计了一个游戏，如图，分别把转盘A，B分成4等份和5等份，并在每一份内标上数字．游戏规则是：小明转动A转盘，同时小亮转动B转盘，当两个转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，则按照小明的想法参加唱红歌节目；当数字之积为偶数时，则按照小亮的想法参加朗诵节目．如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）求A转盘停止后，指针指向奇数的概率；
（2）请利用画树状图或列表的方法，分别求他们参加唱红歌和朗诵节目的概率，并说明这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）首先根据题意画出树状图得出所有等可能的结果与之积为奇数、偶数的情况数，再利用概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为A转盘被平均分成4等份，分别是1，2，3，5，
所以指针指向奇数的概率；
（2）根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中两个转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数的有9种，数字之积为偶数的有11种，
则小明的想法参加唱红歌节目的概率是，小亮的想法参加朗诵节目概率是，
∵＜，
∴这个游戏规则对小明、小亮双方不公平．
23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）如果tanB＝，⊙O的直径是5，求AE的长．
【分析】（1）连接AD，OD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，推出AB∥OD，根据切线的性质即可得到结论；
（2）设AD＝k，BD＝2k，根据勾股定理得到AB＝＝k，求得AD＝，BD＝2，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴AB∥OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AB；
（2）解：∵tanB＝＝，
∴设AD＝k，BD＝2k，
∴AB＝＝k，
∵AB＝AC＝5，
∴k＝，
∴AD＝，BD＝2，
∵S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，
∴DE＝＝2，
∴AE＝＝＝1．
24．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点B（1，3）和点A（4，0），过点B作直线BC∥x轴，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D．连接OB，是否存在点P，使得以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出对应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先设出点P的坐标，分点P在B的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形的性质即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A，B代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x；
（2）若点P在点B的左侧，如下图，
设点P（x，﹣x2+4x），
∵以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，
∴或，
∴或，
解得x＝0或x＝1或x＝﹣，
当x＝1时，P与B重合，故x＝1舍去，
∴x＝0或x＝﹣，
当x＝0时，y＝0，当x＝﹣时，y＝﹣，
∴点P的坐标为（0，0）或（﹣，﹣），
若点P在点B的右侧，如下图，
∵以B，D，P为顶点的三角形与△BOC相似，
∴或，
∴或，
解得x＝1或x＝6或x＝，
当x＝1时，P与B重合，故舍去，
当x＝6时，y＝﹣12，当x＝，y＝，
∴P的坐标为（6，﹣12）或（，），
综上，点P的坐标为（0，0）或（﹣，﹣）或（6，﹣12）或（，）．
25．（12分）问题探究：
（1）如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为 4 ；（2）如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；
问题解决：
（3）某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）
【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．S矩形ABCD＝2S△ABC＝•BE＝3AC＝3（x+y），求出x+y的最小值，可得结论．
（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．证明△PAM∽△NTP，推出＝，可得BN＝﹣200，设总费用W万元，则W＝0.8××x×10×+0.2××（﹣200）×200×＝60x+﹣6000，求出W的最小值，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝（）2＝4，
∵S△ABE＝16，
∴S△CDE＝4．
故答案为：4．
（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．
∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，
∴S矩形ABCD＝2S△ABC＝•BE＝3AC＝3（x+y），
∴x+y的值最大时，矩形的面积最小，
∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，
∴△AEB∽△BEC，
∴＝，
∴BE2＝AE•EC，
∴xy＝9，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴x2+2xy+y2≥4xy
∴（x+y）2≥4xy，
∴（x+y）2≥36，
∴x+y≥6．
（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BP＝BT，∠PBT＝60°，
∴△PBT是等边三角形，
∴PB＝BT＝PT，
∵AB＝300米，
∴PA＝100（米），PB＝200（米），
∴PT＝BT＝200（米），
∵∠APN＝∠APM+∠MPN＝∠PBN+∠PNB，∠MPN＝∠PBN＝120°，
∴∠APM＝∠PNB，
∵∠A＝∠T＝60°，
∴△PAM∽△NTP，
∴＝，
∴＝，
∴BN＝﹣200，
设总费用W万元，则W＝0.8××x×10×+0.2××（﹣200）×200×＝60x+﹣6000，
∵60x+≥2，
∴60x+≥12000，
∴W≥6000，
∴建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用6000万元．