2023年陕西省榆林市神木市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年陕西省榆林市神木市中考数学一模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省榆林市神木市中考数学一模试卷
一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分)
1．手机移动支付给生活带来便捷，若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信出支3元应表示为（　　）
A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元
2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．2023年3月11日、13日，全国政协十四届一次会议、十四届全国人大一次会议先后闭幕．2023年政府工作报告指出，2023年中国经济预期增长5%左右，新增城镇就业目标上调至12000000人左右，数据12000000用科学记数法表示应为 （　　）
A．12×106 B．1.2×108 C．1.2×107 D．1.2×106
4．如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，若∠B＝40°，则∠F的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
5．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝mx﹣1（m是常数）的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣2，1），则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，若点E为OB的中点，AB＝12，则劣弧的长为 （　　）

A．12π B．4π C．6π D．3π
8．把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为 （　　）
A．b＝﹣12，c＝32 B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
二、填空题。（共5小题，每小题3分，计15分）
9．分解因式：x3﹣4x2+4x＝　 　．
10．从七边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个七边形分成 　 　个三角形．
11．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明，构造如图1，大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么，图2是方程 　的几何解法．

12．如图，点A、B均在反比例函数，x＞0）的图象上，连接OA、OB，过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，已知点D为AC的中点，且△AOD的面积为3，若点B的横坐标为6，则点B的纵坐标为 　．

13．如图，AC为正方形ABCD的对角线，点O为AC的中点，点E为边AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，过点A作AP⊥EF于点P，连接DP，若正方形ABCD的边长为4，则DP的最小值为 　．（结果保留根号）

三、解答题。（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式组：．
16．先化简，再求值：，其中x＝3．
17．如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，请用尺规作图法在对角线BD上求作一点F，使△DEF∽△BDC．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，点D、E、F分别为△ABC的边AC、AB、BC的中点，连接DE、DF、EF、BD，BD与EF相交于点O，求证：OB＝OD．

19．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形ΔOA1B1（点A、B的对应点分别为A1B1），使ΔOA1B1与△OAB的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A1、B1 的坐标．

20．产权保护特别是知识产权保护是塑造良好营商环境的重要方面，保护知识产权就是保护创新，10年来，我国知识产权法律制度不断完善，保护力度持续增强．为增进社会公民对知识产权的了解、增强知识产权保护意识，校志愿者团队准备从A，B，C，D四名志愿者中通过抽卡片的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　 　事件；（填“随机”“不可能”或“必然”）
（2）请你用列表法或画树状图法求出A，B两名志愿者被选中的概率．
21．无定河，黄河一级支流，位于中国陕西省北部，是榆林市最大的河流，是榆林人的母亲河．某天，优优同学想测量无定河某段的宽度，如图所示，河对岸的直线m上有两棵大树A、B，优优同学在河边与直线m平行的直线n上取相距300m的C、D两点，用测角仪测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，AE⊥n于点E，根据以上数据，请你计算无定河该段的宽AE．（结果保留根号）

22．聂震宁委员提出，把孔子诞生日9月28日定为我国的“全国读书节”，以此唤醒3000年来国民读书的热情，进一步推动中华文化在全球范围的传播，某学校为更好地创设阅读环境，营造读书氛围，拟购进一批阅读书籍，经了解，从“好学书店”购进某种书籍的本数x（本）与所需的总价钱y（元）之间的关系如图所示，根据图中的信息，解答下列问题：
（1）从“好学书店”购进该种书籍10本时，所需的总价钱为 　 　元；
（2）当x＞20时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若购买不超过20本时，全部按原价购买，那么购买超过20本时，超过部分是按原价的几折购买？

23．文化自信是一个民族、一个国家以及一个政党对自身文化价值的充分肯定和积极践行，在全球化发展的背景下，面对纷繁复杂的国际形势和日益激烈的竞争，若要在激荡的形势下始终屹立不倒，就要坚定文化自信，注重对本民族优秀传统文化的传承与弘扬，增强国家软实力．某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理和分析如下：
【数据收集】
八年级：80，80，80，90，70，70，90，100，100，80
九年级：70，90，90，100，80，70，90，90，80，100
【数据整理】

