四川北京师范大学广安实验学校2021届高三10月月考数学（理）试卷 Word版含答案

www.ks5u.com数学试题（理科）

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．已知集合，则（  ）

A． B． C． D．

2．复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（   ）

A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限    D．第四象限

3．已知命题，则为（   ）

A．    B．   C．  D．

4．已知向量满足，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6

5．2019年被誉为“5G商用元年”．6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；1月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销．据网络统计，2019年与“5G”相关的信息量高达6875.4万条，信息量走势图如图所示．由此可以判断，关于2019年全网与“5G”相关的信息量，下列说法中错误的是（    ）

A．相关活动是信息量走势的关键性节点

B．月信息量未出现持续下降态势

C．2019年全年月均信息量超过600万条

D．2019年第四季度的信息量呈直线增长态势

6．函数的图象大致是（    ）

A．B．

C． D．

7．已知抛物线上一点纵坐标为，则点到抛物线焦点的距离为（   ）

A． B． C． D．

8．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的部分图象如图所示，则（  ）

A．          B．      C．      D．

10．设函数，则f(x)  (    )

A．是偶函数，且在单调递增   B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增  D．是奇函数，且在单调递减

11．已知双曲线C：（，）的左焦点，抛物线与双曲线C交于点P（P在第一象限），若抛物线在点P处的切线过点F，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．函数，则 ______．

14．的展开式中常数项为__________．（用数字作答）

15．如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为_____.

16．关于函数有如下四个命题：

①的图像关于轴对称.       ②的图像关于原点对称.

③的图像关于直线对称.   ④的图像关于点对称.

其中所有真命题的序号是__________.

三、解答题（17-21题每小题12分，22-23题每小题10分）

17．已知为公差不为0的等差数列的前n项和，且，，，成等比数列．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．

18．“学习强国”学习平台在全国上线，该平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，“学习强国"平台从2月10日起推出了同上一堂课《名著导读课》直播课堂，某学校为调研《名著导读课》的观看情况，在高二、高三两个年级中随机抽取了200名学生进行调研，其中高二学生占，其他相关数据如下表：

（1）请补填表中的空缺数据，并根据表中数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数是否超过5节”与“学生所在年级”有关；

（2）以频率估计概率，若在该校高二学生中随机抽取4名学生做学习经验介绍，记观看《名著导读课》节数超过5节的人数为，求的分布列和数学期望.

附：.

19．如图，在正方体中，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值

20．点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，设点的轨迹为曲线.直线与抛物线交于，两点，与曲线交于，两点，设直线，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.   （1）求曲线的方程；

（2）是否存在常数，满足？若存在，求出；若不存在，说明理由.

21．设，.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若时，的最小值为2，求实数的取值范围；

（3）试求函数的零点个数，并证明你的结论.

22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

23．设，，，且.

（1）求的最小值；

（2）若成立，证明：或.

答案

1-6：CACDCB  7-12：CCCDAD

13-16：1;   ;   ;   ①④

17：试题解析: 解：（1）由已知，得，即得，又可得故

（2）

,

18：解：（1）

的观测值.

故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“观看节数超过5节”与“学生所在年级”有关.

（2）由（1）知高二学生观看节数超过5节的频率为，依题意得，，

则，，

，，

，

故的分布列为

19：解：（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，如图，不妨设棱长为1，

则，，，，

设平面的一个法向量为.，，，由，得，取，

∵，∴，又平面，∴平面.

（2）设是平面的一个法向量，

由，得，取

∴二面角的余弦值为.

20：（1）解：∵点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，∴，化简得：，

∴曲线的方程；

（2）由题知：的斜率存在且不过原点，设：，，，

由：，得，

∴，，∵，∴，

∴，∴，则，，

∴，

设，，由可得

，∴，，

∴，

∴，即存在常数满足题意.

21：（1），其导函数，

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，函数的单调减区间为，单调增区间为；

（2）由已知，且，

当时，，函数单调递减，所以函数的最小值为.矛盾；当时，由得，若，即时，，，

函数单调递增，所以函数的最小值为.满足题意；

若，即，，，函数单调递减，所以函数的最小值为.矛盾.综上所述，实数的取值范围为；

（3）由已知， .当时，，函数单调递减，又，，故函数有且只有一个零点；

当时，由得，故当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

而(因为)，又，

由，得，所以，在上存在唯一零点.

而，且，

因为设，，有

故单调递增.又，所以成立.所以在上存在唯一零点.

22：（1）由消得，即，

是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.

（2）由得，∴，

由得∴，∴.

23：解：（1），，，且，由柯西不等式可得

，可得，即有的最小值为；

（2）证明：由，柯西不等式可得，

可得，即有的最小值为，由题意可得，解得或.