【数据分析】
年级
众数
中位数
平均数
八年级
a
80
84
九年级
90
90
b
根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题：
（1）扇形图中m＝　 　，表中a＝　 　，并补全条形统计图；
（2）请计算表中b的值；（需写出计算过程）
（3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分（100分）？
24．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：BD∥CP；
（2）若 cosP＝，BD＝24，求BP的长．

25．如图，抛物线的顶点坐标为P（2，6），且与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点D为该抛物线的对称轴上的点．
（1）求该抛物线的函数表达式和点A的坐标；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点E，使得△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

26．操作发现：
（1）如图1，小明将矩形纸片ABCD（AD＞AB）沿CE折叠，使点D落在BC边上的点处，然后把纸片展开铺平，则四边形CDED′的形状是 　 　；
深入探究：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B与坐标原点O重合，顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上．将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在x轴上的点D′处，然后把矩形展开铺平；再将矩形ABCD沿EF折叠，点B恰好落在CD边上的点B′处，点A落在点A′处，A′B′交AD于点M，B′F交CE于点N．
①求证：MB'＝ME；
②若点A的坐标为（0，6），B'C＝2DB'，求点N的坐标．



参考答案
一、选择题。(共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的)
1．手机移动支付给生活带来便捷，若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信出支3元应表示为（　　）
A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
解：若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信出支3元应表示为﹣3元．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．2023年3月11日、13日，全国政协十四届一次会议、十四届全国人大一次会议先后闭幕．2023年政府工作报告指出，2023年中国经济预期增长5%左右，新增城镇就业目标上调至12000000人左右，数据12000000用科学记数法表示应为 （　　）
A．12×106 B．1.2×108 C．1.2×107 D．1.2×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：12000000＝1.2×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，若∠B＝40°，则∠F的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平移的性质即可求解．
解：在△ABC中，AB＝BC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠A＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵将△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，
∴∠F＝∠ACB＝70°．
故选：D．
【点评】此题考查了平移的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝mx﹣1（m是常数）的图象向下平移2个单位长度后经过点（﹣2，1），则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据一次函数的平移，可知平移后的解析式，再将点（﹣2，1）代入平移后的解析式即可求出m的值．
解：根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为y＝mx﹣1﹣2，
将点（﹣2，1）代入y＝mx﹣3，
得﹣2m﹣3＝1，
解得m＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故选：C．
【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB于点E，若点E为OB的中点，AB＝12，则劣弧的长为 （　　）

A．12π B．4π C．6π D．3π
【分析】连接OD，根据CD⊥AB于，点E为OB的中点，可得OC＝2OE，所以∠C＝30°，根据等腰三角形的性质得∠COD＝120°，根据弧长公式即可求出答案．
解：如图，连接OD，

∵CD⊥AB于，点E为OB的中点，
∴OC＝2OE，
∴∠C＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠D＝∠C＝30°，
∴∠COD＝120°，
∵AB＝12，
∴OC＝6，
∴劣弧的长为＝4π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，正确求出∠COD＝120°是解题的关键．
8．把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为 （　　）
A．b＝﹣12，c＝32 B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6
【分析】将抛物线y＝x2﹣4x+3化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”，采取逆推的方法可得抛物线y＝x2+bx+c的解析式．
解：将抛物线y＝x2﹣4x+3化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣1，
将抛物线y＝x2﹣4x+3向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解析式为y＝（x﹣2+4）2﹣1+3，
即y＝x2+4x+6，
即抛物线y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2+4x+6，
∴b＝4，c＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数平移的特征，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
二、填空题。（共5小题，每小题3分，计15分）
9．分解因式：x3﹣4x2+4x＝　x（x﹣2）2　．
【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
解：x3﹣4x2+4x
＝x（x2﹣4x+4）
＝x（x﹣2）2，
故答案为x（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10．从七边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个七边形分成 　5　个三角形．
【分析】从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形．
解：当n＝7时，7﹣2＝5．
即可以把这个六边形分成了5个三角形，
故答案为：5．
【点评】本题考查了多边形的对角线，正确记忆从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形是解题关键．
11．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明，构造如图1，大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么，图2是方程 　x2+3x﹣10＝0（答案不唯一）　的几何解法．

【分析】仿照案例，构造面积是（x+x+3）2的大正方形，由它的面积为4×10+32，可求出x＝2，此题得解．
解：由图②知大正方形的面积是（x+x+3）2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×10+32，
∴图2可看出x（x+3）＝10的几何解法，
故答案为：x2+3x﹣10＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
12．如图，点A、B均在反比例函数，x＞0）的图象上，连接OA、OB，过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，已知点D为AC的中点，且△AOD的面积为3，若点B的横坐标为6，则点B的纵坐标为 　2　．

【分析】先用三角形的面积关系求得△AOC的面积，再应用k的几何意义求得k，最后代入B点坐标便可得解．
解：∵D为AC的中点，△AOD的面积为3，
∴△AOC的面积为6，
∵S△AOC＝，
∴k＝12，
∴双曲线解析式为：y＝，
把x＝6代入，得y＝＝2，
∴点B的纵坐标为2．
故答案为：2．

【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用△AOD的面积转化为△AOC的面积．
13．如图，AC为正方形ABCD的对角线，点O为AC的中点，点E为边AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，过点A作AP⊥EF于点P，连接DP，若正方形ABCD的边长为4，则DP的最小值为 　　．（结果保留根号）

【分析】取OA的中点H，连接DH、PH、OD，由题意可知OD⊥AC，OA＝OD，即可求得OA＝OD＝2，得到OH＝，利用勾股定理求得DH＝＝，根据直角三角形斜边中线的性质得出PH＝＝，根据三角形三边关系即可得到DP≥DH﹣PH＝﹣．
解：取OA的中点H，连接DH、PH、OD，
∵点O为AC的中点，AD＝4，
∴OD⊥AC，OA＝OD，
∴OA＝OD＝2，
∴OH＝，
∴DH＝＝，
∵AP⊥EF，AH＝OH，
∴PH＝＝，
∴DP≥DH﹣PH＝﹣，
∴DP的最小值为﹣，
故答案为：﹣．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
三、解答题。（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：．
【分析】先化简，然后合并同类二次根式和同类项即可．
解：
＝5+4+4+（﹣2）﹣7
＝4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
15．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由3（x+2）﹣x＞4，得x＞﹣1，
由，得x≤4，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】先通分，再做除法，约分化简，最后代值计算．
解：原式＝[]•
＝•
＝
＝；
当x＝3时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌握分式相关计算法则．
17．如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，请用尺规作图法在对角线BD上求作一点F，使△DEF∽△BDC．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】过E点作BD的垂线，垂足为F点，由于四边形ABCD为矩形，则AD∥BC，∠C＝90°，再根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DBC，则可判断Rt△DEF∽Rt△BDC．
解：如图，作EF⊥BD于点F，
则点F为所求．

【点评】本题考查了作图﹣相似变换：灵活运用相似三角形的判定方法是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
18．如图，点D、E、F分别为△ABC的边AC、AB、BC的中点，连接DE、DF、EF、BD，BD与EF相交于点O，求证：OB＝OD．

【分析】由三角形中位线定理即可证明DE∥BC，DF∥AB，得到四边形EBFD是平行四边形，因此OB＝OD．
【解答】证明：∵点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴DE、DF为△ABC 的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴OB＝OD．
【点评】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理，证明四边形EBFD是平行四边形．
19．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，﹣1）．
（1）在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形ΔOA1B1（点A、B的对应点分别为A1B1），使ΔOA1B1与△OAB的相似比为2：1；
（2）在（1）的条件下，分别写出点A1、B1 的坐标．

【分析】（1）延长BO到B1，使B1O＝2BO，延长AO到A1，使A1O＝2AO，连接A1B1，△OA1B1即为所求；
（2）根据图形确定出点A1、B1 的坐标即可．
解：（1）画出△OA1B1，如图所示：

（2）根据图形可得：点A1的坐标为（﹣6，﹣2），点B1的坐标为（﹣4，2）．
【点评】此题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解本题的关键．
20．产权保护特别是知识产权保护是塑造良好营商环境的重要方面，保护知识产权就是保护创新，10年来，我国知识产权法律制度不断完善，保护力度持续增强．为增进社会公民对知识产权的了解、增强知识产权保护意识，校志愿者团队准备从A，B，C，D四名志愿者中通过抽卡片的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是 　随机　事件；（填“随机”“不可能”或“必然”）
（2）请你用列表法或画树状图法求出A，B两名志愿者被选中的概率．
【分析】（1）由随机事件的定义即可得出结论；
（2）列表得出共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，再由概率公式求解即可．
解：（1）“A志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A
\
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
\
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
\
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
\
由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，
∴A，B两名志愿者被选中的概率为 ．
【点评】此题考查的是用列表法求概率以及随机事件的概念．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．无定河，黄河一级支流，位于中国陕西省北部，是榆林市最大的河流，是榆林人的母亲河．某天，优优同学想测量无定河某段的宽度，如图所示，河对岸的直线m上有两棵大树A、B，优优同学在河边与直线m平行的直线n上取相距300m的C、D两点，用测角仪测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，AE⊥n于点E，根据以上数据，请你计算无定河该段的宽AE．（结果保留根号）

【分析】设CE＝x米，则DE＝CD+CE＝（300+x）米，由各角之间的关系，可求出∠ACE＝45°，在Rt△AEC中，可找出AE＝x米，在Rt△ADE中，利用tan∠ADE＝，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，进而可得出无定河该段的宽AE．
解：设CE＝x米，则DE＝CD+CE＝（300+x）米．
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝180°﹣15°﹣120°＝45°．
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝x•tan45°＝x（米）；
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
∴tan30°＝＝，
∴x＝＝150+150，
经检验，x＝150+150是所列方程的解，且符合题意，
∴AE＝（150+150）米．
答：无定河该段的宽AE为（150+150）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及解分式方程，在Rt△AEC中，利用正切的定义找出关于x的分式方程是解题的关键．
22．聂震宁委员提出，把孔子诞生日9月28日定为我国的“全国读书节”，以此唤醒3000年来国民读书的热情，进一步推动中华文化在全球范围的传播，某学校为更好地创设阅读环境，营造读书氛围，拟购进一批阅读书籍，经了解，从“好学书店”购进某种书籍的本数x（本）与所需的总价钱y（元）之间的关系如图所示，根据图中的信息，解答下列问题：
（1）从“好学书店”购进该种书籍10本时，所需的总价钱为 　200　元；
（2）当x＞20时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若购买不超过20本时，全部按原价购买，那么购买超过20本时，超过部分是按原价的几折购买？

【分析】（1）根据图象求出购买不超过20本的单价，再求购买10本的总价即可．
（2）设当x＞20时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求出即可．
（3）分别求出购买不超过20本的单价，购买超过20本的单价，后者除以前者得到结果．
解：由图象可知：购进图书20本时，所需总价钱为400元，
∴购进图书不超过20本时，单价为400÷20＝20（元），
∴从“好学书店”购进该种书籍10本时，所需的总价钱为20×10＝200（元），
故答案为：200．
（2）设当x＞20时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象经过点（20，400）和点（50，880），
∴，
解得，
∴当x＞20时，y与x之间的函数关系式为y＝16x+80．
（3）当x≤20时，单价为400÷20＝20（元/本），
当x＞20时，单价为（880﹣400）÷（50﹣20）＝16（元/本），
16÷20＝0.8，
∴购买超过20本时，超过部分是按原价的八折购买．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意，结合函数图象，正确求出函数解析式是解题的关键．
23．文化自信是一个民族、一个国家以及一个政党对自身文化价值的充分肯定和积极践行，在全球化发展的背景下，面对纷繁复杂的国际形势和日益激烈的竞争，若要在激荡的形势下始终屹立不倒，就要坚定文化自信，注重对本民族优秀传统文化的传承与弘扬，增强国家软实力．某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行收集、整理和分析如下：
【数据收集】
八年级：80，80，80，90，70，70，90，100，100，80
九年级：70，90，90，100，80，70，90，90，80，100
【数据整理】

【数据分析】
年级
众数
中位数
平均数
八年级
a
80
84
九年级
90
90
b
根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题：
（1）扇形图中m＝　20　，表中a＝　80　，并补全条形统计图；
（2）请计算表中b的值；（需写出计算过程）
（3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分（100分）？
【分析】（1）用70分的人数除以样本容量10可得m的值；根据中位数的定义可得a的值；用样本容量10分别减去其它分数的人数可得90分的人数，进而补全条形统计图；
（2）根据加权平均数的计算方法解答即可；
（3）用100乘样本中拿到满分的学生所占百分比即可．
解：（1）由题意得：m%＝＝20%，故m＝20；
八年级10名参赛同学的竞赛成绩中80出现的次数最多，故众数b＝80；
八年级10名参赛同学的竞赛成绩中90分有：10﹣2﹣4﹣2＝2（人），
补全条形统计图如下：

故答案为：20，80；
（2）（70+90+90+100+80+70+90+90+80+100）（分），
即表中b的值为86；
（3）100×20%＝20（名），
∴估计九年级参加竞赛的同学中，大约共有20名同学在此次竞赛中拿到了满分．
【点评】本题考查用样本估计总体、中位数、众数，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
24．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，且AC平分∠DAB，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：BD∥CP；
（2）若 cosP＝，BD＝24，求BP的长．

【分析】（1）连接OC，如图，先利用圆周角定理得到＝，再根据垂径定理得到OC⊥BD，接着利用切线的性质得OC⊥PC，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）先利用BD∥PC得到∠ABD＝∠P，所以cos∠ABD＝cosP＝，再根据圆周角定理得∠ADB＝90°，则利用余弦的定义可求出AB＝30，所以OB＝OC＝15，接着在Rt△OCP中利用余弦的定义得到cosP＝＝，于是设PC＝4x，PO＝5x，则OC＝3x＝15，求出x得到OP＝25，然后计算OP﹣OB即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴BD∥CP；
（2）解：∵BD∥PC，
∴∠ABD＝∠P，
∴cos∠ABD＝cosP＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，∵cos∠ABD＝＝，
∴AB＝BD＝×24＝30，
∴OB＝OC＝15，
∵OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
在Rt△OCP中，∵cosP＝＝，
∴设PC＝4x，PO＝5x，
∴OC＝3x，
即3x＝15，
解得x＝5，
∴OP＝5x＝25，
∴BP＝OP﹣OB＝25﹣15＝10．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
25．如图，抛物线的顶点坐标为P（2，6），且与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点D为该抛物线的对称轴上的点．
（1）求该抛物线的函数表达式和点A的坐标；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点E，使得△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6，将点 C（0，）代入得：4a+6＝，a＝﹣，故y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+x+，令y＝0得A（5，0）；
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为F，则F（2，0），分两种情况：①当点E在x轴上方时，如图点D、E分别在点D1E1的位置，过点E1作E1N⊥PF于点N，证明△AFD1≌ΔD1NE1（AAS），得D1N＝AF，D1F＝E1N，设D1（2，m），则E1（m+2，m+3），代入y＝﹣x2+x+可得m的值，从而E1（，）；②当点E在x轴下方时，如图点D、E分别在点D2E2的位置，过点E2作E2H⊥PF于点H，同理可得E2（，﹣）．
解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6，
将点 C（0，）代入得：4a+6＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+x+，
令y＝0得：，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（5，0）；
（2）存在点E，使得△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
记抛物线的对称轴与x轴的交点为F，则F（2，0），
①当点E在x轴上方时，如图，点D、E分别在点D1E1的位置，过点E1作E1N⊥PF于点N，如图：

∵∠AD1E1＝90°，
∴∠AD1F+∠E1D1N＝90°，
∵∠E1D1N+∠D1E1N＝90°，
∴∠AD1F＝∠D1E1N，
∵AD1＝D1E1，∠AFD1＝∠D1NE1＝90°，
∴△AFD1≌ΔD1NE1（AAS），
∴D1N＝AF，D1F＝E1N，
∵A（5，0），F（2，0），
∴AF＝D1N＝3，
设D1（2，m），则E1（m+2，m+3），
将E1（m+2，m+3）代入y＝﹣x2+x+得：，
解得m＝﹣3（舍去）或m＝；
∴E1（，）；
②当点E在x轴下方时，如图点D、E分别在点D2E2的位置，过点E2作E2H⊥PF于点H，如图：

∵∠AD2E2＝90°，
∴∠AD2F+∠HD2E2＝90°，
∵∠HD2E2+∠HE2D2＝90°，
∴∠AD2F＝∠HE2D2，
∵AD2＝D2E2，∠AFD2＝∠D2HE2＝90°，
∴△AFD2≌ΔD2HE2（AAS），
∴D2H＝AF，D2F＝E2H，
∵A（5，0），F（2，0），
∴D2H＝AF＝3，
设D2（2，n），则E2（2﹣n，n﹣3），
把E2（2﹣n，n﹣3）代入y＝﹣x2+x+得：n﹣3＝﹣（2﹣n）2+（2﹣n）+，
解得：n＝3（舍去）或n＝﹣，
∴E2（，﹣）．
综上所述，E的坐标为（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26．操作发现：
（1）如图1，小明将矩形纸片ABCD（AD＞AB）沿CE折叠，使点D落在BC边上的点处，然后把纸片展开铺平，则四边形CDED′的形状是 　正方形　；
深入探究：
（2）如图2，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B与坐标原点O重合，顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上．将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在x轴上的点D′处，然后把矩形展开铺平；再将矩形ABCD沿EF折叠，点B恰好落在CD边上的点B′处，点A落在点A′处，A′B′交AD于点M，B′F交CE于点N．
①求证：MB'＝ME；
②若点A的坐标为（0，6），B'C＝2DB'，求点N的坐标．

【分析】（1）首先证明四边形CDED′是菱形，由∠D＝90°，可得四边形CDED′是正方形；
（2）①连接B′E，根据折叠性质证明Rt△EB'A'≌Rt△B'ED（HL），可得∠EB′A′＝∠B′ED，进而可以解决问题；
②设CF＝x，则FB′＝FB＝（8﹣x），根据勾股定理得42+x2＝（8﹣x）2，求出x＝3，过点N作NH⊥BC于点H，延长HN交AD于点I，延长AD、FB′相交于点G，则∠B'GD＝∠B'FC，所以tan∠B'GD＝tan∠B'FC，列式求出DG＝，然后证明△FCN∽△GEN，对应边成比例求出NH＝，再利用线段的和差即可求出点N的坐标．
【解答】（1）解：四边形CDED′是正方形，理由如下：
由折叠可知，ED＝ED′，CD＝CD′，∠DCE＝∠D′CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝45°，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴ED＝CD，
∴ED＝ED′＝CD＝CD′，
∴四边形CDED′是菱形，
∵∠D＝90°，
∴四边形CDED′是正方形，
故答案为：正方形；
（2）①证明：如图，连接B′E，

由（1）知四边形CDED′是正方形，则CD＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，
由折叠知，A'B'＝AB，∠BAE＝∠B'A'E，
∴A'B'＝CD＝DE，∠B'A'E＝∠D＝90°，
又∵EB′＝B′E，
∴Rt△EB'A'≌Rt△B'ED（HL），
∴∠EB′A′＝∠B′ED，
∴MB′＝ME；
②解：由①知Rt△EB'A'≌Rt△B'ED，
∴A′E＝DB′，
由折叠知，A′E＝AE，
∴AE＝DB'
∵点A的坐标为（0，6），B'C＝2DB'，
∴CD＝AB＝6，
∴B′C＝4，B′D＝2，
∴AE＝DB′＝2，DE＝CD＝6，
∴AD＝AE+DE＝2+6＝8．
设CF＝x，则FB′＝FB＝（8﹣x），
在Rt△FCB′中，根据勾股定理得BC′2+CF2＝FB′2，
∴42+x2＝（8﹣x）2
解得，x＝3，
∴CF＝3，
过点N作NH⊥BC于点H，延长HN交AD于点I，延长AD、FB′相交于点G，
则∠B'GD＝∠B'FC，
∴tan∠B'GD＝tan∠B'FC，

∴＝，
∴＝，
∴DG＝，
∴EG＝DE+EG＝6+＝，
∵EG∥CF，
∴△FCN∽△GEN，
∴＝，
∴＝，
∴NH＝，
在正方形CDED′中，∠BCH＝45°，
∴CH＝NH＝，
∴BH＝BC﹣CH＝8﹣＝，
∴点N的坐标为（，）．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换、相似三角形判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．